Corrélation temporelle des occurrences

10

0

10

1

10

2

10

3

Occurences

−3.0 −2.5 −2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

Magnitude

log−normal^Gumbel

Fig. 3.16 Ajustement de la distribution magnitudes occurrences au glacier d'Argentière

avec une loi de Gumbel (en rouge), et comparaison avec la loi log-normale (en pointillés

noirs). L'ajustement avec la première est de meilleure qualité qu'avec la seconde loi.

3.12 Corrélation temporelle des occurrences

En sismologie crustale, le nombre de répliques après un séisme donné est classiquement

représenté par la loi d'Omori (Omori, 1894; Lay and Wallace, 1995) :

n= ^c

(K+t)p (3.13)

où n est le nombre d'occurrences dans un intervalle de temps t après le choc principal, et

c, K et p sont des constantes dépendant de la taille du séisme. Le choc principal

(main-shock) induit un changement de l'état de contraintes du système complexe qui l'entoure ;

ce dernier, pour réajuster cette modication, doit à son tour émettre de l'énergie, et par

conséquent générer de nouveaux séismes, de magnitudes inférieures (les répliques, ou

af-tershocks) : on considère qu'une séquence de répliques libère environ 10% du moment

sismique du choc principal (Lay and Wallace, 1995). La loi d'Omori sus-mentionnée décrit

ce réajustement dans le temps, et indique la décroissance rapide du nombre de répliques

(décroissance en loi puissance) après le choc principal. Il est évident que ce réajustement

possède également une dimension spatiale (par exemple, Marsan et al. (1997)) dont nous

Fig. 3.17 Schéma de principe du calcul de la corrélation temporelle entre un séisme de

magnitude m0 ayant lieu à l'instant t0 et les occurrences suivantes. On compte le nombre

d'occurrences dans des intervalles de temps T dont la taille évolue (croissance algébrique)

avec le temps.

ne ferons pas état dans le présent exposé.

En pratique, on compte le nombreN(T, m0) de séismes de magnitudesm≥mc (mc est la

magnitude de complétude) suivant un séisme de magnitude m0 ≥m ayant lieu à l'instant

t0 (voir gure 3.17) et dans l'intervalle de temps T = [tktl] (k et l sont tels que k ≤ l et

k, l ≥ 0) de taille croissante. On calcule alors un taux de sismicité normalisé, λ, que l'on

peut exprimer par :

λ(T) = ^{N(T, m0)}

N_ev.T (3.14)

où N_ev est le nombre total de séismes de magnitude m ≥ m₀ considérés après le choc

principal.

La gure 3.18 montre le taux de sismicité suivant des occurrences de magnitude M_L =

−1.5, ML =−1 etML =−0.5 respectivement. On constate l'existence d'une décroissance

linéaire pour les temps courts (10−3 jours, soit environ une minute). Il semble en outre y

avoir causalité pour ces temps, en ce sens où des séismes de forte amplitude déclenchent

plus de séismes que des évènements plus faibles.

3.12. CORRÉLATION TEMPORELLE DES OCCURRENCES 75

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10⁻¹ 10⁰ 101 10² 10³ 104 time (days) rate M(−1.5)+ (1/day) background m > −0.5 m > −1 m > −1.5

Fig. 3.18 Nombre de répliques par jour suivant des séismes de magnitude M_L = −1.5

(violet), ML = −1 (rouge) et ML = −0.5 (bleu). La ligne horizontale noire est le nombre

de séismes par jour pour lesquels on ne constate pas de corrélation temporelle.

La sismicité de fond (ou background rate, en noir sur la gure 3.18) correspond à la

sismicité totalement décorrélée, c'est à dire qu'elle n'est pas déclenchée par d'autres

occur-rences. Dans le cas du glacier, cette dernière est à associer à la sismicité liée à l'écoulement

gravitaire du glacier sur son lit rocheux. La gure 3.19 montre le même taux de corrélation

temporelle, mais pour lequel on a soustrait le taux de sismicité de fond. L'intersection des

diérentes corrélations avec ce dernier donne un temps de corrélation d'environ une

mi-nute. On constate à nouveau la causalité mentionnée plus tôt, pour cette même durée. Ces

résultats indiquent qu'il existe une corrélation temporelle entre les séismes générés par les

diérents processus mécaniques proposés au paragraphe 3.10, au même titre qu'il en existe

dans la croûte terrestre. Un séisme glaciaire est donc susceptible d'en déclencher d'autres,

malgré la faible taille des sources mesurées à Argentière (les magnitudes sont

systémati-quement négatives ; voir les paragraphes 3.9 et 3.11) ; la durée de corrélation est cependant

nettement inférieure dans ce cas que dans le cas de la sismologie crustale. Ce dernier point

suggère que la vaste majorité de la sismicité enregistrée à Argentière est générée par le

mouvement du glacier sur son lit rocheux, plutôt que par déclenchement.

