Courbes modulaires et formes modulaires

que l'unique poids de Hodge-Tate m vérie m ≤ 0. Soit h ≥ −m et d ∈ Dcris(D^∗(χ)) et h ≥ 1 − m. On dénit le logarithme élargi comme le morphisme

Log^ε

D,1−h,d: H_Iw¹ (D) → HA(Γ) par

Log^ε_D,1−h,d(x) =^Dx, Exp^ε_D⁻¹∗(χ),h( ed)^ιE.

1.6 Courbes modulaires et formes modulaires

1.6.1.

Soit f une forme modulaire parabolique de poids k0, de niveau Nf et de caractère εf. La forme f admet un développement en série de Fourier

f (z) =

∞

X

n=1

a_nqⁿ, avec q = e2iπz

avec an= O(nk0/2)(voir de [Miy06, Corollaire 2.1.6]). Soit Q(f) le corps de nombres des coecients de f. On xe E une extension nie de Qp contenant ip(Q(f )) où ip : Q ,→ Qp. On note f∗ la forme modulaire conjuguée de f. C'est la forme de poids k0, de niveau N_f et de caractère ε−1 f dénie par f^∗(z) = f (−z) = ∞ X n=0 anqⁿ, avec q = e2iπz (1.17) où a est le complexe conjugué de a où i∞: Q ,→ C est xé.

On suppose que f soit une forme propre, c'est-à-dire un vecteur propre pour tous les opérateurs de Hecke Tn agissant sur les formes modulaires pour n ∈ N.

Soit l un nombre premier. On note El(f, X) le polynôme de Hecke de f en l E_l(f, X) = X²− a_lX + ε_f(l) l^k0−1

.

On note αl(f ) et σl(f ) les deux racines de ce polynôme. Si αl(f ) 6= 0 on dénit aussi β_l(f ) comme β_l(f ) := ^ε 0 f(l)l^k0−1 α_l(f ) (1.18) où ε0

f est le caractère primitif associé à εf. On sépare alors en deux cas :

• si l - Nf on alors supposer que νl(α_l(f )) ≤ ν_l(σ_l(f )) où νl est la valuation l-adique. Par les relations coecients-racines on a l'égalité σl(f ) = β_l(f ). Par des résultats de Deligne, voir [Del71] et [Del74], le module des racines de Hecke vaut

Si νl(a_l) = 0, on dit que f est ordinaire en l, dans ce cas νl(α_l(f )) = 0et νl(σ_l(f )) = k0− 1. Si on note (αl(f^∗), σl(f^∗)) les deux racines de Hecke de f∗ en l alors ce sont les racines de X2− a_lX + ε_f(l)lk0−1. On sait que les deux racines de ce polynôme sont ⁿα_l(f ), σ_l(f )o. En utilisant la valeur du module (1.19) on a

{α_l(f^∗), σ_l(f^∗)} = lk0−1 α_l(f )^, l^k0−1 σ_l(f )  .

Lorsque νl(α_p(f )) < ν_l(σ_p(f )) l'ordre choisi sur les racines de Hecke implique αl(f^∗) = ^l k0−1 σ_l(f )^{, σl(f} ∗ ) = ^l k0−1 α_l(f )^. (1.20) Si νl(αl(f )) = νl(σl(f )) il n'y a pas d'ordre choisi sur les racines et on les choisit de manière à ce que l'équation précédente soit satisfaite.

• si l | Nf alors le couple (αl(f ) , σl(f )) vaut (al, 0).

Si l - Nf on dénit la l-stabilisation fαl de f par rapport à αl(f ) comme f_αl(q) = f (q) − σ_l(f ) f q^l
.

C'est une forme modulaire parabolique de poids k0, de niveau lNf et de caractère εf. Alors

α_l(f_αl) = α_l(f ), β_l(f_αl) = σ_l(f ).

1.6.2.

On dénit wNf l'opérateur d'Atkin-Lehner sur les formes modulaires de niveau k₀ par w_Nff (z) := z^−k0f  1 −N_fz  . (1.21)

On dit que f est une forme primitive si elle est parabolique, normalisée, propre et nouvelle. Si f est primitive alors il existe une constante notée λNf(f ) telle que

w_Nff = λ_Nf(f )f^∗

( [Miy06, Théorème 4.6.15]). On appelle λNf(f ) la pseudo valeur propre de Atkin-Lehner associée à f.

1.6.3.

On rappelle la dénition de certaines courbes modulaires (voir [Kat04]). Soient des entiers M, N ≥ 1 tels que M +N ≥ 5 et p ≥ 3 un nombre premier. On dénit Y (M, N) le Z[1/MN]-schéma représentant le foncteur

S 7→ {Classes d'isomorphismes (E, e1, e₂)}

où S est un Z[1/MN]-schéma, E/S une courbe elliptique et e1, e₂ ∈ E(S) tels que e1 soit d'ordre M, e2 d'ordre N et (e1, e2)génère un groupe d'ordre MN. Pour N ≥ 4 on dénit Y₁(N ) := Y (1, N ). An d'introduire les opérateurs de Hecke il faut dénir les courbes modulaires Y (M, N(A)) et Y (M(A), N). Ce sont des Z[1/AMN]-schémas. Y (M, N(A)) représente le foncteur

1.6. COURBES MODULAIRES ET FORMES MODULAIRES 37 où le triplet (E, e1, e₂) ∈ Y (M, N )(S) possède les même propriétés que précédemment et C est un sous-groupe cyclique d'ordre AN tel que C contienne e2 et que l'application Z/M Z × C → E, (x, y) 7→ xe1+ y soit injective. On dit alors que C est complémentaire à e₁. De la même manière, Y (M(A), N) classie les classes d'isomorphismes de (E, e1, e₂, C) avec C un sous-groupe d'ordre AM contentant e1 et complémentaire à e2.

