Correspondance des normalisations entre pétales perturbés dans le cas d’un itéré

Supposons maintenant que la famille f_λest de la forme

f_λ=³

f_λ+p0 q0

´q0

oùp0∧ q⁰= 1et f_µest une famille analytique d’applications telles que fµ(z) = e^2iπµz + O(z²),

définie pourµproche dep0/q0. En particulier,

f0=¡

f_p0/q0¢_q0 .

Puisque f0 et fp0/q0 commutent, l’ensemble desQ directions attractives de f0 est préservé par la rotationR_p0/q0 d’anglep0/q0tours. Doncq0|Q.

Continuons à considérer une suiteλn−→ 0à l’intérieur du secteurS = ou . Notons fn= fλn et introduisons f_n=f_{λn +p0}

q0

de sorte que fn=f_n^q0. Rappelons que nous avions introduitqsecteurs, étiquetés par un index j et contenant lesQpoints fixes

zj defn proches de0. Ces secteurs sont centrés surQaxes intermédiaires auxquels nous associons les mêmes index. Considérons les objets que les sections précédentes ont associés à la suitefn et à l’indexj: pétales perturbés Bn, coordonnées de Fatou perturbées_Φfn, et approximations d’icelles_Φgn telles que_Φgn(Bn) =]an,b_n[×R.

Lemme 59. Soit j0 l’index de l’axe d’un secteur et j1 l’index de son image par la rotation R_p0/q0. Soient respectivement Bn,Φfn et Bbn, bΦfn les suites de pétales per-turbés et de coordonnées de Fatou associées respectivement aux index j0et j1. Soient

b+ n etb−

n les constantes associées au développement asymptotique de Φfn donné à la proposition 42 page 54, et_bb+

n etb_b−

n ceux correspondant àΦbfn. Alors

b b+ n = b+ n et b b− n = b− n.

Preuve. La valeur exacte de ces constantes est donnée par le lemme 41 page 54. On obtient b b+ n− b_n⁺= Q X j =1 log_p^−z_db+^j− log_p^−z_d+^j logmj .

Le numérateur numj est l’une des valeurs de log_d^d_b+⁺ ≡ −2i π^p_q⁰0 (mod 2iπ). Notons

d+ b

d+= exp(2i πt ), avect ∈^¤−¹₂,¹₂^¤unique, non nul, ett = p00/q0avecp00≡ p⁰ (mod q0). Notons]0, t[l’intervalle réel ouvert compris entre0ett. Soit_S le secteur d’équation

68 3. IMPLOSION PARABOLIQUE

par_db+.R+etd+.R+). Alorsnumj= 2i π(t − s)oùs ∈ {−1,1}est le signe det sizj∈ S, etnum_{j= 2i πt} siz_{j∉ S}.

d+

b d+

S

FIGURE11: Exemple avecQ = 10etp0/q0= 2/5. En rouge, les axes répulsifs, en vert attractifs, en gris un cycle de secteursSj.

L’application fn permute les zj et envoie un tel point fixe de fn sur un point fixe de même multiplicateur. On peut donc regrouper la somme selon les orbites, puis dans ces paquets factoriser 1

logmj. Il suffit pour démontrer le lemme de voir que la somme desnumj sur une orbite est nulle. Cette somme vaut2iπ(q0t − sN) = 2iπ(|p00| − N )s, où N est le nombre de points du cycle appartenant àS. Or leszj

sont contenus dans des secteursSj centrés sur la moitié des axes intermédiaires et d’ouverture_{< π/Q}. Il y a donc exactement_|p00|tels secteurs dans une orbite. Voir la

figure 11. _

Lemme 60. Sous les mêmes conditions, il existeM > 0tel que pournassez grand,

Φfn(f−1

n ( bBn)∩Bn)contient la bandeB_{n=]an+ M, bn− M[×R}et tel que surΦ−1

fn(B_n), on a (bΦfn+cb+ n) ◦f_n = (Φfn+ c⁺n) + ¹ q0, (bΦfn+cb− n) ◦f_n = (Φfn+ c⁻n) + ¹ q0.

