DETECTION PLASMONIQUE
5.2. Eléments théoriques sur les plasmons de surface
5.2.4. Couplage par réseaux de diffraction
L’un des moyens pour générer des plasmons de surface consiste à utiliser un réseau de diffraction. Une onde lumineuse incidente transverse magnétique (TM) éclaire un réseau de période spatiale et de profondeur de gravure h. La diffraction donne naissance à un ensemble d’ordres d’interférences.
Avant d’aborder le problème du couplage avec les plasmons, rappelons quelques notions de base sur le phénomène de diffraction. La diffraction correspond à une modification de la répartition l’énergie transportée par une onde après sa rencontre avec un obstacle. Dans le cas d’une onde plane incidente monochromatique et uniforme de longueur d’onde dans le vide 0, rencontrant un réseau de réflexion 1D périodique, la puissance réfléchie est maximale selon certaines directions particulières caractérisées par un ordre d’interférence m entier. Ces ordres donnent donc un signal aisément mesurable. En absence de couplage avec les plasmons, le maximum de la puissance réfléchie correspond à l’ordre 0. Une chute significative du pouvoir réflecteur selon cet ordre (ou d’autres ordres entiers) révèlera donc le couplage de l’onde avec le plasmon. La puissance manquante étant, en effet, consommée par effet joule dans le métal par l’oscillation des électrons dans le réseau métallique.
Considérons donc un réseau monodimensionnel périodique, éclairé par une onde plane sous un angle d’incidence i. Soit deux rayons incidents (1) et (2) particuliers de ce faisceau
éclairant deux points A et C du réseau et distants précisément de la période spatiale (figure 5.5). Sur ce schéma, le faisceau est orienté de telle sorte que le plan d’incidence soit perpendiculaire à la ligne d’invariance du réseau. Après rencontre du réseau la réflexion n’est pas spéculaire, elle s’effectue selon toutes les directions. Certaines directions correspondent à des puissances réfléchies plus élevées que d’autres. On considère donc une direction de réflexion particulière caractérisée par l’angle ( peut être compris entre - /2 et + /2). Après réflexion selon cet angle, les plans d’ondes associés à ces deux rayons se trouvent déphasés, car les rayons associés ont parcouru des distances différentes. L’ordre d’interférence m compare la différence de trajet géométrique entre ces deux rayons (1’) et (2’) à la longueur d’onde de la lumière dans le milieu. On a donc (voir figure 5.5) :
𝑚 = (𝑑1− 𝑑2)/ (5.20)
Comme la longueur dépend du milieu traversé, on préfère choisir comme référence la longueur d’onde dans le vide 0 = /nd (où nd est l’indice optique du milieu diélectrique considéré). Par définition, l’ordre d’interférence est alors égal au rapport de la différence de chemin optique sur la longueur d’onde 0.
𝑚 =/0 = 𝑛𝑑 (𝑑1− 𝑑2)/0 (5.21) L’ordre d’interférence m (nombre réel) correspondant à la figure 5.5 est donc :
𝑚 =𝛿
0 =𝑛𝑑 (𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖 − 𝑠𝑖𝑛𝛽)
Figure 5.5 : Différence de chemin optique entre 2 rayons incidents distants, sur le réseau, de
la périodicité spatiale et diffractés selon la direction définie par l’angle
D’après (5.22), l’angle de diffraction associé à l’ordre m, s’exprime en fonction de l’ordre d’interférence m sous la forme :
𝑠𝑖𝑛𝑝 =𝑚 0
𝑛𝑑 + 𝑠𝑖𝑛𝑖 (5.23)
Le nombre d’ordres m entiers que l’on peut obtenir est limité, du fait que le second membre doit rester dans l’intervalle de valeurs [-1, 1]. Ainsi, pour un réseau de période spatiale = 760 nm, une longueur d’onde 0 égale à 600 nm (couleur orange), un angle d’incidence égal à 30° et un fluide d’indice optique nd = 1,36, seuls 3 ordres d’interférences p entiers peuvent être réalisés : m = 0, -1 et -2. A ces 3 valeurs de m correspondent respectivement 3 valeurs de égales respectivement à +30°, - 4,6° et - 41,3° (figure 5.6). Pour une longueur d’onde de 800 nm, on obtient 2 valeurs entières de m vérifiant la condition : m = 0 (+ 30°) et
m = - 1 (- 15,9°). Pour une longueur d’onde de 400 nm on obtient 5 ordres entiers : m = 0
(+ 30°), m = -1 (+ 6,49°), m = -2 (- 15,9°), m = -3 (- 41,3°) et m = +1 (+ 62,49°).
