4. Données in silico et front sphérique 47
4.2 Création des données
4.2.1 Front de dépolarisation et potentiel transmembranaireVm . . . 47 4.2.2 Calcul des ux synthétiques . . . 50 4.3 Fonction coût et gradient . . . . 51 4.4 Résultats . . . . 52 4.4.1 Données à un instanttk, paramètresx0 inconnu,t0 etc connus . . . 52 4.4.2 Données à un instanttk, paramètresx0 ett0inconnus,c connu . . . 55 4.4.3 Données sur un intervalle de temps, paramètresx0,t0et cinconnus . . 55 4.4.4 Deux points d'excitation . . . 55 4.5 Régularisation de Tikhonov . . . . 56 4.6 Conclusion . . . . 57
4.1 Introduction
La première étape de ce travail de recherche a été l'étude de cas in silico. C'est une étape importante et nécessaire pour se familiariser aussi bien avec le modèle de diusion qu'avec les méthodes d'optimisation. Cela permet également de vérier la pertinence de l'approche choisie et de la comparer avec la littérature. Dans cette partie, nous avons choisi de représenter le front de dépolarisation de manière sphérique, avec un potentiel transmembranaire qui prend des valeurs physiologiques. Le front est ainsi caractérisé par quelques paramètres (centre, rayon, temps de départ, vitesse) que notre problème inverse doit permettre de retrouver.
Nous avons testé notre méthode sur plusieurs cas, avec des fronts démarrant à diérentes profondeurs ou lorsqu'il y a 2 points d'excitation. Nous comparons nos résultats à ceux obtenus avec la formule de Khait et concluons sur ce qu'apporte notre approche.
4.2 Création des données
4.2.1 Front de dépolarisation et potentiel transmembranaire Vm
Nous avons choisi de représenter le front de dépolarisation par une sphère qui s'agrandit au cours du temps. Elle est caractérisée par :
• son centrex0 ∈R3 • son temps de départt0
Chapitre 4. Données in silico et front sphérique Ce qui nous donne pour la surfaceS :
S(t) ={x∈Ω :|x−x0| −c(t−t0) = 0}
Dans ce chapitre nous avons souhaité prendre des valeurs physiologiques pour la distribution du potentiel transmembranaire. Nous partons de la forme classique pour la dépolarisation des cellules cardiaques F dénie par
F :R→[0,1]
z7→ 1
1 + exp(−z/√2)
(4.1) Cette fonction est solution de l'équation
ut=uxx+u(1−u)(u−a) et0<2a <1 [32]. C'est une onde de propagation dont le graphe est de la forme suivante :
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Figure 4.1: Graphe 1D de l'onde de propagation F.
An que le pente du front soit cohérente avec la biologie, c'est-à-dire max∂Vm
∂t ≈200-300, nous introduisons le facteur de raideurεet dénissons la fonction Fε :
Fε=F(z
ε) (4.2)
La Figure 4.2 montre l'impact du coecientεsur la pente de l'onde de propagation : plusε est petit, plus le front est raide.
De plus, si on regarde les limites de la fonctionF on a lim
z→−∞F(z) = 0 et lim
z→+∞F(z) = 1.
Or, nous savons que la valeur du potentiel transmembranaire est de −90mV au repos et de 30mV lorsque le tissu est dépolarisé, c'est-à-dire à l'intérieur de la sphère. Autrement dit, nous avons besoin du contraire : lim
z→−∞Fε(z) > lim
z→+∞Fε(z). C'est pourquoi nous redénissons la fonction Fε comme suit :
Fε =F(−z
4.2 Création des données 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Figure 4.2: Graphe de Fε pour diérents coecients de raideur. Plus εest petit, plus le front est raide.
Enn, pour avoir les bonnes valeurs limites, nous posons
ψε= 120×Fε−90. (4.4)
Ce qui nous amène à la distributionVm du potentiel transmembranaire :
(
Vm(x, t) =−90 sit < t0,
Vm(x, t) =ψε(|x−x0 | −c(t−t0)) sit≥t0. (4.5) Il faut noter qu'avec cette dénition, nous considérons uniquement la phase de dépolarisation. Nous supposons que l'expérience prend n avant que la repolarisation ne commence.
Détermination de ε :
Pour être proche de la biologie nous voulons respectermax∂Vm
∂t = 200mV/ms. Or pourt≥t0 ∂Vm ∂t (x, t) =−c ψ 0 ε(|x−x0| −c(t−t0)) = 120× c ε×F 0(−(|x−x0 | −c(t−t0))/ε). Sur le front, en(x, t) tels que|x−x0| −c(t−t0) = 0on a :
∂Vm ∂t (x, t) = 120× c ε×F 0 (0). De plus,F(z) = 1 1 + exp(−z/√2) donc F0(z) = √1 2 exp(−z/√2) (1 + exp(−z/√2))2. D'où F0(0) = 1 4√2.
Ce qui nous donne ε= 120×c
4√2 max(∂tVm) où c est la vitesse de propagation. Par exemple, pour c=0,5 mm/ms et max∂Vm
∂t = 200 mV/ms on aε≈0,05.
La Figure 4.3 montre un exemple de propagation pour un front initié au milieu du domaine et à t0= 2.5 ms. La simulation dure jusqu'à ce que tout le tissu soit dépolarisé.
Chapitre 4. Données in silico et front sphérique
Figure 4.3: Exemple de propagation d'un front de dépolarisation. L'excitation a lieu en
x0 = (10,10,5)et à t0 = 2,5 ms. La vitesse de propagation est de 0,5 mm/ms. A t = 2 ms, le tissu est toujours au repos. A t = 3 ms, on commence à voir le front qui se propage. A t = 12 ms, le front frappe l'épicarde et l'endocarde, c'est le breakthrough. L'onde continue de se propager jusqu'à ce que tout le tissu soit dépolarisé (t= 32ms). Calculs faits avec le maillage 1.
Figure 4.4: Densité de la lumière incidente φe pour une épi-illumination. L'intensité est constante égale à 1. La densité varie très peu enx ety, sauf près des bords ; et décroit très vite en z. Coupe dans le direction z.
4.2.2 Calcul des ux synthétiques
Nous devons dans un premier temps calculer les deux densités de la lumière incidente : nous résolvons donc l'équation (3.3) pour une épi- et une endo- illumination. Nous avons supposé que l'éclairage était eectué à la longueur d'onde de 520 nm, c'est-à-dire avec de la lumière verte. Nous avons utilisé les valeurs des paramètres optiques pour cette longueur d'onde (cf Tableau 4.1). De plus, nous avons considéré que l'intensité de l'illumination Ie était constante, et égale à 1. La Figure 4.4 présente la distribution de la densitéφe dans le cas d'une épi-illumination.
Ensuite, nous pouvons calculer les densités de la uorescence. La longueur d'onde de la lumière émise est 650 nm, c'est-à-dire de la lumière rouge (cf Tableau 4.1 pour les valeurs des paramètres). On se donne une positionx0, un tempst0et une vitesse constantec. L'équation (4.5) nous permet d'obtenir l'évolution du potentiel transmembranaire Vm au cours du temps. Nous pouvons donc résoudre l'équation (3.4) pour les deux illuminations. Pour nir, nous appliquons la loi de Fick (3.5) pour obtenir les ux. Pour chaque illumination nous considérons les ux obtenus en réexion et en transillumination. Nous choisissons de sauvegarder les ux toutes les millisecondes. Nous avons ainsi l'ensemble des ux synthétiques Gi.