Corps quartiques purs - Questions d'Euclidianité

5.2.1 Présentation

Plutôt que de considérer un corps de nombres quelconque, on peut se restreindre à une famille de corps et par exemple étudier les corps de nombres « purs », c’est-à-dire de la forme Q

√

n r1, r2 br1, r2 _r^{nombre de corps de signature}

1, r2 tels que|discK|<br1, r2 2 2 , 0 21 4 3 3 , 0 169 3 1 , 1 135 11 4 4 , 0 6125 24 2 , 1 1600 34 0 , 2 400 12 5 5 , 0 390625 101 3 , 1 52519 165 1 , 2 9137 61

Table II.2 – Borne sur le discriminant pour toujours avoir MK

=

1 ΛK. irréductible. Avec l

=

2, on obtient en fait tous les corps quadratiques réels et ceux qui sont euclidiens pour la norme sont bien connus (I.3). Pour l

=

3, il s’agit des corps cubiques purs dont l’euclidianité pour la norme a été étudiée en détail par Cioffari ([Cio79]). On a ainsi la propriété suivante.

Théorème 5.1(Cioffari). Soit m un entier qui n’est pas un cube. Alors K

=

√

m est

euclidien pour la norme si et seulement K est un élément de la liste suivante :

√

2, Q

^√

³3, Q

^√

³10.

L’objet de ce paragraphe va donc être d’étudier les corps quartiques purs, c’est-à-dire les corps de la forme Q

√

m où m est un entier strictement supérieur à 1 qui n’est pas une puissance quatrième. On va établir le résultat suivant.

Théorème 5.2. Si L est un corps quartique pur tel que L

6=

√

61, alors L est

euclidien pour la norme si et seulement si L

=

√

m où

∈

2 , 3 , 5 , 12 , 20.

Egami a montré ([Ega79]) qu’il n’y a qu’un nombre fini de corps Q

√

m euclidiens pour la norme pour m

6=

2p2, avec p

≡

3 mod 8. Lemmermeyer a indiqué qu’on pouvait se passer de cette hypothèse et a donné une liste finie explicite de candidats dans [Lem89].

5.2.2 Démarche et outils généraux

Nous reprenons le raisonnement décrit par Lemmermeyer, en le complétant pour certains cas. Pour commencer, on limite le nombre de cas possibles grâce à la propriété suivante.

5. RÉSULTATS OBTENUS 39

Proposition 5.3 ([Par75, Theorem I p. 107]). Soit L un corps quartique pur. Si le

nombre de classeshLest impair, alors L

=

√

m où m est l’une des valeurs suivantes

(p désigne un nombre premier) : – 2, – 2p2_{, où p}

_≡

3 mod 8, – p, où p

≡ ±

3 mod 8, – 4p, où p

≡ −

1 ,

±

3 mod 8, – 2p, où p

≡

3 mod 8, – 8p, où p

≡

3 mod 8.

Comme tout corps de nombres euclidien est principal, si on cherche tous les corps quartiques purs L euclidiens pour la norme, on peut supposer que L

=

√

m où m est l’une des valeurs de la proposition 5.3. Pour alléger l’écriture, on va noter

··=

√

m.

5.2.2.1 Propriétés de congruence

Lemme 5.4. 1. Soit L/K une extension galoisienne de corps de nombres. Soit I un idéal de L tel que pour tout ϕ

∈

GalL/K, ϕI

⊆

I. Alors pour tousα, β

∈

ZL tels que α

−

∈

N_L/Kα

≡

N_L/Kβ mod I

∩

Z_K .

2. Soit I un idéal de Z_L_m invariant par ϕ₁ :

√

7−→ −√

m etϕ₂ :

^√

7−→ −^√

m, alors pour tous α, β

∈

Z_L_m tels queα

−

∈

N_L_m_/Qα

≡

N_L_m_/Qβ mod I

∩

Z .

Démonstration. 1. C’est une conséquence immédiate de la définition de la norme : pour tout x

∈

L, NL/Kx

=L

ϕ∈GalL/Kϕx.

2. Il suffit d’appliquer le premier point deux fois : d’abord avec Lm/Q

^√

m, puis avec Q

^√

m/Q. Le résultat s’en déduit par transitivité de la norme.

