couche d’Ekman paroi

δ∼E

1/2

normale n

Ω

Fig. 1.4 – Pompage d’Ekman induit par un cyclone, ou un anticyclone.

Nous appelons moment cin´etique plan´etaire le moment cin´etique du fluide

calcul´e dans le r´eferentiel galil´een du laboratoire G. Un cyclone peut ˆetre

consi-d´er´e comme un exc`es local de moment cin´etique plan´etaire. La couche d’Ekman

r´eagit donc en y injectant du fluide qui, ´etant initialement en contact avec les

parois, poss`ede moins de moment cin´etique plan´etaire que ce cyclone. Cette

injection provoque la dissipation de la structure cyclonique, elle est ´equivalente

`a un frottement visqueux sur les parois. Inversement, un anticyclone est un

d´e-faut local de moment cin´etique plan´etaire. La couche d’Ekman le fera relaxer

en injectant du fluide de plus fort moment cin´etique plan´etaire.

Ainsi, le pompage d’Ekman traduit, `a l’int´erieur du fluide, les effets de la

viscosit´e sur les bords. S’ils ne sont pas entretenus par une source d’´energie

quelconque, le cyclone et l’anticyclone de la figure 1.4 dissiperont sous l’effet

du frottement sur les parois. Ce frottement ´equivalent au pompage d’Ekman

est appel´e frottement d’Ekman.

Le frottement d’Ekman est `a l’origine des phases de mise en rotation solide,

ou de d´ec´el`eration d’un fluide appel´ees spin-up et spin-down. Lorsque l’on met

le conteneur d’un fluide initialement au repos en rotation, des couches d’Ekman

se forment. Du fluide `a fort moment cin´etique est inject´e depuis la couche limite

vers le cœur, tandis que du fluide `a faible moment cin´etique est ´eject´e en sens

inverse. Sur une ´echelle de temps de l’ordre deE

1/2

Ω

−1

, appel´ee temps de

spin-up, l’int´erieur du fluide se met `a l’´equilibre, en rotation rapide `a la vitesse des

parois.

Ainsi, dans le cas d’une sph`ere mise en rotation, du fluide va ˆetre inject´e

dans le cœur pr`es de l’´equateur, et eject´e vers la couche d’Ekman au niveau

des pˆoles. On peut aussi examiner le spin-down de la tasse de th´e : alors que

le liquide se ralentit, les feuilles de th´e se rassemblent au centre de la tasse.

Du fluide immobile est en effet inject´e dans le cœur `a cet endroit, alors que

du fluide `a fort moment cin´etique est ´eject´e sur les cˆot´es. Les feuilles de th´e

sont advect´ees par la circulation de couche limite, elles se rassemblent donc au

centre du fond de la tasse.

Pour en revenir au cas de la sph`ere, une ´etude plus g´en´erale de la couche

d’Ekman peut ˆetre men´ee dans le cas de parois inclin´ees par rapport au vecteur

rotation. La vitesse de cœur calcul´ee loin de la paroi dans la direction de l’axe

de rotation s’exprime par (Gubbins et Roberts,1987) :

v

c

= ¹

2^E

1/2

e

z

· ∇ ×

'

1

(

|n·e

z

|^{(n×u−u sgn(n·e}

^z

⁾⁾

)

e

z

. (1.10)

n est la normale `a la sph`ere dirig´ee vers l’ext´erieur. Cette formule poss`ede une

singularit´e lorsquenete

z

sont orthogonaux. Il y a alors explosion de la couche

limite en E

1/2

. Il faut alors d´evelopper les ´equations de couche limite `a l’ordre

sup´erieur. C’est alors une couche visqueuse plus ´epaisse (en E

2/5

) qui prend

place, sur une distance lat´erale d’ordre E

1/5

(voir Noir (2000)). Dans le cas

sph´erique qui nous int´eresse, cette singularit´e est concentr´ee `a l’equateur.

L’´equation (1.10), ´etablie en r´egime stationnaire, peut ˆetre consid´er´ee comme

valide dans des r´egimes d´ependants du temps (Duck et Foster, 2001). En

ef-fet, l’adaptation de la couche d’Ekman aux variations de vitesse `a l’int´erieur du

fluide r´esulte de l’incompressibilit´e de ce dernier. Dans un tel mod`ele, la couche

s’adapte donc instantan´ement. En fait, sur une ´echelle de temps de l’ordre de

la p´eriode de rotation, les effets inertiels ne peuvent plus ˆetre n´eglig´es comme

nous l’avons fait dans l’´equation (1.8), et la couche d’Ekman devient

d´epen-dante du temps. Pour r´esumer, nous pouvons dire que le pompage stationnaire

est valable lorsque l’´echelle de temps des variations de vitesse dans le cœur est

plus lente que Ω

−1

.

