On retrouve `a nouveau des critiques de Roberval visant la solution cart´esienne du probl`eme de Pappus en 164985
Celles-ci furent transmises par Carcavi dans une premi`ere lettre du 9 juillet 164986
`a laquelle Descartes r´epondit le 17 aoˆut 164987
, et dans une seconde lettre du 24 septembre 164988
laiss´ee cette fois-ci sans r´eponse par Descartes qui interrompit alors sa Cor- respondance avec Carcavi.
Dans sa premi`ere lettre, ce dernier indiquait trois critiques :
82
Cf. [Waard et Beaulieu, XVI, p. 229] et [Huygens, XXII, p. 425 n.].
83
Cf. [Huygens, I, p. 83-84] et [Waard et Beaulieu, XVI, p. 230].
84
Pour plus de d´etails, cf. l’article de R. Taton : [Taton 1962, p. 214 et p. 225-231].
85
La controverse reprend ´egalement en 1656, cette fois-ci entre Roberval et Van Schoo- ten, dans la Correspondance de Huygens `a l’occasion de la pr´eparation par Schooten de la seconde ´edition latine de la G´eom´etrie. Nous ´etudions cet ´episode dans notre article [Ma- ronne 2006] et dans la partie consacr´ee au probl`eme de Pappus dans [Maronne ].
86
Cf. [Adam et Tannery, V, p. 373].
87
Cf. [Adam et Tannery, V, p. 394-397].
88
1. Page 32689
. Que le point C est par tous les angles que vous avez nommez, & que vous ne nommez point celuy ou il ne peut estre ; & que iamais la question n’est impossible.90
Les deux premi`eres critiques de Roberval concernent la pr´esence possible du point C dans chacun des quatre secteurs angulaires d´efinis par Descartes dans sa solution du probl`eme de Pappus, `a savoir les angles dDAG, dDAE, dEAR et dRAG.
Il est clair que ces critiques renvoient implicitement `a la seconde conique solution, ce qui sera confirm´e par la seconde lettre de Carcavi `a Descartes. En effet, en soutenant que le point C peut ˆetre choisi `a l’int´erieur de chacune des r´egions d´elimit´ees par un des quatre angles, et donc que la conique « tra- versera » ces quatre angles, Roberval regarde donc la figure 4 et la solution de Descartes comme incompl`etes.
Quant `a la troisi`eme critique, elle renvoie `a une remarque de Descartes tout `a fait g´en´erale apparaissant dans sa solution du probl`eme, ´enon¸cant que dans le cas o`u les ´equations obtenues dans chacun des quatre angles ne poss`edent pas de racines (positives) non nulles, « la question serait impossible au cas propos´e »91
.
Que doit-on entendre ici par « impossible » ? Car une valeur nulle pour y donnera n´eanmoins le point A pour solution. Et c’est sans doute ce qu’entend par l`a Roberval, lorsqu’il ´ecrit que le probl`eme ne sera jamais impossible. En effet, dans le cas o`u les quatre droites soient s´ecantes, les points d’intersection seront toujours solution et selon les cas conduiront `a une solution form´ee par un point (si les quatre droites sont concourantes) ou par un couple de droites. Enfin, si les quatre droites sont parall`eles, il est ais´e de d´emontrer qu’on obtiendra une droite.
Pour Descartes, qui semble mentionner implicitement le cas du point dans la lettre `a Mersenne pr´ec´edement cit´ee du 31 mars 163892
, comme « un cas, des plus aysez de tous, qu’[il a] omis pour sa trop grande facilit´e », on pourrait consid´erer qu’il qualifiait ici le probl`eme de lieu d’impossible, refusant de compter le point au sein des coniques solutions, reprenant ainsi la distinction traditionnelle d’origine euclidienne entre point et ligne.
Descartes r´epondait `a chacune de ces trois critiques dans la lettre qui
89
Cf. [Adam et Tannery, VI, p. 398-399].
90
Cf. [Adam et Tannery, V, p. 373].
91
Cf. [Adam et Tannery, VI, p. 399].
