Pour chaque séquence, nous avons mis au point un cours sur la plateforme d’enseignement en ligne Moodle. Ces deux cours en ligne ne sont pas conçus pour l’enseignement à distance. En effet, l’intervention en classe de l’enseignant est nécessaire pour répondre aux questions individuelles ou collectives des élèves et pour l’institutionnalisation des notions théoriques. Nous n’avons pas prévu d’outil informatique pour favoriser les interactions enseignant-élèves ou élèves-élèves (blog, wiki, forum). Accès au cours sur les fonctions affines : http://tinyurl.com/del-cours-fcts-affines. Accès au cours sur les fonctions quadratiques : http://tinyurl.com/del-cours-fcts-quadra.
7.1.1. Applet fonctions affines
L’élève peut faire glisser les deux curseurs pour faire varier la pente et l’ordonnée à l’origine de la fonction affine.
Cédric Delmonico 06/2013 29
7.1.2. Applet fonction quadratique – forme cartésienne
L’élève peut faire glisser les trois curseurs pour faire varier les coefficients a, b et c de la forme cartésienne de la fonction quadratique. Les autres formes algébriques et le discriminant sont calculés et affichés en temps réel. L’élève peut choisir d’afficher les coordonnées des points caractéristiques de la parabole (ordonnée à l’origine, sommet et zéro).
30 06/2013 Cédric Delmonico
7.1.3. Applet fonction quadratique – forme du sommet
L’élève peut faire glisser les trois curseurs pour faire varier les coefficients a, α et β de la forme du sommet de la fonction quadratique. Les autres formes algébriques et le discriminant sont calculés et affichés en temps réel. L’élève peut choisir d’afficher les coordonnées des points caractéristiques de la parabole (ordonnée à l’origine, sommet et zéro).
Cédric Delmonico 06/2013 31
7.1.4. Applet fonction quadratique – forme factorisée
L’élève peut faire glisser les trois curseurs pour faire varier les coefficients a, k₁ et k₂ de la forme cartésienne de la fonction quadratique. Les autres formes sont calculées et affichées en temps réel. L’élève peut choisir d’afficher les coordonnées des points caractéristiques de la parabole (ordonnée à l’origine, sommet et zéro).
32 06/2013 Cédric Delmonico
Les questionnaires sont mis à disposition des élèves sous forme électronique via la plateforme Moodle.
7.1.5. Questionnaire d’introduction aux fonctions affines
Q1. Quelle est l'expression algébrique de la fonction lorsque son graphe passe par les points A et E ?
Solution : f(x)=2x+4
Q2. Quelle est l'expression algébrique de la fonction lorsque son graphe passe par les points C et D ?
Solution : f(x)=2x-5
Q3. Quelle est l'expression algébrique de la fonction lorsque son graphe passe par les points B et C ?
Solution : f(x)= 3
Q4. Quelle est l'expression algébrique de la fonction lorsque son graphe passe par les points B et E ?
Solution : f(x)= x+5
Q5. Quelle est l'expression algébrique de la fonction lorsque son graphe passe par les points A et C ?
Solution : f(x)=0.5x+1
Q6. Quelle est l'équation de la fonction lorsque son graphe passe par les points B et D ?
Solution : f(x)=-x+1
Q7. Quelle est l'expression algébrique de la fonction lorsque son graphe passe par les points A et D ?
Solution : f(x)=-0.25 x-0.5
Q8. Quelle est l'expression algébrique de la fonction correspondant au graphe ? Solution : Ce n'est pas le graphe d'une fonction, x=2
Cédric Delmonico 06/2013 33
7.1.6. Test diagnostique fonctions affines
Q1. Cette question est de la forme « Question à choix multiple ».
Quel paramètre faut-il varier pour modifier la pente (inclinaison) du graphe ? (a) Le premier paramètre : celui qui multiplie x.
(b) Le second paramètre : le terme constant.
(c) Les deux paramètres ont une influence sur la pente du graphe. Réponse : (a)
Feedback : Uniquement le premier paramètre a une influence sur la pente du graphe. Ce paramètre est d'ailleurs appelé la pente de la fonction.
