1.1 Couplage dipolaire magnétique
1.1.1 Couplage entre un spin unique et un résonateur
L’hamiltonien d’un résonateur qui possède un seul mode de fréquence angulaire ωrest
donné par
ˆ
Hr= ~ωrˆa†a,ˆ (1.1)
où les opérateurs ˆa† et ˆa sont, respectivement, les opérateurs de création et d’annihilation
d’un photon micro-ondes dans le mode du résonateur (annexeA). L’hamiltonien d’un spin dans un champ magnétique externe B0est, en général, donné par
ˆ
Hs = g∗µBB0·ˆS+ ˆHs′, (1.2)
où g∗est le facteur de Landé, µ
Best le magnéton de Bohr et ˆSest l’opérateur de spin [50]. Le
terme ˆH′
sde l’hamiltonien permet de tenir compte, par exemple, de l’interaction hyperfine
du spin avec des spins nucléaires et de la séparation de champs nuls (zero field splitting). Il est possible de diagonaliser l’hamiltonien de l’équation (1.2) afin d’obtenir les énergies
propres Eiassociées aux états propres |i = g, e, f, . . .i. En ne considérant que les deux états
de plus basse énergie, soit l’état fondamental |gi et le premier état excité |ei, il est possible de se restreindre au sous-espace à deux dimensions en considérant ˆS→ ˆσ/2et en définissant la fréquence angulaire de Larmor par ωs≡ (Ee− Eg) /~, où ˆσsont les matrices de Pauli.
Considérant de plus que le champ externe est parallèle à l’axe de quantification z, soit B0 = [0, 0, B0], l’hamiltonien du spin s’écrit comme
ˆ Hs/~ =
1
2ωsσˆz. (1.3)
Cet hamiltonien correspond à celui d’un spin 1/2 effectif où la fréquence angulaire de Larmor est donnée par ωs = (Ee− Eg) /~et diffère de ωs= g∗µBB0/~pour ˆH′s6= 0. De plus,
en prenant compte de ˆH′
sdans l’hamiltonien de l’équation (1.2), il est possible de décrire le
couplage d’un spin unique quelconque à un résonateur, en autant qu’il soit possible de se restreindre au sous-espace à deux dimensions défini par les états de plus basses énergies |gi et |ei. Cette approximation est particulièrement justifiée si ωs∼ ωr.
Hamiltonien de l’interaction spin-résonateur
L’interaction dipolaire magnétique entre le spin et le résonateur est en général décrit par l’hamiltonien
ˆ
Hint = g∗µBBˆ1(r)·Sˆ, (1.4)
où ˆB1(r) = δB(r) ˆa† + ˆa est le champ magnétique micro-ondes du résonateur à la po- sition r du spin et où δB(r) sont les fluctuations du vide du champ micro-ondes à cette position [50]. Puisqu’on ne considère qu’un seul spin ici, la dépendance de l’interaction sur la position r du spin dans le résonateur est implicite à partir d’ici.
En se restreignant aux deux états de plus basses énergies, il est possible de réécrire l’hamiltonien sous la forme
ˆ Hint/~ = gz ˆa†+ ˆa ˆ σz+ gx ˆa†+ ˆa ˆ σ−+ h.c., (1.5)
où le premier et le deuxième termes décrivent l’interaction longitudinale et transverse de coefficients gz et gx respectivement et h.c. dénote le conjugué hermitien. Les opérateurs
Spin Résonateur
a) b)
Spin Résonateur
F i g u r e1.1 – Schéma de l’interaction dipolaire magnétique entre un spin et un résonateur.
a) Schéma d’un spin unique, d’hamiltonien ˆHs, couplé à un résonateur micro-ondes de type co-
planaire, d’hamiltonien ˆHr, par interaction dipolaire magnétique, décrit par l’hamiltonien ˆHint.
L’amplitude du champ magnétique micro-ondes ˆB1du mode fondamental du résonateur est égale- ment représentée. b) Illustration schématique d’un spin 1/2 piégé sur un défaut d’un cristal sur lequel un résonateur supraconducteur de type coplanaire de fréquence angulaire ωret d’impédance
Z0 avec un conducteur central de largeur w est fabriqué. Un champ magnétique externe B0 est
appliqué selon l’axe de quantification z. Le champ magnétique micro-ondes ˆB1est principalement parallèle à l’axe x pour un spin unique situé sous le conducteur central. À partir des paramètres réalistes w = 10 µm, Z0 = 50 Ω, g∗ = 2et ωr/2π = 6GHz à l’équation (1.12), un coefficient de
couplage gx/2π≈ 30 Hz est estimé à partir de l’équation (1.9).
