Correction de la température

Comme rappelé dans la PARTIE I.2.1.1, la résistivité électrique dépend de plusieurs paramètres

intrinsèques au milieu. Des paramètres extérieurs influent également sur la mesure de résistivité

électrique, notamment la température (Grolier et al., 1991). Les erreurs de mesure dues au matériel

ou à l’opérateur peuvent être négligées car aléatoires dans le temps (on considère que l’on a une

erreur de mesure, pouvant être assimilée à une gaussienne). Les mesures de TRE effectuées au cours

de cette thèse ont été faites dans des conditions de température variables, liées d’une part à la

profondeur d’investigation variable, et d’autre part, liées aux variations saisonnières. Il est donc

nécessaire de corriger les mesures de l’effet de température pour les différents blocs de résistivité

constituant un modèle de résistivité. Les travaux de Campbell et al. (1948) ont posé les bases de ce

type de correction à partir des travaux de Whitney et Briggs (1897) démontrant le lien entre résistivité

et température. Physiquement, et en faisant l’hypothèse que la circulation du courant est pilotée par

la conduction de l’électrolyte, la résistivité dépend du changement de viscosité du fluide dû à la

température.

La section suivante présente les différents modèles de correction de la littérature. Ces modèles sont

ensuite comparés dans la PARTIE I.2.1.3.2.

Les différents modèles de correction de l’effet de la température

où : 𝜌

_{𝑇𝑟𝑒𝑓}

est la résistivité à la température de référence, 𝜌

_𝑇

est la résistivité à la température de

mesure et 𝑓

_𝑇

est le facteur de correction de la température (calculé sur des valeurs de conductivité)

(Besson et al., 2008).

Il existe dans la littérature différents modèles de calcul de ce facteur de correction. Tous les modèles

sont valables entre 0°C et 50°C. Pour tous les modèles, on notera T la température au point de mesure

et T

ref la température de référence i.e., la température à laquelle les mesures sont ramenées.

Modèle ratio

Le modèle le plus couramment utilisé pour la correction de température en TRE a été établi par Keller

et Frischknecht (1966) (Équation I.7) :

𝑓

_𝑇

= ¹

1 + 𝛿(𝑇 − 𝑇

_𝑟𝑒𝑓

) ^{Équation I.7}

avec 𝛿 le coefficient de compensation de la courbe de température, usuellement égal à 0,025 °C

-1

en

géophysique.

Modèle exponentiel

Le modèle exponentiel prend trois formes (Équation I.8 - Équation I.10) :

i) Le modèle exponentiel a été initialement développé par Sheets et Hendrickx (1995), puis

modifié par Corwin et Lesch (2005), à partir de la table de conversion de Richards (1969).

Il est donné dans l’Équation I.8 :

𝑓

_𝑇

= 0,4470 + 1,4034 ∗ 𝑒

⁻26,815^𝑇

Équation I.8

Ce modèle n’est valable que pour des températures de mesure de 3°C à 47°C et pour une

température de référence de 25°C. Les données utilisées sont des mesures réalisées sur

des extraits de sols à différentes températures.

ii) Wells (1978) propose un autre modèle exponentiel, plus général :

𝑓

_𝑇

= 𝑒

^{0,0285∗(𝑇}𝑟𝑒𝑓−𝑇)−0,000167∗(𝑇_𝑟𝑒𝑓² −𝑇2)

Équation I.9

iii) Un autre modèle exponentiel est proposé par Besson et al. (2008). Une erreur de signe

était présente dans la publication originelle de Besson et al. (2008) et a été corrigée par

Ma et al. (2011). J’ai constaté une erreur dans l’article de Ma et al. (2011) (au niveau de

l’équation 11), il faut lire 0,02226 et pas 0,2226. L’Équation I.10 ci-dessous prend en

compte les deux corrections.

𝑓

_𝑇

= 𝑒

^0,02226(𝑇𝑟𝑒𝑓−𝑇)

Équation I.10

Modèle puissance

Ce modèle, développé par Besson et al. (2008) à partir d’expériences de calibration sur extraits de sols

s’écrit (Équation I.11) :

Chapitre 2 – Mesures géophysiques appliquées au karst

Modèle polynomial

Le modèle polynomial a été développé par Rhoades et al. (1999). Il a été développé à partir des

données de la Food and Agriculture Organization (FAO) (Richards (1969)). Il s’écrit (Équation I.12) :

𝑓

_𝑇

= 1 − 0,20346 ∗ 𝑇

_𝑎

+ 0,03822 ∗ 𝑇

_𝑎2

− 0,00555 ∗ 𝑇

_𝑎3

Équation I.12

avec 𝑇

_𝑎

=

^𝑇−𝑇𝑟𝑒𝑓

10

.

Une variante de ce modèle existe. Il s’agit du modèle d’Or et Wraith (1999), valable uniquement pour

une température de référence de 25°C, nous n’en donnons pas l’expression pas car elle est inadaptée

à nos conditions de mesures.

Comparaison des modèles

L’intervalle de température (0 à 50 °C) sur lequel les modèles de correction (Équation I.7 à Équation

I.12) ont été développés est adapté aux températures caractéristiques de la colline de Lascaux et de la

carrière de Lugasson, à l’exception des températures mises en jeu pendant les feux pour ce second site

où la température peut monter à environ 120°C dans la partie la plus superficielle de la paroi. Pour ces

données acquises en condition extrêmes, la correction de l’effet de température nécessite la

construction d’un modèle de correction spécifique. Nous reviendrons sur ce point dans la partie plus

prospective de la PARTIE III.

Le graphique en Figure I.26 présente trois modèles de correction et les données expérimentales issues

de Ma et al. (2011) donnant le facteur de correction pour une température de référence de 25°C et

pour des températures allant de 3 à 47°C.

La Figure I.26 montre que les modèles ratio et exponentiel sont proches des valeurs expérimentales

jusqu’à 50°C. Le modèle puissance s’écarte des données expérimentales dès 30°C. Le choix du modèle

de correction peut donc être restreint aux modèles exponentiel ou ratio. De manière générale, on

observe que le modèle exponentiel de Corwin et Lesch (2005) présente un RMS (root mean square)

faible (calculé comme stipulé à l’Équation I.13) avec les données expérimentales entre 3 et 47°C (de

presque 0% pour le modèle Corwin et Lesch contre 4% pour le modèle ratio).

avec n le nombre de valeurs, 𝜃̂ la valeur estimée à partir du modèle et 𝜃 la valeur mesurée.

𝑅𝑀𝑆 = √¹

𝑛∑(𝜃̂ − 𝜃)

²

𝑛 𝑖=1

Figure I.26 : Comparaison des trois modèles principaux de correction de température. Le facteur de

correction est calculé ici pour une température de référence de 25°C, température de réalisation des

expériences de l’US salinity laboratory Staff (1954) dans Ma et al. (2011).

Pour chacun des cas étudiés dans cette thèse, il sera donc nécessaire de choisir le modèle le plus

adapté au site étudié, que ce soit les mesures réalisées à Lascaux ou les mesures réalisées à Lugasson.

Nous préciserons le choix du modèle de correction pour chacun des sites dans les sous-chapitres

correspondants : PARTIE II.1.3.2 pour Lascaux et PARTIE III.2.1 pour Lugasson.

Remarque : dans le papier de Ma et al. (2011) reprenant les mesures de Richards (1969), une erreur est

présente dans les données expérimentales : pour les températures entre 21 et 21,8°C, les valeurs de fT

ont été remplacées par les valeurs de températures.

Dans le document Caractérisation multi-échelle du milieu karstique non saturé. (Page 58-61)