Q2. Cette question est de la forme « Question à choix multiple ».
Pour quel paramètre le graphe a-t-il un point fixe lorsqu'on le fait varier ? (a) Le premier paramètre : celui qui multiplie x.
(b) Le second paramètre : le terme constant. (c) Pour les deux paramètres, il y a un point fixe. Réponse: (a)
Feedback : C'est uniquement lorsqu'on fait varier le premier paramètre et que le second reste fixe qu'apparaît un point fixe. Il est situé à l'intersection du graphe avec l'axe vertical.
Q3. Cette question est de type association. Sur un système d'axes sont dessinés des graphes de fonctions affines. L'élève doit déposer à la bonne place sur le système d'axes des étiquettes contenant des expressions algébriques de fonction ou des indications concernant la valeur de la pente.
34 06/2013 Cédric Delmonico
7.1.7. Questionnaire fonctions affines
Q1. Déterminer l'expression algébrique de la fonction affine dont le graphe passe par les points de coordonnées (3;1) et (4;-2).
Q2. Déterminer l'expression algébrique de la fonction affine f telle que f(1)=4 et f(2)=0.
Q3. Déterminer l'expression algébrique de la fonction affine dont le graphe a une pente égale à 3 et une ordonnée à l'origine égale à -1.
Q4. Déterminer l'expression algébrique de la fonction affine à une pente égale à -2 et qui passe par le point de coordonnée (1;3).
Q5. Déterminer l'expression algébrique de la fonction affine f telle que f(0)=4 et f(-2)=0.
7.1.8. Questionnaire fonctions quadratiques – forme cartésienne
Q1. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole a-t-elle son sommet en (0;0) et passe-t-elle par le point A ?
Solution : f(x)=0.25x² => 0.25;0;0
Q2. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole a-t-elle son sommet en (0;0) et passe-t-elle par le point B ?
Solution : f(x)=4x² => 4;0;0
Q3. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole a-t-elle son sommet en (0;0) et passe-t-elle par le point C ?
Solution : f(x)=-x² => -1;0;0
Q4. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole passe-t-elle par les points B, D et E ?
Solution : f(x)=3x² + 1 => 3;0;1
Q5. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole passe-t-elle par les points D, F et G ?
Solution : f(x)=4x² + 8x + 1 => 4;8;1
Q6. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole passe-elle par les points D, E et I ? Solution : f(x)=0.5x² + 2.5x + 1 => 0.5;2.5;1
Cédric Delmonico 06/2013 35
Q7. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole passe-t-elle par les points J, L et M ?
Solution : f(x)= 0.25 x² - 0.5x - 2 => 0.25;-0.5;-2
7.1.9. Questionnaire fonctions quadratiques – forme du sommet
Q1. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole a-t-elle son sommet en (0;0) et passe-t-elle par le point A ?
Solution : f(x)=0.25(x-0)² + 0 => 0.25;0;0
Q2. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole a-t-elle son sommet en (0;0) et passe-t-elle par le point B ?
Solution : f(x)= 4(x-0)² + 0 => 4;0;0
Q3. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole a-t-elle son sommet en (0;0) et passe-t-elle par le point C ?
Solution : f(x)=-(x-0)² + 0 => -1;0;0
Q4. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole passe-elle par les points B, D et E ? Solution : f(x)=3x² + 1 => 3;0;1
Q5. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole passe-elle par les points D, F et G ? Solution : f(x)=4(x+1)² -3 => 4;-1;-3
Q6. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole a-t-elle son sommet en G et passe-t-elle par le point M ?
Solution : f(x)= -0.75(x+2)² +1 => -0.75;-2;1
Q7. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole passe-t-elle par les points J, L et M ?
Solution : f(x)= 0.25(x-1)² – 2.25 => 0.25;1;-2.25
Q8. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole passe-elle par les points D, E et I ? Solution : f(x)= - (x-2)² + 5 => -1/2/5
36 06/2013 Cédric Delmonico
7.1.10. Questionnaire fonctions quadratiques – forme factorisée
Q1. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole a-t-elle son sommet en (0;0) et passe-t-elle par le point A ?