92
suivait du 17 aoˆut 1649 :
A quoy ie n’ay pas beoin de rien adioˆuter pour faire voir clai- rement qu’il se trompe, premierement en ce qu’il dit le point C est
par tous les angles que i’ay nomm´ez. Car, en l’exemple propos´e, il
ne se peut trouver dans l’angle DAE [...] Ainsi le cercle CA passe par les angles DAG & EAR, mais non point par l’angle DAE.
[...] Il est evident aussi qu’il se trompe, en ce qu’il dit que ie n’ay pas nomm´e l’angle o`u le point C ne peut estre ; car, ayant nomm´e tous les quatre angles qui se sont par l’intersection des deux lignes DR et EG, i’ay nomm´e toute la superficie indefiniment estendu¨e de tous costez, & par consequent tous les lieux, tant ceux o`u le point C peut estre, que ceux o`u il ne peut pas estre ; en sorte qu’il auroit est´e superflu que i’eusse consid´er´e d’autres angles.
Enfin, il se trompe de dire que cette question n’est iamais impossible ; car, bien qu’elle ne le soit pas en la fa¸con que ie l’ay propos´ee, on la peut proposer en plusieurs autres, dont quelques- unes sont impossibles, & ie les ay voulu toutes comprendre dans mon discours.93
Force est de constater que ces r´eponses ne sont gu`ere convaincantes. Dans la premi`ere, apr`es avoir engag´e une pol´emique st´erile sur le sens accord´e par Roberval `a « se trouver par les angles »94
, Descartes ne paraˆıt consid´erer que le cercle comme unique conique solution au probl`eme, cercle en effet qui ne passe pas par l’angle DAE. Il paraˆıt donc ignorer `a nouveau et de fa¸con plus explicite encore la seconde conique solution.
Quant aux deux autres r´eponses, elles demeurent ´evasives. Si dans la derni`ere, Descartes invoque `a nouveau un souci de g´en´eralit´e pour justifier sa remarque, dans la premi`ere, apparaissent au contraire, il nous semble, les limites de la d´emarche cart´esienne inh´erentes au non traitement des quan- tit´es n´egatives et aux difficult´es de calcul apparaissant dans une r´esolution compl`ete du probl`eme de Pappus.
En effet, pour nommer l’angle o`u le point C ne peut ˆetre, il faut non pas ´etudier une ´equation alg´ebrique exemplaire, comme le fait Descartes dans sa solution de la G´eom´etrie, mais toutes les ´equations alg´ebriques produites en choisissant toutes les positions possibles pour le point C, puis comparer leurs coefficients, afin d’´etudier et comparer les racines — en particulier, le
93
Cf. [Adam et Tannery, V, p. 395-397].
94
signe de ces racines — de ces derni`eres. Une telle recension ne peut ˆetre que compliqu´ee et fastidieuse mais est n´ecessaire pour qui veut proposer une th´eorie des courbes alg´ebriques o`u une correspondance est ´etablie entre courbe g´eom´etrique et ´equation(s) alg´ebrique(s).
