4 Contre-attaque de l’impression / numérisation
4.4 Contre-attaques d’impression/numérisation
4.4.1 Correction du flou
L’équation (4-1) modélise le flou subit les images imprimées puis scannées, nous pouvons schématiser ce processus par la figure 4-3.
Le filtre inverse est sans doute l’une des premières approches à être utilisée afin de corriger la dégradation d’impression/numérisation. Cette technique est très rapide en temps de calcul et permet une restauration parfaite de l’image à condition que la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle de la chaîne n’ai aucune fréquence nulle ou proche de zéro, ainsi que le bruit ne soit pas présent dans l’image. Dans le cas réel les images sont bruitées. C’est la raison pour laquelle cette technique ne peut pas être utilisée en présence de bruit.
Il existe d’autres alternatives qui tiennent compte de la présence de bruit dans une image, la technique la plus communément utilisée est le filtre de Wiener. Le filtre de Wiener considère que l’image et le bruit sont des réalisations d’un processus aléatoire stationnaire. Il cherche alors à restaurer l’image dégradée par minimisation de l’erreur quadratique moyenne entre l’image restaurée Î et l’image originale I. La solution de cette minimisation est définie dans le domaine fréquentiel [Gonzalez et al. 2007] par : * ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n I H u v Î u v I u v S u v H u v H u v S u v (4-4)
H
et H sont respectivement la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle et son conjugué complexe, SI et Sn sont respectivement les puissances spectrales de l’image originale et du bruit. Généralement, la fraction Sn/SI est remplacée par une constante. Elle peut être caractérisée approximativement par l’inverse du rapport signal sur bruit ou 1/SNR.h
+
I
n
I*
90
L’utilisation du filtre de Wiener nécessite une connaissance correcte ou une bonne estimation de la réponse impulsionnelle de la chaîne ainsi une estimation de la puissance spectrale du bruit. Dans la suite nous présentons l’estimation de la réponse impulsionnelle et du bruit à partir de la chaîne expérimentale.
4.4.1.1 La réponse impulsionnelle de la chaîne
A. Rappel sur l’estimation de la réponse impulsionnelle
Dans notre contexte industriel le matériel d’impression/numérisation est connu. Il est donc possible d’obtenir une estimation de la réponse impulsionnelle d’une manière expérimentale. Plusieurs méthodes ont été développées dans la littérature pour estimer la réponse impulsionnelle d’un système qu’il soit électronique, mécanique ou optique. La méthode classique pour mesure la réponse impulsionnelle consiste à appliquer une impulsion à l’entrée d’un système et mesurée sa réponse [Gonzalez et al. 2007, Sharif et al. 2007]. Cette technique a montré quelques limites en présence de bruit. Une autre méthode consiste à estimer la fonction de transfert (la réponse fréquentielle) dans le domaine spectral et de la transformer dans le domaine spatial pour obtenir la réponse impulsionnelle du système [Brauers et al. 2010].
Pour explique le principe de l’estimation de la réponse impulsionnelle en utilisant la corrélation, nous nous plaçons dans le cas de signaux temporels. Nous supposons que l’on dispose d’une observation sans bruit de la forme suivant: y(t) = h(t)*x(t) où x(t) est le signale d’entrée, h(t) la réponse impulsionnelle et y(t) est le signal de la sortie du système. Puisque la relation d’entrée-sortie est une convolution, la relation entre le signal y(t) et x(t) en termes de la fonction de corrélation croisée est donnée comme suit :
( ) ( ) ( ),
yx xx
R h R (4-5)
où Rxx( ) représente la fonction d’autocorrélation du signal x(t).
Si le signal d’entrée x(t) est un bruit blanc centré, alors sa fonction d’autocorrélation est une impulsion de Dirac à l’origine, d’ou la fonction de corrélation croisée s’écrit comme suit :
( ) ( ) ( ) ( ).
yx
R h h (4-6) A partir de ces résultats nous pouvons constater que la réponse impulsionnelle d’un système est égale la fonction de corrélation croisée normalisée de la sortie y(t) et l’entrée x(t) lorsque x(t) est un bruit blanc.