Lemme 5.5. Soitf un entier naturel produit de nombres premiers totalement ramifiés dans L_met deux à deux distincts. S’il existe deux entiers naturels strictement positifs a et b tels que

1. f

=

+

2. il existe x

∈

Z tel que a

≡

x4 mod f,

3. a et

−

b ne sont pas des normes d’éléments entiers de L_m, alors L_mn’est pas euclidien pour la norme.

Démonstration. Par l’absurde, supposons que Lmest euclidien pour la norme. Par hypothèse sur f, il existe un idéal entier f de ZLm tel que f ZLm

=

f4.

Or Lmest euclidien, donc principal, donc il existe t

∈

Z_L_mtel que f

=

tZ_L_m. On fait la division euclidienne de x par t : il existe y

∈

Z_L_m tel que x

−

∈

fet

RRRRRNLm/QyRRRRR

<

RRRRRNLm/QtRRRRR

=

En appliquant le lemme 5.4 (2) avec I

=

f, on obtient que NLm/Qx

≡

N_L_m_/Qy mod f. Or x

∈

Z, donc NLm/Qx

=

_≡

_a mod f. Ainsi,

−

≡

N_L_m_/Qy mod f . Comme a, b

>

_{0, cela implique}

N_L_m_/Qy

∈

a ,

−

b , ce qui est exclu.

Remarque. Cet énoncé de congruence est très classique, on peut en voir une formu-lation un peu plus générale (mais inutile ici) dans [Ega84]. Dans ce papier, Egami attribue les idées de généralisation à Lenstra.

5.2.2.2 Propriétés des entiers D’après le lemme 5.5, pour démontrer que Lm

est non euclidien pour la norme, il suffit d’exhiber une décomposition de nombres premiers ramifiés en somme de deux entiers ayant certaines propriétés. Le lemme suivant va permettre de trouver de telles décompositions.

Lemme 5.6. Soit p un nombre premier.

1. Si p

≡

5 mod 8 tel que p > 101 et p

6=

109, alors il existe r, s, t, u

∈

N tels que

=

+

tu,r, s

=

t , u

=

1 et ^r

=

= −

2. Si p

≡

3 mod 4 et p

>

_{3, alors il existe deux entiers naturels a et b tels que}

=

+

b, a

≡

5 mod 8 et ^a

=

3. Si p

≡

3 mod 4 et p

>

_{19, alors il existe deux entiers naturels a et b tels que} p

=

+

b, a

=

−

p mod 8 et ^a

=

Démonstration. 1. Pour p

≡

5 mod 24, voir [BR36]. Pour p

≡

13 mod 24, voir [Bra40]. Pour p

=

101, une décomposition possible est 101

=

· +

·

29. 2. On distingue deux cas selon la congruence de p modulo 8.

– p

≡

3 mod 8 : pour p

=

11, on peut prendre a

=

5, donc on peut supposer que p > 19. Ainsi, il existe c

∈

Ntel que 2p

<

_16c

<

_{3p. Dès lors,}

<

−

<

16c

−

<

2p.

De plus 8c

−

≡

16c

−

≡

5 mod 8. Comme 16c

−

≡

28c

−

p mod p, on a ^16c

⁻

^p p

=

² p^8c

⁻

^p p

= −

^8c

⁻

^p p . Ainsi, ^8c

⁻

^p p

=

1 ou ^16c

⁻

^p p

=

1 et on peut choisir a

∈

8c

−

p ,16c

−

p tel que ^a_p

=

5. RÉSULTATS OBTENUS 41

– p

≡

7 mod 8 : alors p > 23 et on peut donc trouver c

∈

Ntel que 5p

<

16c

<

6p. Ainsi

<

16c

−

5p , 3p

−

<

2p.

On a 16c

−

≡

−

≡

5 mod 8 et, comme 16c

−

≡ −

23p

−

8c mod p, ^16c

⁻

^5p p

=

⁻

² p^3p

⁻

^8c p

= −

^3p

⁻

^8c p .

Par conséquent, on peut choisir a

∈

16c

−

5p , 3p

−

8c tel que ^a

=

1. 3. On commence par noter que l’on peut supposer que p > 59 en exhibant les

va-leurs de a suivantes pour p plus petit.

p 23 31 39 43 47 51

a 6 14 22 10 6 18

On distingue alors deux cas selon la congruence de p modulo 8.