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ time (days)

rate M(−1.5)+ above background (1/day)

background m > −0.5 m > −1 m > −1.5

Fig. 3.19 Taux de corrélation temporelle (nombre de séismes de magnitude supérieure à

celle du choc principal) pour diérentes magnitudes (voir gure 3.18) auquel on a retranché

le taux de sismicité de fond. On constate (1) que ce taux de corrélation suit

approximative-ment une droite (en diagramme log) quelque soit la magnitude du choc principal considéré

et (2) qu'il y a causalité (un séisme de forte amplitude va générer plus de répliques qu'un

séisme plus faible). Cette causalité n'est valable que pour des temps inférieurs à10−3jours,

Chapitre 4

Corrélation au glacier d'Argentière : les

écoulements d'eau comme source de

bruit ?

4.1 Introduction

Lobkis and Weaver (2001) ont démontré que, dans le cadre théorique d'un champ dius

(c'est à dire un champ composé d'ondes d'amplitudes et de phases aléatoires qui se

pro-pagent dans toutes les directions possibles et qui contient par conséquent de l'information

sur tous les trajets possibles (Shapiro and Campillo, 2004)) et d'un milieu élastique ni et

non absorbant, la fonction de corrélation est proportionnelle à la fonction de Green ; une

démonstration simple s'appuie sur l'expression modale du champ dius, donnée par :

φ(x, t) =ReX^∞

n=1

anun(x)e^iω

n

t (4.1)

où φ(x, t) est le champ dius en question, x est la position, t le temps, un et ωn sont les

fonctions et les fréquences propres correspondantes de la Terre, respectivement, et les a_n

sont les amplitudes modales complexes (Lobkis and Weaver, 2001). Les fonctions propres

élastodyna-miques :

Z

ρun.umd³x=δnm (4.2)

Considérer φ comme un champ dius revient à dire que les amplitudes modales an sont

des fonctions aléatoires complètement décorrélées :

hana^∗_mi=δnmF(ωn) (4.3)

où F est la densité spectrale d'énergie, et h.i représente une moyenne d'ensemble. La

corrélation des champs enregistrés aux points xet y peut s'écrire simplement par :

C(x, y, τ) =

∞

X

n=1

F(ω_n)u_n(x)u_n(y)eiω

n

t (4.4)

les termes croisés disparaissant en vertu de l'équation 4.3. Cette dernière expression est, à

une constante près, la fonction de Green G_XY caractérisant le milieu entre les points x et

y pondérée par la densité spectrale F.

Derode et al. (2003b) et Derode et al. (2003a) soulignent cependant que l'argument

pré-senté ci-dessus ne s'applique qu'à des cas particuliers et idéaux, éloignés de la réalité. Ils

démontrent cependant que le résultat reste valable même dans le cas d'un milieu ouvert et

absorbant, en faisant appel à une cavité de retournement temporel (voir par exemple Fink

(1992)). Dans ce cadre, il est nécessaire que les sources de bruit soit uniformément réparties

autour des récepteurs, englobant également les hétérogénéités éventuelles du milieu, an

créer une cavité idéale (Derode et al., 2003b). La fonction de Green entre les points x et

yest alors la somme sur les sources des corrélations entre ces deux points. On a alors, dans

ce cas (voir Derode et al. (2003a)) :

X

S

GSX ×GSY =GXY(t) +GXY(−t) (4.5)

oùS est la distribution de sources sus-mentionnée (les notations sont celles de Derode et al.

(2003b)). Cette condition sur la position des sources est particulièrement astreignante. Les

auteurs montrent pourtant que, dans le cas d'un milieu très diusant, il est possible de

reconstituer au moins partiellement la fonction de Green à partir des corrélations. Ces

4.2. DONNÉES 79

Dans le document Méthodes sismologiques pour l'étude de la fracturation dans les glaciers alpins : glaciers d'Argentière et du Gorner (Page 78-84)