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B. Estimation de la réponse impulsionnelle
La réponse impulsionnelle a été estimée par la méthode de corrélation d’un bruit blanc et sa réponse à la chaîne d’impression/numérisation. Nous utilisons le modèle représenté sur la figure 4-4, ce modèle est composé d’une de bruit blanc avec un cadre rectangulaire pour la mise en correspondance entre l’image scannée et l’image originale. L’image a été imprimée sur des cartes en plastique à plusieurs reprises en utilisant une résolution d’impression de 300 dpi. Ensuite, les images imprimées ont été scannées avec la même résolution afin d’éviter le problème de la mise à l’échelle. Les coins du cadre rectangulaire dans chaque image ont été détectés et leurs positions ont été utilisées pour calculer la transformation géométrique entre l’image acquise et l’image numérique. Cette transformation géométrique permet de positionner les pixels imprimés et numérisés dans leurs positions originales correspondantes.
(a) (b)
Figure 4-4- Modèle utilisé pour estimer la réponse impulsionnelle ; (a) Modèle numérique, (b) Modèle imprimé et scanné.
D’après l’équation (4-6), la réponse impulsionnelle égale à la corrélation croisée normalisé du bruit d’entrée avec celui de sortie, supposons que Nin représente l’image de taille M×M du bruit originale et Nout limage obtenue après l’impression/numérisation et le recalage. L’estimation préliminaire de la réponse impulsionnelle de la chaîne d’impression/numérisation est égale à la corrélation croisée entre Nin et Nout : 1 1 0 0
1
ˆ( , ) ( , ) ( , ),
( )( )
M j M i in out m nh i j N m n N m i n j
M i M j
(4-7) avec0 i 2M1
et 0 j 2M1.92
Cette opération est répétée plusieurs fois, puis l’estimation de la réponse impulsionnelle est obtenue par la moyenne de dix tests. Après recadrage pour avoir une matrice de taille M×M, le résultat final de la réponse impulsionnelle est représenté sur la figure 4-5.
(a) (b)
Figure 4-5- La réponse impulsionnelle estimée (a), zoom de la réponse impulsionnelle.
4.4.1.2 Estimation du bruit
Dans la phase de la numérisation où l’image imprimée est convertie en une version numérique de cette image, plusieurs facteurs ont de l’influence sur le processus d’acquisition. Le facteur non déterministe qui se produit lors de la numérisation est le bruit. Dans le cas de notre application, il est très utile de connaitre les statistiques de bruit afin d’appliquer le filtre de Wiener d’une manière correcte.
Les principales sources de bruit dans la phase de l’acquisition sont les capteurs CCD. D’après Luisier et al. [Luisier et al. 2011] deux types de bruit sont généralement considérés dans l’acquisition. Le premier type correspond à la nature stochastique du procédé de comptage de photons dans le détecteur. Ils se traduisent le plus souvent par des pixels de haute intensité de niveaux de gris sur l’image. Le second type correspond aux fluctuations thermiques et électroniques intrinsèques du dispositif d’acquisition, ce type de bruit est indépendant de l’intensité de signal.
Pour déterminer le bruit dans la chaîne d’impression/numérisation, nous avons effectué les mesures suivantes. Nous avons imprimé des images ayant des niveaux de gris uniforme de 0 à 255 (256 images), les images imprimées ont été scannées par la suite. La figure 4-6 présente l’histogramme du niveau 128. Les histogrammes des images numérisées présentent des distributions sensiblement gaussiennes. 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
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Figure 4-6- Histogramme d’une image avec des niveaux de gris uniformes imprimée et scannée pour un niveau de gris égal à 128.
A partir de ces résultats, nous considérons que le bruit dans la chaîne d’impression/numérisation est un bruit additif blanc gaussien de moyenne nulle et sa variance est la moyenne des variances de 256 images imprimées/scannées. Dans le cas de notre expérience, la variance du bruit est de 2.13.