– p

≡

3 mod 8 : on peut alors trouver un entier c

∈

Ntel que 2p

−

<

64c

<

−

8. Dès lors, on a 0

<

_8c

+

2 , 88c

+

−

<

p. De plus 8c

+

≡

88c

+

−

≡

2 mod 8 et 88c

+

−

≡

88c

+

2 mod p, donc ^88c

+

−

2p p

=

² p^8c

+

2 p

= −

^8c

+

2 p .

Par conséquent, on peut choisir a

∈

88c

+

−

2p , 8c

+

2 tel que ^a_p

=

1. – p

≡

7 mod 8 : on peut alors trouver c

∈

Ntel que p

+

<

64c

<

+

16.

Ainsi,

<

−

2 , 2p

−

88c

−

<

De plus 8c

−

≡

−

88c

−

≡ −

2 mod 8. Comme 2p

−

88c

−

≡ −

88c

−

2 mod p, on a

^2p

⁻

^88c_p

⁻

=

⁻

_p²^8c_p

⁻

=

^8c_p

⁻

².

Dès lors, on peut choisir a

∈

2p

−

88c

−

2, 8c

−

2 tel que ^a

=

D’autre part, il est intéressant de savoir quels entiers ne sont pas des normes. Le lemme suivant donne un critère.

Lemme 5.7. Soient p un nombre premier tel que p

≡

1 mod 4, r et s deux entiers

tels quer, s

=

1 et ^r

=

= −

1. On note K

=

^√

p. Alors rs n’est pas la norme

Démonstration. Comme r, s

=

1, on peut supposer que r est impair. On suppose que

∈

Z_K est tel que NK/Qα

=

rs, c’est-à-dire qu’il existe deux entiers x et y tels que

₋

_py2

=

·

4s.

Soit q un facteur premier (impair) de valuation impaire de r (s’il existe). Si q divise

y, alors q

6=

p, donc q divise x. Ainsi, en divisant par q2autant de fois que nécessaire, on se ramène au cas où q ne divise pas y. Alors

≡

xy−1² mod q , donc ^q

=

1, car p

≡

1 mod 4, d’après la loi de réciprocité quadratique. Par conséquent, en faisant le produit sur tous les q, on trouve ^r

=

1, ce qui est faux.

Remarque5.8. Si p

≡

3 mod 4, la propriété reste vraie si r est produit de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.

5.2.3 Puissances quatrièmes

Pour appliquer le lemme 5.5, il est important de savoir que certains éléments sont des puissances quatrièmes modulo un certain entier f. En pratique, on aura seule-ment besoin d’une telle propriété pour f

=

pou f

=

2p où p est un nombre premier impair. Selon la congruence de p modulo 4, on va distinguer les propriétés classiques utiles pour la suite.

Lemme 5.9. Si p

≡

3 mod 4, on note

··=

∈

Z/pZ , t

6≡

0 mod p et t carré modulo p.

Alors C est un groupe abélien pour la multiplication et l’application ^C

^−→

7−→

x2 ^est

une bijection. En particulier, pour tout t

∈

Z/pZ, t est un carré modulo p si et seulement

si c’est une puissance quatrième modulo p.

Démonstration. Le fait que C est un groupe abélien est clair. Pour voir que l’appli-cation d’élévation au carré est une bijection de C, il suffit de prouver que c’est une injection. Or, si x

∈

C vérifie x2

_≡

1 mod p, alors x

−

· +

≡

0 mod p, d’où x

≡

1 mod p ou x

≡ −

1 mod p car Z/pZ est un corps. Mais

−

1 n’est pas un carré modulo p car p

≡

3 mod 4, donc x

≡

1 mod p, ce qui montre que l’élévation au carré est injective et achève la preuve.

Si p

≡

1 mod 4, la situation est un peu plus compliquée. C’est pourquoi on va introduire le symbole de résidu quartique modulo p, noté 

^·

4. Il est défini pour a premier avec p par

≡

a^p−4¹ mod p .

Cette définition est possible parce que, par hypothèse, p

≡

1 mod 4, mais aussi car a^p−2¹

≡

1 mod p et car Z/pZ est un corps. Notons aussi que si a

∈

C, alors ^a

5. RÉSULTATS OBTENUS 43

Lemme 5.10. Soient p

≡

1 mod 4, a et b deux entier premiers avec p.

1. Il existeα

∈

Z tel que a

≡

α4 mod p si et seulement si ^a_p

=

1. 2. On a^a p 4 ^b p 4

=

^ab p 4 .