Solution : f(x)=0.25(x-0)(x-0) => 0.25;0;0
Q2. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole a-t-elle son sommet en (0;0) et passe-t-elle par le point B ?
Solution : f(x)= 4(x-0)(x-0) => 4;0;0
Q3. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole a-t-elle son sommet en (0;0) et passe-t-elle par le point F ?
Solution : f(x)=-3(x-0)(x-0) => -3;0;0
Q4. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole passe-t-elle par les points B, J et L ?
Solution : f(x)= -0.8(x-4)(x+2) => -0.8;4;-2
Q5. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole passe-elle par les points A, G et J ? Solution : f(x)= -1(x+2)(x+6) => -1;-2;-6
Q6. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole passe-t-elle par les points J, L et M ?
Solution : f(x)= 0.25(x+2)(x-4) => 0.25;-2;4
Q7. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole passe-elle par les points B, D et E ? Solution : Impossible
Q8. Pour quelles valeurs de paramètres la parabole a-t-elle son sommet en C et passe-t-elle par le point J ?
Cédric Delmonico 06/2013 37
7.1.11. Questionnaire fonctions quadratiques – synthèse
Q1. Soit f une fonction quadratique dont la parabole a son sommet en S(-1;-4) et passe par le point (5;2). Pour quelles valeurs la fonction s'annule-t-elle ?
Solution : K₁(-3;0) et K₂(1;0) => -3;1
Q2. Soit f une fonction quadratique dont la parabole a son ordonnée à l'origine est H(0;-3) et passe par les points (2;4) et (-4;1). Quelles sont les coordonnées de son sommet ?
Solution : S(-1.33;-4.33)
Q3. Soit f une fonction quadratique dont l'expression algébrique est f(x) = 2x² + 2x - 4. Pour quelles valeurs la fonction s'annule-t-elle ?
Solution : K₁(-2;0) et K₂(1;0) => -2;1
Q4. Soit f une fonction quadratique qui atteint sa valeur maximum en f(1)=5 et dont l'ordonnée à l'origine de sa parabole est H(0;4). Quelles sont les valeurs des coefficients de son expression algébrique sous forme cartésienne ? (f(x)=ax²+bx+c)
Solution : f(x)=-x²+2x+4 => -1;2;4
Q5. Quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction f(x) = 0.5(x-3)(x+1) ?
Solution : S(1;-2)
Q6. Soit f une fonction quadratique dont la parabole passe par les points (0;2), (-4;0) et (-6;5). Quelles sont les valeurs des coefficients de son expression algébrique sous forme cartésienne ? (f(x)=ax²+bx+c)
Solution : f(x)= 0.5x²+2.5x+2 => 0.5;2.5;2
Q7. Soit f une fonction quadratique dont la parabole passe par le point (4;4) et H=S=K₁=K₂. Quelles sont les valeurs des coefficients de son expression algébrique sous forme cartésienne ? (f(x)=ax²+bx+c)
Solution : f(x)=-0.25x² => 0.25;0;0
Q8. Soit f une fonction quadratique dont la parabole a passe par le point (-3;-2) et K₁(-4;0)=K₂. Quelles sont les valeurs des coefficients de son expression algébrique sous forme cartésienne ? (f(x)=ax²+bx+c)
38 06/2013 Cédric Delmonico
Solution : f(x)=-2x² - 16x - 32 => -2/-16/-32
Q9. Soit f une fonction quadratique dont la parabole a son sommet en S(0;5). Quelles sont les coordonnées de son ordonnée à l'origine H ?
Solution : H(0;5)
Q10. Associez les points avec l'expression algébrique de la parabole correspondante. Liste des expressions algébriques : y= 2x² - 4x + 3, y= 2(x-4)² + 3, y= 2(x-4)(x+3) Liste des points : H(0;3), S(4;3), K₁(4;0) et K₂(-3;0), H(0;-4), S(-4;3), K₁(-4;0) et K₂(3;0).
Cédric Delmonico 06/2013 39