2.4.1
Lissage spatial
On a déjà mentionné dans la section sur MUSIC que les sources ne devaient pas être corrélées pour que l’on puisse estimer leur direction d’arrivée. Cela est dû au fait que
1
2
3
. . .
r
r+1
. . .
N-1
N
Sous-réseau 1
Sous-réseau 2
Sous-réseau R
Figure 2.3 – Illustration montrant la décomposition du réseau initial en sous-réseaux pour la méthode de lissage spatial.
s’il y a une corrélation entre les sources, la matrice de covariance des sources Rss n’est
plus diagonale. Ainsi, l’analogie faite à l’équation 2.30 n’est plus vraie dans ce cas. L’effet de la corrélation sera l’apparition d’une source imaginaire, positionnée dans le pseudospectre à l’angle moyen pondéré par les puissances des signaux corrélés, avec un pic très large par rapport à un cas sans corrélation. Par conséquent, le groupe des sources corrélées se comporte comme une seule source du point de vue de MUSIC. On définit alors la notion de groupe comme étant l’ensemble des sources corrélées entre elles, mais qui ne sont pas corrélées avec les autres sources.
Pour contrer l’effet de la corrélation des sources, la méthode la plus utilisée dans la littérature est celle du lissage spatial, qui fut développée par Shan et coll. [16]. La première étape de cette méthode est de séparer le réseau de microphones en R sous- réseaux, contenant chacun Nr capteurs (figure 2.3). Dans ce cas, on peut remarquer
que la relation entre le nombre de capteurs, le nombre d’éléments dans le sous-réseau et le nombre de sous-réseaux est :
R = N − Nr+ 1 (2.40)
Le signal reçu par le r-ième sous réseau est donné par la formule suivante : xrk = A1D
(r−1)x
k (2.41)
La matrice A1 est la matrice des vecteurs directeurs pour le premier sous-réseau, tandis
que la matrice D contient l’information de déphasage entre les éléments de chacune des sources. La matrice de covariance reçue pour le r-ième sous-réseau est donnée par :
Rxxr = A1D
r−1R
ss(Dr−1)†A †
1 (2.43)
On dobtient alors la matrice de covariance lissée comme suit : ˆ Rxx− = 1 R R X r=1 Rxxr− (2.44)
Maintenant, si on définit ˆRss comme étant :
ˆ Rss = 1 R R X r=1 Dr−1Rss(Dr−1)t (2.45)
On remarque que l’on obtient finalement : ˆ
Rxx = A1RˆssAt1 (2.46)
La matrice de covariance lissée des sources est régulière si R ≥ M.
Algorithme 7 : Lissage spatial
1 for r=1 to R do 2 Évaluer ˆRxxr 3 end
4 Évaluer la matrice de covariance lissée ˆRxx− = 1
R
PR
r=1Rxxr
5 Utiliser MUSIC sur ˆRxx−
Pillai et Kwon [17] ont développé une amélioration de l’algorithme du lissage spatial, qui s’appelle Forward-Backward Spatial Smoothing Technique (FBSS). Pour cette mé- thode, on commence par évaluer une première matrice de covariance lissée ˆRxx−f dans
la direction avant, c’est-à-dire en calculant exactement la même matrice de covariance lissée que pour le lissage spatial régulier. Par la suite, on calcule une seconde matrice de covariance lissée ˆRb
xx−, cette fois-ci qualifiée de direction arrière, que l’on calcule
de la même façon que celle de direction avant, sauf que l’on intervertit la position de tous les éléments du réseau et que l’on fait une transposition-conjugaison de la matrice obtenue. L’avantage principal de cette méthode par rapport à lissage spatial direct est
la réduction du nombre d’éléments nécessaires pour être capable de faire une bonne dé- tection de DOA. Si l’on considère que Mcest le nombre de sources corrélées et Muest le
nombre de sources non corrélées, le lissage spatial régulier a de besoin de N = 2Mc+Mu
capteurs pour être capable de détecter toutes les sources, tandis que ce nombre est de N = 2Mc pour le lissage spatial forward-backward. L’algorithme 8 présente le lissage
spatial forward-backward.