Démonstration. 1. Si a est une puissance quatrième modulo p, on a clairement ^a_p

=

1. Réciproquement, si ^a_p

=

1, alors ^a_p

=

1, donc a est un carré modulo p, disons a

≡

c2 mod p, pour un certain entier c. Or ^c

≡

c^p−2¹

≡

a^p−4¹

≡

1 mod p. Donc c est lui-même un carré modulo p, ce qui prouve que a est une puissance quatrième modulo p.

2. C’est une conséquence facile de la définition du résidu quartique modulo p.

Pour plus de détails sur la réciprocité quartique, on peut consulter [Lem00]. Pour traiter le cas f

=

2p, seul le lemme facile énoncé ci-dessous sera utile. Lemme 5.11. Soient p un nombre impair et x un entier qui est une puissance quatrième

modulo p. Alors x est une puissance quatrième modulo2p.

Démonstration. Soit α

∈

Z tel que x

≡

α4 mod p. Alors x

≡

α4 mod 2p ou x

≡

α4

+

p mod 2p. Dans le second cas, x

≡

+

p4 mod 2p car p4

₋

=

·

^p³₂⁻¹. Cela montre que x est toujours une puissance quatrième modulo 2p.

5.2.4 Ramification totale

Pour appliquer le lemme 5.5, nous aurons besoin de connaître des premiers tota-lement ramifiés, le lemme suivant va nous fournir de tels premiers.

Lemme 5.12. Soient p un premier impair et m

∈

p , 2p , 4p , 8p. Alors p est totalement

ramifié dans L_m. De plus, si m

∈

2p , 8p, alors 2 est totalement ramifié dans Lm. Démonstration. Dans tous les cas, notons α

∈

L_mtel que α4

=

– Soit q un nombre premier qui divise m tel que q2ne divise pas m. On l’appliquera avec q

=

pdans tous les cas et q

=

2 pour m

=

2p. Soit q un facteur premier de

qZ_L_m. On écrit qZLm

=

q^er, où e > 1 et r est premier avec q. Comme q divise mZLm, il divise α4_Z_L

m, donc aussi αZLm. Par conséquent, q4

divise α4_Z_L

=

mZ_L_m. Comme q est premier avec m

q et r, cela implique que q4

divise qe, donc e > 4.

Mais q est premier, donc Nq > q. Par conséquent, q4 divise qZLm et Nq4 > NqZLm. Ainsi, qZLm

=

q4.

– Il reste à traiter q

=

2 dans L_8p. On note q un facteur premier de 2ZL8p. Comme précédemment, on écrit 2ZL8p

=

q^er avec e > 1 et r premier avec q. On va alors montrer que e > 4. Comme Nq > 2, cela permettra de déduire que 2ZL8p

=

q4. Comme q3 divise 8ZL8p, il divise aussi α4_Z_L

8p. Par conséquent, q divise αZL8p, donc q4divise 8ZL8p, ce qui prouve que q4divise q3e_r3. Ainsi, e > 2. On continue le raisonnement, en notant qu’alors q8divise α4_Z_L

8p, donc q8divise q3e, et ainsi

e > 3. On en déduit que q¹²divise α4_Z

L8p. Dès lors, q12divise q3e, donc e > 4, ce qui permet de conclure comme annoncé.

5.2.5 Propriétés générales de L_{2 p}2

Dans le cas de L_2p2, p

≡

3 mod 8, non traité par Egami, la preuve que nous présentons nécessite une connaissance fine de ZL2p2

=

+

√

⁴

2p2

+

√

+

√

⁴

2p2

^√

2, et plus particulièrement des unités Z×

L2p2. Les unités des corps quartiques purs ont été étudiées en détail. On peut par exemple consulter [Ste73] ou [End83] à ce sujet. Nous allons seulement donner les propriétés utiles dans le cas particulier de L_2p2qui nous intéresse ici. On pose K

=

^√

Tout élément x de L_2p2 peut être écrit sous la forme

+

x2⁴ » 2p2

+

√

+

x4⁴ » 2p2

^√

2 ,

où x₁, x2^{, x}3^{, x}4

^∈

^Q. Cette écriture fournit un plongement naturel de L_2p2 dans R. Lemme 5.13. Soit U

=

∈

Z^×_L, N_L

2p2^/Ku

=

1. Alors il existe ε₀

∈

U tel que tel que ε₀

>

1 et pour tout u

∈

U tel que u

>

1, u > ε₀.