Mais Carcavi allait revenir `a la charge en pr´esentant des critiques bien plus fond´ees et pertinentes sur le plan math´ematique :
[1] Il [Roberval] ne s’est pas aussi arrest´e aux figures de vostre livre, mais seulement `a vostre enonciation ; car celle de la page 33195
monstre evidemment le peu d’intelligence de celuy `a qui vous vous estes fi´e pour la tracer : c’est ou le lieu est repr´esent´e par une hyperbole, laquelle, ne passant par aucun des six points o`u les quatre lignes peuvent s’entrecoupper, couppe neantmoins la ligne TG au point H, fort ´eloign´e de tous ces six points, qui est une absurdit´e si manifeste, qu’encore que ledit sieur de Roberval croye que vous ne vous soyez pas donn´e la peine de construire ce lieu, il ne doute pas toutesfois que vous ne la voy¨ıez incontinent. [2] De mesme que celle de la page 30896
, o`u vous dites que, pour
trois ou quatre lignes donn´ees, les points cherchez se rencontrent tous en une section conique ; ce qui n’est pas veritable : car ils
ne se trouvent pas tous dans une de ces sections, quand vous prendriez les deux hyperboles oppos´ees pour une section, comme nous faisons avec les Anciens. [3] Et il m’a fait remarquer que cette faute peut bien avoir est´e cause d’une autre dans la page 31397
, o`u vous dites qu’on pourra trouver une infinit´e de points
par lesquels on d´ecrira la ligne demand´ee. Car il se pourra faire
que tous ces points ne seront pas dans une mesme ligne, s¸cavoir, lors que quelques-uns d’iceux seront dans l’un des espaces qui sont distinguez par les quatre lignes donn´ees, & d’autres en un autre espace. [4] Et finalement, il soˆutient que vous ne s¸cauriez donner aucun cas auquel la question ne soit tousiours possible [...]98
Ces quatre derni`eres critiques de Roberval ne re¸curent jamais de r´eponse de Descartes. Leur clairvoyance et leur profondeur contrastent avec le ca- ract`ere anecdotique des remarques des premi`eres ann´ees. Les deux premi`eres
95
Cf. [Adam et Tannery, VI, p. 404] et figure 4.
96
Cf. [Adam et Tannery, VI, p. 381].
97
Cf. [Adam et Tannery, VI, p. 381].
98
et la derni`ere critiques apparaissent comme un point d’aboutissement de la controverse et touchent selon nous au coeur de la th´eorie cart´esienne des courbes alg´ebriques.
Ainsi, la figure 3 est clairement fausse et t´emoigne selon Roberval que Descartes « ne [se soit] pas donn´e la peine de construire ce lieu ». Au del`a de la charge pol´emique, il faut retenir que Roberval met ici en lumi`ere les diffi- cult´es de la correspondance entre ´equation alg´ebrique et courbe g´eom´etrique. Mais plus importante encore est la deuxi`eme critique. Roberval ´enonce en effet pour la premi`ere fois explicitement que la solution de Descartes est incompl`ete car elle ne consid`ere qu’une conique solution et en d´eduit une cons´equence qui attaque les fondements de la th´eorie cart´esienne des courbes alg´ebriques.
La construction point par point de la courbe g´eom´etrique solution que tire Descartes de l’´equation alg´ebrique exprimant celle-ci relativement `a l’axe AB d’origine A et d’ordonn´ees BC ne va en effet pas de soi. Si l’on veut construire toute la courbe point par point, il faudra r´esoudre chacune des ´equations en y obtenues, non pas en « prenant successivement infinies diverses gran- deurs »99
pour x, mais en se restreignant `a un intervalle pour x correspondant `a la r´egion o`u l’on a suppos´e que le point C se trouvait pour l’analyse. On construira ainsi l’arc de la courbe appartenant `a cette mˆeme r´egion. Ainsi, pour construire toute la courbe solution, il faudra « recoller » ces diff´erents arcs.
Mais apparaˆıt ici un probl`eme fondamental pour la th´eorie cart´esienne des courbes alg´ebriques du fait de l’existence d’une deuxi`eme conique solution, et c’est l`a que r´eside tout l’enjeu d’une telle question. Car Descartes ne nous dit rien sur la fa¸con d’op´erer le recollement des arcs de courbe g´eom´etrique. S’il n’existait qu’une conique solution, une telle op´eration serait fastidieuse et sans enjeu. En revanche, comme c’est le cas ici, du fait qu’il existe deux coniques solutions, on pourra recoller ensemble des arcs des deux courbes si l’on ne dispose pas d’un crit`ere permettant d’affirmer si deux ´equations donn´ees expriment les arcs d’une mˆeme ou de deux courbes g´eom´etriques distinctes.
Un tel crit`ere est une condition n´ecessaire pour l’´etablissement d’une th´eorie des courbes alg´ebriques et apparaˆıt difficile voire impossible `a ´etablir en raison de la complexit´e r´esultant des diff´erents signes possibles comme on l’a vu auparavant lors de l’analyse math´ematique. Or Descartes ne dit non
99
seulement rien `a ce sujet, mais encore esquive `a plusieurs reprises la ques- tion qui en constitue l’origine dans la controverse : l’existence d’une seconde conique solution.
