Covariance, Corrélation et Indépendance Statistique .1 Matrice de Variance-Covariance d’un Vecteur Aléatoire

Lien entre la distribution Gumbel et la distribution Weibull

Soit une variable aléatoire qui suit une distribution Weibull de paramètres et , ( ), alors la variable aléatoire ( ) suit une distribution Gumbel de paramètres et , ( ), avec ( ) et .

3.3 Covariance, Corrélation et Indépendance Statistique 3.3.1 Matrice de Variance-Covariance d’un Vecteur Aléatoire

Soit [ ] où l’indice dénote le vecteur transpose, un vecteur de variables aléatoires réelles. La matrice de variance-covariance (ou simplement matrice de covariance) de , notée , est une matrice carrée, ( ), caractérisant les interactions linéaires entre les . Elle est définie par [86, 88, 89]:

( ) [( [ ])( [ ]) ] [ ] [ ] [ ] (3.52) Sous forme matricielle, l’équation (3.52) s’écrit:

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] (3.53)

où ( ) représente la covariance des deux variables aléatoires et , . Elle est définie par:

( ) [( [ ])( [ ])] [ ] [ ] [ ] (3.54) Il est important de rappeler que la matrice de covariance est une matrice symétrique et définie positive, c'est-à-dire, ( ) ( ) et où désigne un vecteur quelconque. Enfin, notons que les éléments diagonaux de sont tels que : ( ) ( ), .

3.3.2 Matrice de Corrélation d’un Vecteur Aléatoire

Soit [ ] un vecteur de variables aléatoires réelles. La matrice de corrélation de , notée , est une matrice carrée, ( ), symétrique et définie positive donnée par [86, 88]:

Chapitre 3 Génération des Vecteurs Aléatoires Corrélés 50 [ ^{( )} ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] (3.55)

où ( ) est un paramètre significatif appelé coefficient de corrélation qui mesure le degré de la relation entre les deux variables aléatoires et , . Il est défini par:

( ) ^{( )}

√ ( ) ( ) (3.56) Nous avons toujours ( ) . Si ( ) , la dépendance linéaire entre et est forte et positive, et si ( ) , alors la dépendance linéaire entre et est forte et négative. Par contre, si ( ) , donc et sont linéairement indépendantes.

3.3.3 Indépendance et Corrélation

Deux variables aléatoires et où sont dites indépendantes si [ ] [ ] [ ]. En d’autres termes, ( ) ou, en se référant à l’équation (3.56), ( ) . Il convient de signaler que l’indépendance et la corrélation sont des notions différentes. A ce titre, si deux variables aléatoires sont indépendantes, elles sont également décorrélées, mais l’inverse n'est pas vrai, c’est-à-dire si [ ] [ ] [ ] n’implique pas forcément l’indépendance de et [86].

Nous disons également que et sont identiquement distribuées si elles ont les mêmes valeurs des paramètres de la distribution. Si de plus, elles sont indépendantes, alors elles sont dites indépendantes et identiquement distribuées (IID).

3.4 Génération des Vecteurs Aléatoires Corrélés

A l’instar de certains systèmes de communication, la simulation de processus aléatoires nécessite l'utilisation des techniques d'échantillonnage pouvant engendrer la génération d’un ensemble de variables aléatoires corrélées avec une matrice de covariance; i.e., une matrice de corrélation désirée et des paramètres spécifiés. De tels vecteurs peuvent représenter des échantillons de signaux issus d’un clutter corrélé. Ce faisant, nous présentons, dans cette section, les techniques de génération des vecteurs aléatoires corrélés issus de distributions Normale, Log-normale et Weibull.

Détection CFAR en Milieux Non-Gaussiens Corrélés 3.4.1 Génération d’un Vecteur Aléatoire Normal Corrélé

Il existe plusieurs techniques pour générer un vecteur aléatoire corrélé de loi Normale. Dans ce qui suit, nous décrivons deux techniques les plus fréquemment utilisées dans la littérature [90-92].

La première technique est donnée sous forme d’une transformation linéaire simple basée sur une matrice de covariance spécifiée [90, 91]. A cet égard, soit [ ] un vecteur de variables aléatoires Normales standards IID, chacune de pdf définie par l’équation (3.13). Donc, le vecteur [ ] donné par la transformation linéaire:

[ ] (3.57) est un vecteur Normal de taille ayant un vecteur moyen [ ] et une matrice de covariance:

(3.58) où est une matrice symétrique définie positive. Par conséquent, est une matrice unique facilement calculable par la méthode de factorisation de Cholesky et celle de factorisation spectrale. Pour ne pas trop encombrer cette sous-section, les détails de ces deux méthodes de factorisation seront donnés dans la section suivante.

Dans la deuxième technique, si [ ] est un vecteur de variables aléatoires Normales standards IID, alors [ ] est un vecteur aléatoire Normal de taille ayant un vecteur moyen [ ] et une matrice de covariance . Un exemple de pseudocode permettant d’obtenir le vecteur est le suivant:

Pour

√ Fin Pour

[ ] (3.59)

où est le coefficient de corrélation entre deux éléments adjacents de .

Dans l’outil Matlab, la commande ‘mvnrnd’ permet la génération de variables aléatoires Normales corrélées avec une matrice de covariance spécifiée.

3.4.2 Génération d’un Vecteur Aléatoire Log-normal Corrélé

De même, il existe plusieurs techniques pour générer un vecteur aléatoire corrélé de loi Log-normale [93-95]. Nous avons choisi une méthode qui utilise une transformation non-linéaire d’un vecteur

Chapitre 3 Génération des Vecteurs Aléatoires Corrélés

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aléatoire Gaussien corrélé pour générer un vecteur aléatoire Log-normal avec une matrice de corrélation désirée et des paramètres spécifiés [94]. Pour cela, soit [ ] un vecteur de variables aléatoires Log-normales corrélées et identiquement distribués, chacune de pdf définie par l’équation unidimensionnelle (3.21). Toutefois, remarquons qu’un vecteur aléatoire est entièrement caractérisé par sa pdf -dimensionnelle; qui est souvent difficile à déterminer ou mathématiquement trop complexe pour être exploitable en pratique. Dans ce cas, il est préférable d’adopter une caractérisation, certes moins complète, mais suffisante pour des situations pratiques. A cet effet, notons que le vecteur est aussi caractérisé par la matrice de corrélation définie par l’équation (3.55). D’autre part, comme nous l’avons déjà rappelé dans la sous-section 3.2.4, la variable aléatoire Log-normale de paramètres d’échelle et de forme peut s’écrire en fonction de la variable aléatoire Gaussienne de moyenne et d’écart type :

( ) (3.60) Le vecteur aléatoire Gaussien est entièrement caractérisé par son vecteur moyen [ ] et sa matrice de covariance . Les éléments de la matrice de corrélation sont donnés en fonction des éléments de la matrice de corrélation et du paramètre par [94]:

( )

( ) (3.61) ou alors, les éléments peuvent être exprimés en termes de et par:

[ ( ( ) ) ]

(3.62) Les étapes suivantes résument la procédure de génération d’un vecteur corrélé suivant une loi Log-normale et ayant une matrice de corrélation désirée et des paramètres spécifiés et .