Démonstration. Comme le rang des unités de L est 2, on peut considérer un système d’unités fondamentales ε , ν de L. On note [ : L_2p2

−→

L2p2 le morphisme défini pour x₁, x2^{, x}3^{, x}4

^∈

^Qpar [ x₁

+

x2⁴ » 2p2

+

√

+

x4⁴ » 2p2

^√

=

⁻

^x2⁴ » 2p2

+

√

−

x4⁴ » 2p2

^√

2. On pose alors f :  ^L^2p²^×

^−→

^R² x

7−→

|

,ln

|

[x

|

^. Avec ces notations,

fZ×

L2p2

=

k ln

|

|+

lln

|

,k ln

|

[ε

|+

lln

|

[ν

|

,k , l

∈

Z2 , donc fZ×

L2p2 est un sous-groupe discret de R2. En particulier, fU est aussi un sous-groupe discret de R2.

Comme NL2p2^/Kε, NL2p2^/Kν

∈

Z^×_K, il existe deux entiers a et b tels que N_L

2p2^/Kε

= ±

+^√

2a et N_L

2p2^/Kν

= ±

+^√

2b.

Si a

=

0, on pose T

··=

ε2. Si b

=

0, on pose T

··=

ν2. Dans les autres cas, on pose

··=

ε−2bν^2a.

Alors NL2p2^/KT

=

1. Notons que T

6=

1 car ε , ν est un système d’unités fondamen-tales de L_2p2. Quitte à changer T en

−

T, on peut supposer que T

>

0. Quitte à changer

T en ¹_T, on peut alors supposer que T

>

_1.

Ainsi, T

∈

U et T

>

1. Considérons alors l’ensemble V

=

∈

U, 1

<

_{u 6 T}. Soit

∈

V. On a alors u[u

=

N_L

2p2^/Ku

=

1, donc

<

|

6 ln

|

et ln

|

[T

|

6 ln

|

[u

|<

Par conséquent, fV

⊆

fU

∩

0 , ln

|

×

|

[T

|

,0. Donc fV est inclus dans l’intersection d’un sous-groupe discret et d’un compact de R2. Ainsi, fV est fini. En particulier, on peut considérer ε₀

∈

Vtel que ε₀

>

1 soit minimal. Dès lors, pour tout

5. RÉSULTATS OBTENUS 45

Le lemme 5.13 prouve l’existence d’une plus petite unité ε₀strictement supérieure à 1 telle que NL2p2^/Kε₀

=

1. Le résultat suivant, qui s’applique en fait à tout corps quartique pur, permet de construire un système d’unités fondamentales de L_2p2 à partir de ε₀.

Lemme 5.14(Ljunggren). Soient ε₀la plus petite unité de L2p2strictement supérieure à1 et telle que NL/Kε0

=

1 et ε∗

=^√

−

1. S’il n’existe pas d’unité ε de L_2p2 telle que

N_L/Kε

= ±

ε∗, alorsε∗,ε₀ est un système d’unités fondamentales de L_2p2.

Démonstration. Soit u

∈

Z^×_L. Alors NL/Ku

∈

Z^×_K. Comme ε∗est une unité fondamen-tale de K, il existe m

∈

Ztel que

N_L/Ku

= ±

ε∗m

Il existe donc l

∈

Ztel que NL/Kuε∗l

∈

±

1 ,

±

ε∗ selon la parité de m. Par hypothèse, les cas

±

ε∗sont impossibles. Le cas

−

1 est aussi exclu car si on écrit x

=

+

√

+

x3⁴

√

2p2

+

x4⁴

√

2p2

^√

2, pour x₁, x2^{, x}3^{, x}4

^∈

^Z, alors NL/Kx

=

x2 1

+

2x²₂

−

4px₃x4

+

2x1^x2

⁻

^px²₃

⁻

2px²₄

^√

Par conséquent, NL/Kx

= −

1 implique que x₁, x2^{, x}3^{, x}4 est solution du système suivant. ¢¨¨ ¦¨¨ ¤ x2 1