Algorithme 8 : Lissage spatial forward-backward
1 for r=1 to R do 2 Évaluer ˆRfxx
r
3 end
4 Évaluer la matrice de covariance lissée de direction avant ˆRfxx− = 1
R
PR
r=1Rxxf r
5 Inverser l’ordre de tous les capteurs, ce qui revient à inverser l’ordre de tous les
vecteurs colonnes de X.
6 for r=1 to R do 7 Évaluer ˆRbxx
r
8 end
9 Évaluer la matrice de covariance lissée de direction avant ˆRbxx− = R1(PRr=1Rxxb
r)
†
10 Calculer ˆRf bxx− = ˆRxx−f + ˆRbxx− 11 Utiliser MUSIC sur ˆRf bxx−
2.4.2
Méthode par Covariance Differencing and Iterative
Spatial Smoothing
Une autre méthode, développée par Al-Ardi [18], appelée Covariance Differencing and Iterative Spatial Smoothing, permet de faire de la détection de DOA avec des sources corrélées. L’idée derrière cet algorithme est de faire un traitement en deux étapes, la première ayant pour but de déterminer la DOA de toutes les Mu sources non corrélées
et la seconde de faire un processus itératif en considérant de plus de plus de capteurs dans le but de déterminer la DOA des Mc sources corrélées. L’algorithme 16 présente
la liste des étapes pour la méthode.
La boucle présente dans la deuxième étape de l’algorithme sert à utiliser un réseau de plus en plus large. On a déjà vu que le lissage spatial direct utilisé seul a de besoin de N = 2Mc+ Mu pour être capable de détecter. Si le nombre de capteurs utilisé à une
itération donnée est plus petit que ce nombre, on ne verra pas de pics bien définis et on sera capable de déterminer qu’il y a au moins une source de plus que le nombre assumé pendant l’itération, ce qui implique la nécessité de faire une autre itération. L’intérêt de
Algorithme 9 : Covariance Differencing and Iterative Spatial Smoothing
1 Estimer la matrice de covariance des signaux reçus cR−1 = XX†
2 Calculer le pseudospectre de MUSIC de cR
3 Estimer ˆRu, la contribution des sources non corrélées à cR
4 Calculer ˆRc= ˆR − ˆRu, la matrice de covariance des sources corrélées. 5 Poser N = 3, R = 2 et Mc = 0
6 while Mc = 0 do
7 Faire du lissage spatial avec N capteurs et R sous-réseaux sur ˆRc 8 Faire le pseudospectre MUSIC
9 Évaluer Mp, le nombre de pics dans le pseudospectre. 10 if Mp >0 then
11 Mc = Mp
12 Déterminer la position des sources corrélées avec les pics du pseudospectre
13 else
14 Mc = 0
15 end
16 end
cette méthode est ainsi d’être plus efficace en calculs que la méthode par lissage spatial puisque l’on peut utiliser un nombre réduit de capteurs pour pouvoir utiliser la méthode. Ray et al. [19] a repris cet algorithme et a décidé d’utiliser le lissage spatial Foward- Backward au lieu du lissage spatial régulier. L’avantage de cette méthode est qu’au lieu d’avoir de besoin de N = 2Mc+ Mu capteurs, on a seulement de besoin de N = 2Mc,
ce qui demande moins de temps de calcul.
Les articles de Al-Ardi [18] et de Ray et coll. [19] présentent cet algorithme comme une alternative efficace de l’algorithme de lissage spatial, mais il manque quelques points importants dans ces deux articles :
1. L’auteur n’explique pas comment calculer Ru, ce qui n’est pas aussi évident puis-
qu’on n’a pas seulement besoin de la DOA de chacune des sources, mais aussi de leur puissance.
2. Aucun résultat de simulations n’a été présenté dans les deux articles. On ne connait donc pas les limites de l’algorithme et on ne sait même pas s’ils ont programmé l’algorithme pour vérifier son fonctionnement.