Preuve.Ici, * signifiera “indépendamment den”. L’application fn fixez0= 0et agit sur les autres z_j par un décalage de l’index dans{1,...,Q}. De plus, elle envoie un point fixe de fn vers un point fixe de même multiplicateur. Par conséquent la sur-face de redressement_Rn possède un sous-ensemble_R0

n obtenu en décalant d’une quantité bornée* les lignes formant le bord de Rn, tel que R0

15. LE CAS D’UN ITÉRÉ 69

un isomorphismeTn de surface de translation,Tn étant une “translation” d’ordre fini q0. Elle se projette en une application t_n définie sur un sous-ensembleU de

B(0,r ), qui contient un disque centré en0 de rayon minoré*. Les applications tn

et g_n commutent, et t_n et f_n sont égales aux points z_j (par contret0 n(0) 6=f0

n(0)). Donc ωn(z) × tn(z) −f_n(z) est une suite de fonctions holomorphes sans pôles qui converge sur tout compact deU \ {0}. Elle est donc bornée sur tout compact deU :

tn(z) −f_n(z) É K /ωn(z). Rappelons que Φ0

gn(z) = 1/ωn(z). Donc par distorsion bor-née (lemme 24 page 40 et son corollaire 25), quitte à rétrécir _R0

n un petit peu, l’application fn est conjuguée surR0

n à une applicationSn qui diffère deTn d’une quantité bornée*. Donc_Φgn(g−1

n ( bBn)∩Bn)contient la bande]an+M, bn−M[×Rpour un certainM > 0. Avec l’équation (26) page 49, ceci implique queΦfn(f−1

n ( bBn)∩Bn)

contient la bandeBn=]an+ M, bn− M[×Rpour un autre_{M > 0}.

L’application Φbfn◦f_n◦ Φ⁻¹_fn est définie sur la large bandeBn, injective et commute avecT1. Nécessairement, c’est une translation surBn. Donc

(bΦfn+cb+

n) ◦f_n= (Φfn+ c⁺n) + cstn

sur Φ−1

fn(Bn). Pour calculer cette constante, qui dépend des normalisations, regar-dons les développements asymptotiques quandz −→ 0dans f−1

n ( bBn)∩Bn. Première-ment, f_n(z) ∼ z→0e^{2iπλn +p0}q0 z etdb+= e^2iπ p0 q0d+donc f_n(z) b d+ ∼ z→0 z d+e^2iπλnq0.

Avec la proposition 42 page 54, ceci implique que pourn assez grand,_∃kn∈ Ztel quecstn=_q¹0+ bb+

n− bn⁺+^kn

λn. Par le lemme 59 page 67,_bb+

n= b⁺n. Donc

cstn= 1 q0+k_n

λn^.

L’équation (29) page 52 garantit que tout compact de A = (Φ+ f)−1¡

]a + M,+∞[×R^¢

finit par être contenu dans_Φ−1

fn(Bn). De plus,_{A ∩}f⁻¹( bA) 6=∅. Prenons n’importe quel point de cette intersection. En ce point, Φfn+ c⁺n et(bΦfn+bc+

n) ◦f_n finissent par être définis et convergent d’après le lemme 40 page 52. Il s’en suit que la suitecstn est bornée. Cela implique quekn est nul à partir d’un certain rang. _

Remarque. On s’est affranchi d’une indétermination du logarithme par une astuce. Aurait-on pu adopter une approche plus élégante ? Aurait-on pu démontrer les lemmes 59 et 60 dans l’ordre inverse ?

70 3. IMPLOSION PARABOLIQUE

Remarque.Nous avons cesQ pétales perturbés et leurs coordonnées de Fatou (perturbées) associées. Cependant, l’image par f_n de Bn n’est pas égale àBbn. C’est un défaut incurable, car il ne pourrait y avoir égalité pour lesQ pétales à la fois,

f_n=f_n^q0 agissant comme une translation de1au niveau des coordonnées de Fatou. Donc fn(Bn)etBbn sont deux pétales perturbés différents que l’on peut associer au même axe. Nous les appelons pétales perturbés mais n’avons pas défini une notion de pétale perturbé. Nous posons donc la question suivante : est-il possible de don-ner une définition censée de “pétale perturbé”, ou à défaut, de “suite de pétales per-turbés”. On l’aimerait facilitant la vérification que l’image par fn d’un tel ensemble satisfait également la définition. Et plus généralement, qu’elle soit facilement vue comme invariante par changement de coordonnées. Un candidat serait de deman-der que leurs images en coordonnées de Fatou soient des bandes verticales (ce n’est pas le cas de nos Bn, dont l’image par la coordonnée de Fatou approchéeΦgn est certes une bande verticale, mais pas l’image par la vraie coordonnée de Fatou_Φfn). L’étape naturelle suivante serait d’étudier dans quelle mesure les pétales perturbés, (ou les suites d’iceux) sont essentiellement uniques. Ce serait plus satisfaisant, et donnerait lieu à une autre approche des résultat de la présente section.