4
Conclusion
Au del`a de la question de savoir si Descartes a reconnu ou non la seconde conique solution — la seconde possibilit´e heurte notre bon sens —, on peut remarquer pour conclure que le v´eritable enjeu de cette question tient d’une part `a la reconnaissance non pas d’une deuxi`eme courbe g´eom´etrique solution mais d’une deuxi`eme courbe alg´ebrique solution, d’autre part `a la possibilit´e de diff´erencier les deux courbes alg´ebriques solutions, ce qu’a r´ealis´e Des- cartes, bien qu’avec quelques ellipses et difficult´es, dans un cas particulier du probl`eme de Pappus `a cinq lignes avec la parabole cart´esienne100
.
Si Descartes n’ignorait sans doute pas qu’une seconde courbe g´eom´etrique fˆut solution, il devait tout autant savoir que la d´emonstration de ce r´esultat dans le cadre de sa th´eorie des courbes alg´ebriques serait `a la source de difficult´es consid´erables qui pourraient r´ev´eler les fragilit´es des fondations de la th´eorie alg´ebrique de la G´eom´etrie.
Cela explique peut-ˆetre, plutˆot que l’ignorance, les silences et les esquives r´ep´et´es de Descartes sur cette question durant la controverse avec Roberval, `a la suite de la solution donn´ee par Pascal, concurrente v´eritable de la solution cart´esienne, tant pour ce qui regarde la g´en´eralit´e que la puissance de la M´ethode.
D’autre part, l’histoire de la controverse sur la solution cart´esienne du probl`eme de Pappus que nous avons donn´ee ici en ´etudiant la Correspondance nous semble apporter un premier ´el´ement de d´emonstration des relations qui existent entre ce que nous avons appel´e dans notre introduction les « quatre G´eom´etries ». Mais de quelle nature sont ces relations ?
La G´eom´etrie de la Correspondance, en tant qu’elle se manifeste `a travers les r´eponses de Descartes aux questions des disciples ou aux critiques des ad- versaires, nous semble apparaˆıtre comme un moyen terme entre la G´eom´etrie de 1637 et la Geometria de 1649.
100
Cf. [Descartes 1637, p. 335-338] et [Adam et Tannery 1974, p. 408-410]. Nous ´etudions en d´etail la solution de Descartes selon la mˆeme probl´ematique dans la partie consacr´ee au probl`eme de Pappus dans [Maronne ].
Par l`a, nous voyons que si certaines conceptions de Descartes exprim´ees dans la G´eom´etrie de 1637 sont stables et peuvent ˆetre ainsi ´eclair´ees, d’autres apparaissent comme changeantes et soumises `a ´evolution, en tant qu’elles sont confront´ees `a d’autres dans la discussion et la controverse scientifique.
R´ef´erences
Adam, Charles, et G´erard Milhaud, ´eds. 1936-1963. Descartes, Correspon-
dance. Paris : 8 vols., Alcan-PUF.
Adam, Charles, et Paul Tannery, ´eds. 1964-1974. Œuvres de Descartes. Paris : (nouvelle ´edition), 11 vols., Vrin.
Belgioioso, Giulia, ´ed. 1990. Descartes, Il metodo e i saggi. Atti del Convegno per il 350e
anniversario della pubblicazione del Discours de la M´ethode e degli Essais, 2 vols. Firenze : Armando Paoletti.
Bos, Henk J.M. 1981. « On the representation of curves in Descar- tes’G´eom´etrie ». Archive for history of exact sciences 24 :295–338.
. 1990. « The structure of Descartes’ G´eom´etrie ». [Belgioioso 1990]. p. 349–369.
. 2001. Redefining Geometrical Exactness. Descartes’ Transformation
of the Early Modern Concept of Construction. Sources and Studies in
the History of Mathematics and Physical Sciences. New York : Springer. Costabel, Pierre. 1990. « La G´eom´etrie que Descartes n’a pas publi´ee ».