Figure 5.6 : Ordres de diffraction entiers possibles pour un réseau en réflexion avec
0 = 600 nm, = 760 nm et i = 30°. d2 d1 nd i
(+)
Orientation choisie des anglesAvec cette convention d’orientation des angles on a sur cette figure :
i > 0 et > 0, d’où ici : d2 = sin i > 0 d1 = sin > 0 h (1) (2) A B C D
Les plans d’onde se décalent entre les lignes AB et CD
(+)
(1’) (2’) Ordre 0 Ordre -2 Ordre -1 i= -30° + 30° -41,3° 4,6° 𝑢⃗⃗𝑥 𝑢⃗⃗𝑧 𝑢⃗⃗𝑦L’ordre de diffraction utilisée pour cette étude est l’ordre 0 car en absence de couplage avec le plasmon, la puissance diffractée est maximale selon cette direction.
La relation (5.23) permet d’écrire :
2 𝜋 0 𝑛𝑑 𝑠𝑖𝑛𝑚 ⏟ 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑧′𝑧 𝑑𝑢 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑′𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘⃗⃗𝑝 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖é à 𝑙′𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟é𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡é𝑒 à 𝑙′𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑚 = 𝑚2 𝜋 + 2 𝜋 0 𝑛𝑑 𝑠𝑖𝑛𝑖 ⏟ 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑧′𝑧 𝑑𝑢 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑′𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑘⃗⃗𝑖 (5.24)
On définit alors un vecteur 𝐺⃗ = 2 𝜋 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ (figure 5.7) associé au réseau de diffraction. 𝑧 Ce vecteur est situé dans le plan du réseau et est perpendiculaires aux « franges » du réseau. Il est donc dans la même direction que les projections sur le réseau des vecteurs d’ondes 𝑘⃗⃗⃗⃗ et 𝑘𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟 . La relation (5.24) peut alors s’écrire :
𝑘𝑚𝑧𝑢⃗⃗𝑧 = 𝑚 𝐺 𝑢⃗⃗𝑧+ 𝑘𝑖𝑧 𝑢⃗⃗𝑧 (5.25) L’excitation d’un plasmon de surface n’est possible que si la composante suivant 𝑢⃗⃗𝑧 du vecteur d’onde
𝑘⃗⃗
𝑚 de l’onde généréepar l’onde excitatrice (onde incidente) est égale à celle de l’onde associée au plasmon. Dans le cas d’une surface métallique lisse, cette situation n’est pas possible du fait de la réflexion spéculaire : la composante suivant 𝑢⃗⃗𝑧de l’onde réfléchie est égale à celle de l’onde incidente, et elle reste toujours inférieure à celle du plasmon, même en incidente rasante. L’utilisation d’un réseau 1D périodique permet d’ajouter un vecteur supplémentaire 𝑚 𝐺 𝑢⃗⃗𝑧 et dans ce cas, le couplage est possible. Il est donc réalisé lorsque la condition suivante est vérifiée :𝑘
𝑚𝑧𝑢⃗⃗
𝑧= 𝑘
𝑆𝑃𝑢⃗⃗
𝑧 (5.26)Où 𝑘⃗⃗𝑆𝑃 est le vecteur d’onde associé au plasmon de surface.
Dans le visible cette condition pour être réalisée. Il en résulte, pour cette longueur d’onde, une absorption d’énergie.
La figure 5.7 représente, en fonction de l’angle et pour une longueur d’onde donnée, le rapport « puissance réfracté sur la puissance incidente », dans le cas particulier d’un réseau en réflexion très simplifié et sans aucun phénomène de plasmon (réseau non métallique) éclairé en incidence normale : i = 0 (d’où ici la répartition symétrique de la puissance autour de l’angle = 0). Cette figure montre que la majorité de la puissance se trouve concentrée selon les directions de réflexion correspondant à des ordres entiers.
Figure 5.7 : Exemple d’un réseau par réflexion éclairé en incidence normale et sans effet
« plasmon ». Eclairement (W/m2) normalisé reçue par un écran en fonction de l’angle d’observation.
Dans le cas où une longueur d’onde correspondant à un ordre d’interférence m entier, est diffracté en incidente rasante ( /2) et vérifie la relation (5.26) une forte énergie, correspondant à cette longueur d’onde sera absorbée. Il en résultera, un pic d’anti-résonnance très visible sur le signal donné par le spectromètre.
Comme l’ordre m = 0 ne permet pas d’exciter le plasmon du fait que le terme supplémentaire m G apparaissant dans la relation (5.25) est nul, l’ordre le plus intéressant à considérer (si le terme supplémentaire est suffisant) est l’ordre m = 1, car il transporte la puissance la plus élevée après l’ordre 0.
En ce qui concerne l’observation, il est judicieux de la réaliser selon la direction définie par l’ordre m = 0, car selon cette direction (voir relation 5.24) toutes les longueurs d’onde 0 ont le même angle de diffraction (0 ne dépend pas de 0 et est égal à i). On récupère donc, pour cette direction précise, le pic du maximum d’intensité pour toutes longueurs d’onde sauf pour celles qui auront cédées leur énergie au plasmon.
5.2.5. Détermination de la longueur d’onde correspondant à une absorption maximale