On trouve une très bonne présentation de ce sujet dans [121,122]. Soient un nombre premier 𝑝 et un entier positif 𝑠, on considère le corps fini F𝑞 à 𝑞 éléments, l’anneau de polynômes F𝑞[𝑇 ]et le corps de fractions rationnelles F𝑞(𝑇 ). Nous utilisons la valeur absolue définie sur F𝑞(𝑇 )par|𝑃/𝑄| = |𝑇 |deg 𝑃 −deg 𝑄
pour tous 𝑃, 𝑄∈ F𝑞(𝑇 ), 𝑄̸= 0, où |𝑇 | est un nombre réel fixé plus grand que 1. En complétant F𝑞(𝑇 ) avec cette valeur absolue, on obtient un corps, le corps des séries formelles en 1/𝑇 et à coefficients dans F𝑞et que l’on notera F(𝑞). Si 𝛼 est un élément non nul de F(𝑞), alors
𝛼 = ∑︁
𝑘6𝑘0
𝑎𝑘𝑇𝑘,
avec 𝑘0∈ Z, 𝑎𝑘 ∈ F𝑞, 𝑎𝑘0 ̸= 0 et |𝛼| = |𝑇 |𝑘0. On s’intéresse à l’approximation rationnelle sur F(𝑞) et on peut y définir un algorithme de calcul de fraction continue : les éléments de F𝑞[𝑇 ]sont les analogues des
8.4. Corps de séries formelles 101 entiers relatifs, ceux de F𝑞(𝑇 )les analogues des nombres rationnels et ceux de F(𝑞) les analogues de R. À l’heure actuelle, dans le cadre de l’approximation diophantienne classique sur R, on ne sait toujours pas dire grand chose du cas fondamental des nombres algébriques de degré > 3. Si les développements en fraction continue des nombres quadratiques sont bien compris, il n’en est rien des nombres algébriques de degré supérieur. On ne sait pas par exemple s’il en existe un avec des quotients partiels bornés ou s’il en existe un avec des quotients partiels non bornés. La situation est très différente dans le cas de F(𝑞) qui dispose de riches résultats sur ces questions de fractions continues. De façon plus générale, on peut considérer le corps de séries formelles F(𝐾), dans lequel 𝐾 remplace F𝑞. J’ai débuté une étude de ce domaine grâce à Alain Lasjaunias (IMB, Univ. Bordeaux I) et dans l’article J-13, en collaboration avec Bill Allombert (IMB, Univ. Bordeaux I) et Alain, nous avons exhibé un développement en fraction continue remarquable sur F(Q).
Chapitre 9
Une synthèse de mes perspectives de
recherche
Afin de donner un peu plus de visibilité et de cohérence à mon projet scientifique, je vais maintenant regrouper les perspectives que j’ai présentées en fin des trois derniers chapitres. J’en profite pour les compléter et les présenter dans le cadre d’un projet global que j’ai intitulé « Vers une bibliothèque de calcul numérique à niveau de sûreté variable ».
Je souhaite consacrer mes cinq prochaines années de recherche à l’extension de mes travaux consacrés à l’approximation et à ses applications :
— approximation (certifiée) de fonctions et applications liées à ces approximants, telles que l’optimi-sation globale ou l’intégration de ces fonctions sur certains domaines,
— synthèse automatique de filtres (quasi-optimaux) en traitement du signal. Les projets relatifs sont présentés dans les sections9.1,9.2et9.3.
Un aspect important du premier point est que nous nous efforçons de nous détacher progressivement de la nécessité d’avoir la fonction de départ donnée explicitement, comme somme d’une série de Taylor par exemple, et de travailler directement sur une donnée implicite de la fonction sous forme de solution d’une équation différentielle par exemple. C’est un pas important en pratique puisque la plupart du temps, les mathématiciens, physiciens, chimistes ou biologistes, les ingénieurs ont affaire à des équations ou des systèmes différentiels. Nous souhaitons qu’ils puissent les évaluer de manière efficace et certifiée. Quant au second point, il nous semble important de fournir à la communauté de traitement de signal des outils de calcul robustes et à résultats garantis.
Dans les dix ans qui viennent, je souhaiterais coordonner un projet d’ampleur consistant à développer une bibliothèque de routines calculatoires, offrant trois niveaux de sûreté que l’on qualifie comme suit :
— numérique, i.e. la bibliothèque renvoie un résultat sous la forme d’un nombre flottant,
— certifiée, i.e. la bibliothèque renvoie un résultat sous la forme d’un nombre flottant et d’une erreur 𝜀, aussi fine que possible, tels que le flottant retourné se trouve à une distance 𝜀 de la valeur mathématique du résultat,
— formalisé, i.e. le calcul est fait à l’aide d’un assistant de preuve tel que COQ ou certaines étapes-clés du calcul sont formalisables.
Notre espoir est que cette bibliothèque joue un rôle-clé pour, au moins, les deux types d’utilisateurs suivants : les mathématiciens élaborant des preuves assistées par ordinateur en analyse [82,117,88,206] et les ingénieurs qui travaillent sur des systèmes critiques (avionique, spatial, etc.) pour lesquels la certification, voire la formalisation des calculs est cruciale. Je reviendrai sur ce projet de bibliothèque dans la section9.4.
104 Chapitre 9. Une synthèse de mes perspectives de recherche
9.1 Approximation efficace en machine
L’absence d’outils efficaces pour attaquer directement CVP∞nous a amené à nous placer dans le cadre euclidien et considérer alors la question sous l’angle d’un CVP2. Toutefois, l’article [43] propose un algorithme d’attaque directe du CVP∞que nous avons à résoudre. Je voudrais donc essayer de le mettre en œuvre et tester ses possibilités pratiques.
9.1.1 Synthèse de filtres RIF et RII
Je souhaite aussi continuer à creuser ces questions de qualité numérique en traitement du signal. Nous proposons actuellement une solution satisfaisante pour le cas des filtres RIF, allant jusqu’à la synthèse matérielle en FPGA de ces filtres. Il nous reste maintenant à avancer significativement sur le cas des filtres RII [6,168,176], dont la fonction de transfert est une fraction rationnelle, et plus un polynôme. La première difficulté est le développement de l’analogue de l’algorithme de Parks-McClellan. En effet, le calcul d’une fraction rationnelle de meilleure approximation est notoirement instable et il va nous falloir élaborer des méthodes robustes à cet effet. Peut-être aurons-nous à passer via des approximations légèrement sous-optimales mais qui nous permettront des calculs sûrs. La question de la quantification des coefficients nous posera de nouveaux problèmes puisqu’il faudra prendre en compte des contraintes additionnelles telles que la localisation des pôles afin d’assurer la stabilité du filtre.
S. Filip et moi-même projetons de proposer une bibliothèque C++ dont l’objectif sera d’être l’outil de référence pour la synthèse de filtres RIF et RII. À terme, elle devra être reversée dans la bibliothèque à trois niveaux de sécurité présentée dans ce projet.