+

2x2 2

⁻

4px₃x4

= −

1 2x₁x2

⁻

^px²₃

⁻

2px2 4

=

0 (II.10a) (II.10b) Mais alors, d’après (II.10b),

2x₁x2

=

px2 3

+

2x2 4

=

px2 3

+

x₄

^√

22 > 2px₃x4

√

2 d’après l’inégalité arithmético-géométrique ,

=

√

2 2 ^x²1

+

2x²₂

+

1 d’après (II.10a) >

√

2 2 2x₁x2

√

+

1 d’après l’inégalité arithmético-géométrique ,

=

2x₁x2

+

√

2 2 ^,

ce qui est clairement faux. Dès lors, NL/Kuε∗l

=

On pose v

=

uε∗l. Quitte à considérer

−

v, on peut supposer v

>

0. Quitte à rempla-cer v par v−1, on peut alors supposer que v > 1. Comme NL/Kv

=

1, par définition de ε₀, il existe t

∈

Ztel que v

=

εt

0. Ainsi, on a montré qu’il existe a , b

∈

Ztels que

= ±

ε∗a ε₀b,

ce qui achève la preuve.

Notons bien sûr que le résultat de Ljunggren est plus général et donne aussi un système d’unités fondamentales si l’équation NL/Kε

= ±

ε∗a au moins une solution, mais le lemme 5.14 suffit pour établir la propriété suivante.

Démonstration. Pour appliquer le lemme 5.14, on cherche donc à montrer qu’il n’existe pas d’unité ε de L_2p2 telle que NL/Kε

= ±

ε∗. On note

=

+

√

+

y₁

+

√

2»4 2p2_,

où x₁, x₂, y₁ et y₂sont entiers. Alors N_L/Kε

=

+

2x2

⁻

4py₁y2

+

2x1^x2

⁻

^py₁²

⁻

2py2 2

^√

On cherche donc à résoudre les systèmes suivants, ou plutôt à prouver qu’ils n’ad-mettent pas de solution entière.

¢¨¨ ¦¨¨ ¤ x2 1

+

2x²₂

−

4py₁y2

= −

1 2x₁x2

⁻

^py₁²

⁻

2py²₂

=

1 (II.11a) (II.11b) ¢¨¨ ¦¨¨ ¤ x2 1

+

2x2 2

⁻

4py₁y2

=

1 2x₁x2

⁻

^py₁²

⁻

2py2 2

= −

1 (II.12a) (II.12b) Pour (II.11), on raisonne par l’absurde, et on suppose que le système admet une solution x₁, x2^{, y}1^{, y}2

∈

R4. Alors, d’après (II.11b),

2x₁x2

=

+

py2 1

+

2y²₂

=

+

py2 1

+

y₂

^√

2² > 1

+

2py₁y2

√

2 d’après l’inégalité arithmético-géométrique ,

=

+

√

2 2 ^x²1

+

2x²₂

+

1 d’après (II.11a) > 1

+

√

2 2 2x1^x2

√

+

1 d’après l’inégalité arithmético-géométrique ,

=

2x₁x2

+

√

2 2 ^, ce qui est clairement faux.

Pour (II.12), on raisonne aussi par l’absurde et on suppose que le système admet une solution x₁, x2^{, y}1^{, y}2

∈

Z4. Alors, d’après (II.12a), x₁ est impair, donc x2

^≡

1 mod 8. En évaluant (II.12a) modulo 4, on en déduit que x₂est pair.

Ainsi, en évaluant (II.12a) modulo 8, on trouve que y₁y2 est pair. Or (II.12b) im-plique que y₁est impair, donc y₂est pair.

On utilise l’imparité de y₁ et la parité de y₂ pour évaluer (II.12b) modulo 4, on trouve 2x₁x2

^≡

2 mod 4, donc x₁x2

^≡

1 mod 2. C’est incompatible avec le fait que x₂est pair.

Corollaire 5.16. Toute unité de L2p2 est congrue à1 modulo

^√

Démonstration. D’après la proposition 5.15, toute unité u de L_2p2 est de la forme u

=

±

ε∗mε₀n, avec m , n

∈

Z. Or ε∗

= ^√

−

≡

1 mod

^√

2 et on va prouver que ε₀

≡

1 mod

^√

2, cela nous donnera facilement le résultat.