1.3 Convection. 37

1.3 Convection.

Nous disposons d’une ´equation dynamique pour les mouvements dans un

fluide en rotation. Pour clore notre mod`ele de convection, nous devons

main-tenant nous int´eresser `a l’´equation d’´energie, et `a l’expression de la force

vo-lumique d’Archim`ede. Nous rappelons que nous consid´erons pour mod´eliser le

noyau un fluide incompressible, homog`ene, isotrope et Newtonien.

1.3.1 Approximation de Boussinesq.

L’approximation la plus utilis´ee pour les mod`eles de convection est

l’ap-proximation de Boussinesq. Malgr´e la simplicit´e apparente des ´equations qui

en r´esultent, les conditions de cette approximation sont assez complexes. Nous

ne les ´etudierons pas toutes ici, le lecteur pourra consulter Gubbins et Roberts

(1987); Tritton (1988) pour une d´emonstration compl`ete.

Le principe de l’approximation est simple : un fluide purement

incompres-sible tel que celui que nous avons pris pour mod`ele ne peut pas convecter. En

effet, dire que le fluide est incompressible revient, par l’´equation de continuit´e,

`a dire que sa densit´e reste invariablement la mˆeme. Or, ce sont les changements

de densit´e li´es aux changements de temp´erature qui permettent de cr´eer des

mouvements convectifs. L’approximation de Boussinesq cherche `a ´etablir dans

quelles circonstances on peut consid´erer le fluide comme incompressible,!!sauf

en ce qui concerne les effets li´es `a la gravit´e_"", comme l’a ´ecrit Rayleigh.

Pour r´esumer, cette approximation est valable si les changements de densit´e

et de viscosit´e li´es aux variations de temp´erature sont faibles, et si

l’´echauffe-ment du fluide par frottel’´echauffe-ment visqueux est n´egligeable. En fait, la plus grande

limitation que rencontre cette approximation provient du gradient adiabatique,

ce qui nous renvoie `a la discussion de l’introduction. Nous avons alors vu que

l’approximation de Boussinesq d´ecrit bien les mouvements engendr´es par les

´ecarts thermiques au gradient adiabatique.

1.3.2 Équation d’énergie.

Nous ´etablissons ici l’´equation r´egissant l’´evolution de l’´energie interne du

fluide. Soitel’´energie interne massique du fluide. Nous pouvons ´ecrire (Tritton,

1988) :

ρ^de

q est le flux de chaleur, qui s’exprime par (loi de Fourier) q = −k∇T o`u

k est le coefficient de conductivit´e thermique et T le champ de temp´erature

locale. ǫ est le taux de production d’´energie li´e aux sources internes de chaleur

(radioactivit´e...). L’approximation de Boussinesq stipule que ǫ ne contient pas

de termes li´es `a l’´echauffement li´e au frottement visqueux.

Si nous choisissons la pression et la temp´erature pour d´ecrire l’´etat

ther-modynamique du fluide, l’approximation de Boussinesq permet de dire que

l’´energie interne ne d´epend pas de la pression :

e=C

p

T.

Ceci donne, pour l’´equation (1.11) :

dT

dt ^=κ∇

2

T + ^ǫ

ρC

_p

^{. (1.12)}

κ = k/ρC

p

est la diffusivit´e thermique du fluide. Le plus souvent, nous

consi-d´ererons pour cette ´equation des conditions aux limites de temp´erature fix´ee,

en l’absence de chauffage interne. L’´equation s’exprime donc :

dT

dt ^=κ∇

²

T. (1.13)

1.3.3 Force d’Archimède.

L’approximation de Boussinesq n´eglige la compressibilit´e du fluide, sauf

dans l’expression de la force d’Archim`ede. On lin´earise la densit´eρ(T) du fluide

autour d’un ´etat de densit´e uniformeρ

0

, `a la temp´erature de r´ef´erenceT =T

0

:

ρ(T) =ρ

0

(1−α(T −T

0

)).

α est le coefficient de compressibilit´e isotherme du fluide. La densit´e ρ

0

n’a

aucun effet dynamique, puisqu’elle est compens´ee hydrostatiquement par un

gradient de pression. Ce n’est donc que la variation de densit´e qui induit une

force d’Archim`ede s’exprimant par :

f

v

= (ρ−ρ

0

)g =−ρ

0

α(T −T

0

)g, (1.14)

g ´etant le champ de gravit´e.

1.3.4 Bilan

Nous d´ecrirons un fluide en rotation et en convection en utilisant l’ensemble

des ´equations (1.5), (1.14) et (1.13) :

1.4 Modèle quasigéotrophique de la convection dans une sphère en rotation.39

∂u

∂t ^{+ (u}· ∇)u+ 2Ω×u =−∇Π

^"

−α(T −T

0

)g+ν∇

²

u.

Dans le document Modèles expérimentaux et numériques de la convection dans le noyau de la Terre. (Page 36-40)