Courbe de d´ epart α ∗ (t)

Dans le chapitre pr´ec´edent, des expressions de majorant du d´elai de travers´ee ont ´et´e donn´ees pour chaque composant ´el´ementaire du mod`ele de commutateur. Dans ces ´equations, le d´elai maximum D d´epend des param`etres de la courbe d’arriv´ee : la quantit´e de donn´ees maximale σ contenue dans une avalanche et un majorant ρ du taux d’arriv´ee moyen des donn´ees. En cons´equence, il est n´ecessaire de connaˆıtre les valeurs de l’enveloppe (σ, ρ) en chaque point du r´eseau. Comme le montre la figure 4.1, le probl`eme est qu’initialement, les contraintes li´ees `a l’arriv´ee de donn´ees d’un flux ne sont d´etermin´ees qu’`a l’entr´ee du r´eseau. Si les param`etres de l’enveloppe σ0, ρ0

de la courbe d’arriv´ee initiale sont connus, les param`etres σ1, ρ1

suite `a la travers´ee d’un premier syst`eme (´equipement r´eseau) ne le sont pas, et plus g´en´eralement nous ne b´en´eficions d’aucune hypoth`ese sur la fonction pouvant ˆetre adopt´ee pour

caract´eriser de nouveau le flux.

σ⁰, ρ⁰
σ¹, ρ¹
σ², ρ²
σ³, ρ³

? ? ?

Dcommutateur Dcommutateur Dcommutateur

Fig. 4.1: Evolution de la contrainte d’avalanche de donn´ees tout au long d’un r´eseau Ethernet commut´e.

Il est donc n´ecessaire de d´eterminer la courbe d’arriv´ee qui sera utilis´ee par le syst`eme suivant (le second commutateur sur la figure 4.1). Cette courbe sera appel´ee la courbe de d´epart. La courbe de d´epart d’un syst`eme correspondra donc `a la courbe d’arriv´ee du prochain syst`eme travers´e par le flux. La diff´erence r´esidera simplement dans le fait que pour la courbe d’arriv´ee, il sera admis que l’arriv´ee des donn´ees est ´egalement contrainte par la capacit´e du lien entrant. Pour d´eterminer cette courbe de d´epart, nous nous int´eressons au troisi`eme th´eor`eme fondamental du calcul r´eseau pr´esent´e notamment dans (Le Boudec et Thiran, 2001) et inclus dans l’annexe.

Le flux de sortie d’un syst`eme est contraint par une courbe de d´epart α∗ (ou courbe d’arriv´ee qui contraint le flux de sortie conform´ement `a la d´efinition d’une courbe d’arriv´ee 49), donn´ee par :

α^∗(t) = α (t) ⊘ β (t) = sup

v≥0

{α (t + v) − β (v)} (4.1)

L’´equation pr´ec´edente pourrait donc ˆetre directement appliqu´ee et permettre ainsi de d´eterminer l’´evolution des caract´eristiques des flux. Toutefois, on peut remarquer que l’expression de la courbe de d´epart s’appuie sur la courbe de service du syst`eme. Or l’analyse pr´ec´edente ne nous a pas conduit `a d´efinir la courbe de service de chaque composant ´el´ementaire, et en particulier pour le multiplexeur. Il est par cons´equent impossible d’utiliser directement cette propri´et´e. Notons ´egalement l’importance de la nature de la fonction correspondant `a la courbe de d´epart. En effet, les diff´erentes expressions du d´elai de travers´ee obtenues au chapitre pr´ec´edent ne sont vraies que pour des courbes d’arriv´ee affines. Si la courbe de d´epart obtenue est diff´erente, une ´etape interm´ediaire devra ˆetre envisag´ee que ce soit pour formuler de nouvelles expressions bas´ees sur de telles courbes, soit pour d´eduire une fonction affine majorant la courbe de d´epart (dans ce cas, il convient d’utiliser la m´ethodologie g´en´erale d’´evaluation par calcul r´eseau induite `a l’´equation (3.8)).

