Couverture du plan u-v

(3.6) Comme le montre l’équation (3.5), la phase géométrique dépend uniquement de ~d et ~

s₀ qui sont déterminés par la direction de la source et les positions relatives des antennes. Cette quantité ne contient donc pas d’information sur la distribution de brillance de la source ; toutefois, elle varie selon le point de référence choisi dans cette structure. Dans le cadre de la construction d’une image de la source, on restreint de ce fait le calcul de la visibilité aux parties dépendantes de la structure de la source, soit V0 = A exp(iφ_s).

Si l’on choisit un système de coordonnées adapté, cette visibilité V0

ν peut s’écrire simplement en fonction des coordonnées dans le plan du ciel (x, y) comme il est montré dans l’équation (3.7) ci-dessous. Classiquement, ce référentiel particulier est construit avec ~s0 = (0, 0, 1) et ~d = c

ν(u, v, w). Les axes directeurs de u et v sont choisis de telle façon qu’ils sont projetés à la surface de la Terre respectivement vers l’Est et le Nord. Par ailleurs, les sources étudiées ici sont suffisamment lointaines pour qu’on puisse les considérer comme planes sur le fond du ciel, ce qui supprime la composante selon w, d’où l’expression :

V_ν⁰(u, v) = ¨

I_ν(x, y)e^{−2iπ(ux+vy)} dx dy (3.7) Cette formule permet de calculer la visibilité complexe V0

ν pour chaque paire d’antennes, qui est représentée par un jeu de coordonnées (u, v).

Dans le cas de l’utilisation d’un ensemble de N antennes, la visibilité est calculable pour chaque couple d’antennes, soit NC = N (N −1)/2valeurs différentes, chacun associé à un point particulier du plan (u − v).

3.2.2 Couverture du plan u-v

Dans l’équation (3.7) se retrouve l’expression de la transformée de Fourier de l’inten-sité du champ électromagnétique émis par la source. Par conséquent, il est possible de

remonter à cette intensité à partir de la visibilité en effectuant la transformée de Fourier inverse, ce qui s’exprime par :

I_ν(x, y) = ¨

V_ν(u, v)e^2iπ(ux+vy) du dv (3.8) Le problème qui se pose toutefois est celui de l’ensemble d’intégration de u et v. En effet, les éléments différentiels du et dv doivent parcourir la totalité des valeurs possibles, or V_ν⁰(u, v)n’est pas connu en tout point du plan (u−v) mais seulement en un nombre limité de points qui dépendent de la position des antennes et du planning d’observation. On ne peut dès lors pas remonter à la fonction Iν(x, y)mais à une version dégradée I0

ν(x, y) appelée dirty map. Cette image est en réalité le produit de convolution de l’intensité réelle et de la grandeur B(x, y), appelée dirty beam, qui correspond à la réponse du réseau d’antennes à une source ponctuelle d’intensité unité :

B(x, y) = ¨

S(u, v)e^2iπ(ux+vy) du dv (3.9) où S(u, v) est une fonction d’échantillonnage valant pn en chaque point (un, v_n) du plan (u − v) associé à une observation et 0 partout ailleurs. Une illustration de ces différentes images est donnée dans la Figure3.2 page suivante, qui montre le parallèle du traitement dans le plan de Fourier et dans le plan du ciel.

Il est donc nécessaire d’échantillonner le mieux possible le plan (u − v) afin de s’ap-procher le plus possible de l’image réelle. Pour cela, il faut essayer d’avoir le plus grand nombre d’antennes possible. Par ailleurs, la rotation de la Terre permet elle aussi d’aug-menter le nombre de points : en effectuant des mesures à différents moments de la journée, la projection de la ligne de base entre deux antennes va varier, et donc le point du plan (u−v) associé1 aussi, ce qui augmente la couverture. Un exemple de couverture du plan (u − v) est donné en Figure3.3 page suivante.

On se retrouve alors avec une intensité qui peut être calculée de la façon suivante :

I_ν⁰(x, y) =

NC

X

n=1

p_nV_ν⁰(u_n, v_n) e^2iπ(unx+vny) (3.10) où NC est le nombre de points présents dans le plan (u−v), et V0

ν est la visibilité discrète connue seulement au niveau des points (un, v_n).

La valeur choisie pour le poids pnde chaque point de la couverture est un paramètre important afin d’obtenir une image équilibrée. Deux choix sont possibles :

Natural Weighting Dans cette approche, le poids est directement lié au rapport signal sur bruit de chaque observation. Le bruit est ainsi minimisé mais les zones du plan (u−v) où la couverture est forte peuvent apparaître comme surpondérées. Uniform Weighting Le poids affecté à chaque ligne de base est inversement pro-portionnel à la densité locale du plan (u − v). Cela permet, en perdant un peu du côté du rapport signal sur bruit, de créer une image plus uniforme et mettant moins l’accent sur les zones fortement couvertes.

1. En une journée, la base VLBI constituée de deux antennes décrit dans le plan (u − v) une ellipse dont les caractéristiques dépendent de la déclinaison de la source et de la position des antennes.

56 _{3.2. CARTOGRAPHIE}

=

=

X

*

Visibilités mesurées V_𝛎' Visibilité réelle V_𝛎

Dirty Map I' Dirty Beam B

Couverture Intensité réelle I P L A N D E F O U R I E R P L A N R É E L

Figure 3.2 – Couverture du plan (u − v), visibilités, et cartes qui en découlent. (En haut) Dans le plan de Fourier, les visibilités mesurées sont le produit des visibilités réelles par la couverture du plan (u − v). (En bas) Dans le plan du ciel, la dirty map est le produit de convolution de l’intensité réelle du ciel avec le dirty beam. (Adapté deGarrington[2007])

Figure 3.3 – Exemple de couverture du plan (u − v) pour l’observation du noyau actif de galaxie Mkn 421 en 2006 par le réseau VLBA.

Malgré tout, le choix fait pour la fonction S(u, v) impose que la visibilité soit nulle en dehors des points de mesure, ce qui n’a pas de raison d’être juste. L’image obtenue est donc dégradée par ces trous dans la couverture du plan (u − v). La partie suivante a pour but de montrer comment effectuer une déconvolution de l’image et ainsi obtenir une carte en partie nettoyée de ces manques observationnels.