[Belgioioso 1990]. 371–385.
Descartes, Ren´e. 1637. « La G´eom´etrie ». In Discours de la m´ethode pour
bien conduire sa raison et chercher la v´erit´e dans les sciences. Plus la Dioptrique. Les Meteores. & la Geometrie qui sont des essais de cette Methode, 297–413. Leyde : I. Maire.
Dingeldey, F., E. Fabry, et L. Berzolari. 1911-1915. « G´eom´etrie alg´ebrique plane ». In Encyclop´edie des Sciences Math´ematiques Pures et Ap-
pliqu´ees, ´edit´e par Jules Molk, Volume 3 de Tome III—G´eom´etrie.
Gauthier-Villars.
Galuzzi, Massimo. 1985. « Recenti interpretazioni della G´eom´etrie di Des- cartes ». In Scienzia e Filosofia : saggi in honore di Ludovico Geymonat, ´edit´e par C. Mangioni, 643–663. Milano : Garzanti.
Geometria di Descartes e i problemi ad essi collegati ». [Belgioioso 1990].
387–417.
Giusti, Enrico. 1990. « Numeri, grandezze e G´eom´etrie ». [Belgioioso 1990]. 419–439.
. 2000. La naissance des objets math´ematiques. Trad. G. Barthelemy. Paris : Ellipses.
Henry, Charles, et Paul Tannery, ´eds. 1891-1922. Œuvres de Fermat. Paris : 5 vols., Gauthier-Villars.
Huygens, Christiaan. 1888-1950. Œuvres Compl`etes publi´ees par la Soci´et´e
Hollandaise des Sciences. La Haye : 22 vols., Martinus Nijhoff.
Jullien, Vincent. 1996. Descartes. La G´eom´etrie de 1637. Philosophies. Paris : PUF.
. 1999. « Les Fronti`eres dans les Math´ematiques Cart´esiennes ».
Historia Scientiarum 8 (3) : 211–238.
Maronne, S´ebastien. « La th´eorie des courbes et des ´equations dans la G´eom´etrie de Descartes : 1637-1649 ». Ph.D. diss., sous la direction de Marco Panza. Universit´e Paris 7, Paris.
. 2005. « Sur une lettre de Descartes qu’on dit de 1639 — Version abr´eg´ee de [Maronne 2006] — ». Alvearium. Rivista dell’ Centro Interdipartimentale di Studi su Descartes e il seicento : www.cartesius.net/Alvearium.html.
. 2006. « Sur une lettre de Descartes qu’on dit de 1639 ». Revue
d’Histoire des Math´ematiques (`a paraˆıtre).
Molland, George. 1976. « Shifting the foundations : Descartes’ transforma- tion of ancient geometry ». Historia Mathematica 3 :21–49.
Panza, Marco. 2005. Newton et les origines de l’analyse : 1664-1666. Sciences dans l’Histoire. Librairie Albert Blanchard.
Pappus, d’Alexandrie. 1982. La Collection Math´ematique. ´Edit´e par Paul ver Eecke (trad. et notes). Paris : 2 vols., Librairie scientifique et tech- nique Albert Blanchard.
Tannery, Paul. 1926. « La Correspondance de Descartes dans les in´edits du fonds Libri ´etudi´ee pour l’histoire des math´ematiques ». In
M´emoires Scientifiques, ´edit´e par Gino Loria, Volume VI, 149–268. Pa-
ris/Toulouse : Gauthiers-Villars.
Taton, Ren´e. 1962. « L’œuvre de Pascal en g´eom´etrie projective ». Revue
van Schooten, Frans, ´ed. 1649. Geometria `a Renato des Cartes Anno 1637
Gallic`e edita ; nunc autem... Leyde : Louis & Daniel Elzevier.
, ´ed. 1659-1661. Geometria `a Renato des Cartes Anno 1637 Gallic`e
edita ; postea autem... Amsterdam : 2 vols., Louis & Daniel Elzevier.
Waard, Corn´elis de, et Armand Beaulieu, ´eds. 1945-1986. Correspondance