longitudinal et transverse sont respectivement donnés par ~gz = 1
2g
∗µ
BδB·
h
he|Sˆ|ei − hg|ˆS|gii, (1.6) ~gx = 1
2g
∗µ
BδB· hg|Sˆ|ei. (1.7)
Ainsi, malgré que seuls les deux états de plus basses énergies soient considérés, l’expression des coefficients de couplage tiennent compte de la nature exacte du spin via l’opérateur ˆS. En effet, pour ˆH′
s6= 0, les opérateurs de spinˆSne correspondent pas aux matrices de Pauli
ˆ
σ, puisque ces dernières sont dans la base diagonalisant ˆHs. Pour un spin libre ( ˆH′s = 0,
ˆ
S→ ˆσ/2), les coefficients de couplage se simplifient à
~gz = 1 2g ∗µ BδBz, (1.8) ~gx = 1 4g ∗µ B(δBx+ iδBy) . (1.9)
Il est possible de simplifier davantage l’hamiltonien de l’équation (1.5) en appliquant l’approximation séculaire résultant en
ˆ
L’approximation séculaire revient essentiellement à éliminer les termes qui ne conservent pas le nombre d’excitations dans le système, tel que ˆaˆσ−par exemple. Cette approximation
est valide lorsque le spin et le résonateur sont presque résonants, soit ωs ∼ ωr, et que les
coefficients de couplage sont beaucoup plus faibles que les fréquences angulaires de chaque sous-système, soit gx,z ≪ ωs,r. Il est alors possible de voir que le couplage longitudinal
disparait sous l’approximation séculaire. À la section1.2, le couplage longitudinal entre un spin unique et un résonateur est réintroduit et la section1.4porte sur une application potentielle de ce couplage.
Hamiltonien total
À partir des résultats précédents, l’hamiltonien total du système composé d’un spin unique en interaction dipolaire magnétique avec un résonateur à un mode est donné par
ˆ
H/~ = ωrˆa†a +ˆ
1
2ωsσˆz+ gxˆa
†σˆ−+ h.c.. (1.11)
Cet hamiltonien est connu sous le nom d’hamiltonien de Jaynes-Cummings décrivant le couplage transverse d’un qubit avec un résonateur [51, 52, 9]. Les outils développés en électrodynamique quantique en cavité et en circuit peuvent ainsi être utilisés pour décrire la dynamique d’un spin unique couplé à un résonateur.
Coefficient de couplage transverse
Afin d’estimer le coefficient de couplage transverse gx, il est utile de considérer un
exemple précis pour le système de spin et le résonateur. Le coefficient de couplage trans- verse gxest proportionnel aux fluctuations du vide du champ magnétique micro-ondes
du résonateur δB et dépend ainsi fortement de l’architecture considérée. Par exemple, un résonateur supraconducteur en circuit de type coplanaire permet d’augmenter δB signifi- cativement par rapport à un résonateur tridimensionnelle [9]. Le coefficient de couplage transverse gxd’un spin 1/2 couplé à un résonateur supraconducteur de type coplanaire de
fréquence angulaire ωrest donné par l’équation (1.9) avec [53]
δBx= 1 4 µ0 w r h Z0 ωr, δBy = 0, (1.12)
où µ0 est la perméabilité du vide, w est la largeur du conducteur central du résonateur
couplage gx/2π≈ 30 Hz est attendu. Une valeur similaire du coefficient de couplage a été
démontré expérimentalement aux références [34,54] par exemple. Par contre, malgré que le taux de décohérence γsde certains systèmes de spin peut être inférieur à ce coefficient
de couplage [55,56,57], celui-ci est beaucoup plus faible que le taux κrauquel les photons
micro-ondes quittent le résonateur supraconducteur [58,59]. Il est ainsi difficilement envi- sageable d’atteindre le régime de couplage fort entre un spin unique et un résonateur, où le coefficient de couplage gxest supérieur à γset κr.
Les références [60], [53] et [50] étudient l’augmentation des fluctuations du vide du champ magnétique micro-ondes d’un résonateur supraconducteur. Pour ce faire, une constriction nanométrique est fabriquée près du spin unique, en augmentant δBxde l’équa-
tion (1.12) par la diminution de la largeur w du conducteur central, ce qui résulte en un coefficient de couplage de quelques kHz. Malgré cette augmentation du couplage, le cou- plage dipolaire magnétique fort entre un spin unique et un résonateur reste à ce jour un défi de taille. Alors que les deux prochaines sections présentent deux approches similaires permettant d’atteindre expérimentalement le régime de couplage fort entre un système de spin et un résonateur, la section1.2présente une approche permettant d’atteindre expéri- mentalement ce régime pour un spin unique en allant au-delà du couplage direct avec le résonateur par interaction dipolaire magnétique.