Toutes les courbes modulaires Y considérées précédemment sont équipées d'une courbe elliptique universelle π : E → Y . Pour r ≥ 1 on dénit

H_r := R¹π_∗(Z/p^rZ(1)) qui est un Z/pr

Z-faisceau lisse, étale et de rang 2 sur Y [1/p]. On note aussi H_Zp := lim←−

r

H_r, H_Qp := H_Zp⊗_ZpQp

qui sont des Zp et Qp faisceaux respectivement.

Pour H un groupe abélien et k ≥ 0, on dénit le module des tenseurs symétriques TSym^kH à valeurs dans H comme étant les Sk invariants du produit tensoriel H⊗k (voir Paragraphe 2.2 de [Kin15]). Ces modules forment une algèbre graduée

TSym H =^M

k≥0

TSym^kH

et pour tout h ∈ H et k ∈ N on note h[k] = h^⊗k ∈ TSymk

H. L'addition et la multiplica-tions sont données par les formules

(h + g)^[k] = k X j=0 h^[j]g^[k−j], h^[m]h^[n]=^{(m + n)!} m!n! ^h [m+n]. (1.22)

Pour X un Z[1/p]-schéma régulier et F un faisceau étale localement constant de (Z/pn

Z)-modules sur X cela permet de dénir les faisceaux étales TSymkF pour tout k ≥ 0. On dénit ainsi les faisceaux TSymkHr pour r ≥ 1, TSymkH_Zp et TSymkH_Qp pour tout k ≥ 0.

On peut construire plusieurs morphismes entre les diérentes courbes modulaires dé-nies précédemment. Soient A, M, N des entiers tels que M + N ≥ 5. On note pr1 et pr2

les morphismes de Y (M, NA) → Y (M, N) dénis par

pr₁(E, e₁, e₂) = (E, e₁, Ae₂), pr₂(E, e₁, e₂) = (E/hN e₂i, e₁ mod Ne2, e₂ mod Ne2). (1.23) On a des morphismes de projection

pr :  Y (M, N (A)) → Y (M, N )

(E, e₁, e₂, C) 7→ (E, e₁, e₂) pr :b  Y (M (A), N ) → Y (M, N )

On a un isomorphisme entre les deux courbes Y (M, N(A)) et Y (M(A), N) déni par ϕ_A: Y (M, N (A)) → Y (M (A), N )

(E, e₁, e₂, C) 7→ (E⁰, e⁰₁, e⁰₂, C⁰) où E0 := E/N C, e0

1 l'image de e1 et e0

2 l'image de [A]−1(e₂) ∩ C dans E0 (réduite à un point) et C0 est l'image de [A]−1

Ze1 dans E.

Soient E1 et E2 les courbes elliptiques universelles au-dessus de Y (M, N(A)) et Y (M (A), N ) respectivement, il existe une isogénie canonique

λ :E1 → ϕ∗ A(E2).

Soit F := (Fr)_r≥1 un pro-système de faisceaux étales sur un schéma S. On dénit la cohomologie étale continue dans le sens de Jannsen [Jan88] : Pour tout i on note Hi

´

et(S,F ) le i-ième rang du foncteur dérivé de

F 7→ lim

←−

r

H_´et⁰(S,Fr).

Dénition 1.6.1. Pour l un nombre premier, et pour tout i, j, k avec k, i ≥ 0 on dénit l'opérateur de Hecke T0

l si l - MN (ou U0

l sinon) agissant sur Hi ´

et(Y (M, N ), TSym^kH_Zp(j)) comme la composition

T_l⁰ = (pr)_∗◦ (λ)^∗◦ (ϕ_l)^∗◦ (pr)_b ^∗.

1.6.4.

On garde les notations du Paragraphe 1.6.1, en particulier p est un nombre premier xé, f est une forme modulaire de poids k0et niveau Nf. On note E une extension nie de Qp contenant les coecients de la q-extension de f. On note S l'ensemble des nombres premiers divisant pNf. Soit Q(S) l'extension maximale de Q non-ramiée hors de S ∪ {∞}. On note GS := Gal(Q^(S)/Q). Dans [Del71], Deligne a associé à toute forme parabolique une représentation Vf p-adique de GS := Gal^_Q^(S)/Q. Pour nous, il sera souvent plus commode de travailler avec la représentation duale V∗

f := Hom_E(V_f, E)dont on rappelle la dénition.

Dénition 1.6.2. Soit N ∈ N tel que N | Nf. On note V∗

f le plus grand quotient de H_´et¹(Y₁(N )_Q, TSym^k0−2

(H_Qp)(1)) ⊗_QpE sur lequel les opérateurs de Hecke T0

l agissent comme al et on note πf la projection sur le quotient.

Alors Vf∗ est un E-espace vectoriel de dimension 2 au-dessus de E et possède une action galoisienne de GQ,S := Gal(Q^(S)/Q) induite par l'action du groupe de galois sur la courbe modulaire Y1(N )

Q.

Pour tout N ∈ N tel que Nf | N le morphisme (pr1)_∗ déni en (1.23) induit un morphisme

(pr₁)_∗ : H_´et¹(Y1(N )_Q, TSym^k0−2

(H_Qp)(1)) → H_´et¹(Y1(Nf)_Q, TSym^k0−2

1.7. INTERPOLATION P -ADIQUE DES FORMES MODULAIRES 39

Dans le document Zéros exceptionnels des fonctions L p-adiques de Rankin-Selberg (Page 36-40)