Figure A.3 – Exemple de courbe de −2 [ln L(p; x) − ln L(ˆp; x)] en fonction du pa- ramètre p. Les barres horizontales rouges correspondent à différentes valeurs de tolérance choisies.
A.4
Couverture des intervalles de vraisemblance
Comme mentionné dans la section précédente, les intervalles de confiance Ic
dérivés dans le tableau A.2 sont fiables dans la limite asymptotique et dans le cas d’une forme standard de la courbe de maximum de vraisemblance. L’inférence de ces intervalles nécessite en général un étalonnage du niveau de tolérance sur la courbe de −2∆ ln(L). Afin de tester la couverture fréquentiste de la méthode, on a recours a des simulations toy Monte Carlo. On définit une variable discrète de décision A qui peut prendre pour valeur 1 (accepté) ou 0 (rejeté).
On effectue Ntoy simulations. Pour chaque réalisation i :
• Une valeur p0 du paramètre p est injectée dans l’échantillon.
• La courbe de −2∆ ln(L) est calculée, fournissant la valeur du minimum ˆpi.
• Un intervalle de vraisemblance (symétrique ou asymétrique) Iv,ij est produit
pour Nseuil seuils de tolérance δLj. À gauche et à droite de ˆpi, on note les
distances σpgˆ i et σ d ˆ pi respectivement. Iv,ij = [ˆpi− σgpˆi; ˆpi+ σpdˆi] intervalle bilatéral ] − ∞; ˆpi+ σpdˆi] limite supérieure [ˆpi− σgpˆi; +∞[ limite inférieure
182 Annexe A. Intervalles de confiance
• On teste l’hypothèse suivante : "la valeur vraie du paramètre appartient à l’intervalle de vraisemblance".
Aij =
(
1 si p0 ∈ Iv,ij
0 sinon
Une fois que les Ntoy× Nseuilvaleurs de la variable A sont assignées, le pourcentage
Cj d’hypothèses p0∈ Iv,ij est déterminé pour chaque seuil δLj :
Cj = 100 Ntoy × Ntoy X i=1 Aij (A.11)
Ceci constitue la couverture fréquentiste de la méthode. Ainsi on obtient un inter- valle (ou une limite) étalonné pour un niveau de confiance de Cj% en fixant la valeur
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