(Cruz, 1991a) ´etablit alors une autre expression de la sortie des donn´ees d’un flux qui se base sur l’´evolution de l’avalanche des donn´ees en sortie d’un syst`eme, et plus g´en´eralement tout au long d’un r´eseau. Les r´esultats suivants sont introduits dans le cadre d’un syst`eme pour lequel l’arriv´ee des donn´ees est contrainte par bin(t) (Rin∼ bin) et pour lequel le majorant du d´elai de travers´ee D est fini (D < +∞). Cruz note alors que la sortie des donn´ees est contrainte par bout (Rout∼ bout) o`u bout(t) est d´efini pour tout t positif par :

bout(t) = bin t + D
(4.2)

L’´equation suivante peut alors ˆetre d´etaill´ee comme suit en utilisant la relation (3.9).

σout = σin+ ρinD (4.3)

4.1 M´ethodologie g´en´erale 79 Cruz motive l’´equation (4.2) par le constat que si D est faible, alors le flux de sortie sera fortement semblable au flux d’entr´ee. Par rapport au pr´ec´edent majorant de la courbe de d´epart, cette expression est conforme au r´esultat de l’op´eration α (t) ⊘ β (t) lorsque β (t) = δ_D=

  

0 si t ≤ D

∞ sinon ^{(δDs’apparente}

`a une impulsion de Dirac appliqu´ee `a l’instant D), c’est-`a-dire que le service correspond `a un retard fixe. L’interpr´etation de cette ´equation est double : le taux d’arriv´ee moyen des donn´ees reste (´evidemment) le mˆeme et le d´elai est transform´e en avalanche de donn´ees suppl´ementaires. Le raisonnement g´en´eral peut alors se repr´esenter comme suit :

rafale

arri´er´e

d´elai

g´en`ere

Un flux arrive sur un syst`eme avec un certain niveau de rafale. L’avalanche de donn´ees introduite par ce flux participe alors `a l’augmentation de l’arri´er´e de traitement du syst`eme. Cette quantit´e de travail en attente donne lieu au d´elai de travers´ee du syst`eme. L’attente donne lieu `a une augmentation de la quantit´e de donn´ees appartenant au flux, qui pourra dans le pire des cas ˆetre finalement retransmise en continu. D’o`u l’apparition en sortie d’une avalanche de donn´ees plus importante qu’en entr´ee, cette augmentation ´etant proportionnelle au d´elai. Ce ph´enom`ene se r´ep´etera par la suite de syst`eme en syst`eme.

L’application de cette propri´et´e `a la figure 4.1 implique ainsi que la courbe de d´epart du premier commutateur sera d´efinie par σ1, ρ1

= σ0+ ρ0Dcommutateur, ρ0

. Des d´elais de travers´ee de plusieurs syst`emes successifs peuvent ainsi ˆetre exprim´es en r´eit´erant plusieurs fois cette ´equation. Nous constatons alors que le majorant du d´elai de travers´ee du commutateur correspond simplement `a la somme des majorants des d´elais de travers´ee des composants ´el´ementaires constitutifs du mod`ele.

σ_commutateur^∗ = σ_{port de sortie}^∗ =    σ + ρDmux
| {z } σ∗ mux + ρDm´emoire    | {z } σ∗ m´emoire + ρDport de sortie

= σ + ρ Dmux+ Dm´emoire+ Dport de sortie

| {z }

Dcommutateur

(4.4)

Ainsi il est possible de d´eduire le d´elai de travers´ee d’un syst`eme de bout en bout `a partir de l’augmen-tation totale de l’avalanche maximale du flux.

Cette technique est ´egalement utilis´ee dans (Grieu, 2004) pour calculer la courbe de d´epart suite `a la travers´ee d’un multiplexeur. Dans ce cas, des composants comme le multiplexeur sont vus comme de simples retardateurs.