Par définition de ε₀, NL/Kε₀

=

1. Si on note

ε₀

=

+

√

+

y₁

+

√

2»4 2p2_,

5. RÉSULTATS OBTENUS 47

où x₁, x₂, y₁ et y₄sont entiers, cela fournit le système d’équations suivant. ¢¨¨ ¦¨¨ ¤ x2 1

+

2x2 2

⁻

4py₁y2

=

1 2x₁x2

⁻

^py₁²

⁻

2py2 2

=

0 (II.13a) (II.13b) Ainsi, (II.13a) montre que x₁est impair et (II.13b) prouve que y₁est pair. Par consé-quent, ε₀

≡

1 mod

^√

5.2.6 Raisonnements généraux

Dans ce paragraphe, on élimine tous les cas sauf un nombre fini d’entre eux. Proposition 5.17. Soit p un nombre premier tel que p

≡

3 mod 8. Alors L_2p2 n’est pas euclidien par rapport à la norme.

Démonstration. Par l’absurde, supposons que L_2p2est euclidien pour la norme. Posons

=

^√

2. Notons γ

=^√

2, I

=

γZL2p2 et α

=

+√

2p2. On peut effectuer la division euclidienne de α par γ, il existe ainsi β

∈

Z_L

2p2 tel que

≡

α mod I et RRRRR_RRN_L

2p2^/QβRRRRR_RR

<

RRRRR_RRN_L

2p2^/QγRRRRR_RR

=

4. (II.14) Alors d’après le lemme 5.4 (2), NL2p2^/Qβ

≡

1 mod 2. Dès lors, (II.14) nous donne N_L

2p2^/Qβ

∈

±

1 ,

±

3. Mais il n’existe pas d’élément de norme

±

3 dans K, donc N_L

2p2^/Qβ

∈

±

1 et ainsi β

∈

Z^×_L 2p2.

Or, d’après le corollaire 5.16, toute unité de L_2p2 est congrue à 1 modulo

^√

2, donc

≡

1 mod I . D’après (II.14), cela implique que α

−

= √

2p2

_∈

_I, ce qui est faux. Cela fournit une contradiction et achève la preuve.

Remarque 5.18. En fait, comme

±

7 ne peuvent être obtenues comme normes d’élé-ments de ZK, on peut conclure que ML_2p2 > mL2p2α

γ > 7

4. Cette borne est atteinte pour p

=

3 : grâce à l’algorithme 4.1, on trouve ML₁₈

=

Proposition 5.19. Soit p un nombre premier, p

≡

5 mod 8 et p

=

101 ou p

>

109.

Alors ni L_pni L4p^{ne sont euclidiens par rapport à la norme.}

Démonstration. On note K

=

^√

p et L

=

L_pou L_4p. Le lemme 5.12 montre que p est totalement ramifié dans L. D’après le lemme 5.6 (1), il existe des entiers naturels

r, s , t et u tels que p

=

+

tu, r, s

=

t , u

=

1 et ^r

=

= −

1. Cela implique que

⁻

_p^tu

=

^rs_p

=

1. Ainsi, on a aussi

⁻

_p^u

= −

1. Par ailleurs, comme

⁻

_p¹

= −

1, on a ^rs_p

=

1 ou ^tu_p

=

1 d’après le lemme 5.10. Quitte à échanger rs et tu, on peut supposer que ^rs_p

=

1. Notons alors a

=

rset b

=

tu.

D’après le lemme 5.10, a est une puissance quatrième modulo p, mais ni a, ni

−

ne sont des normes d’éléments de ZL. Pour voir cela, on note que ce ne sont pas des normes d’éléments de ZK d’après le lemme 5.7.

Proposition 5.20. Soit p un nombre premier, p

≡

3 mod 8 et p

6=

3. Alors L_2p et L8p^{ne sont pas euclidiens par rapport à la norme.}

Démonstration. On note K

=

^√

2p et L

=

L2pou L_8p. Le lemme 5.12 montre que 2 et p sont totalement ramifiés dans L.

D’après le lemme 5.6 (2), il existe deux entiers naturels a et b tels que 2p

=

+

≡

5 mod 8 et ^a

=

1. Ainsi, a est un carré modulo p et c’est aussi une puissance quatrième modulo p d’après le lemme 5.9. Le lemme 5.11 permet même de conclure que c’est une puissance quatrième modulo 2p.

Par ailleurs, a n’est pas une norme de ZK car a

≡

5 mod 8 et

−

bnon plus, car

−

≡ −

1 mod 8.

Donc, d’après le lemme 5.5, L n’est pas euclidien par rapport à la norme.

Proposition 5.21. Soit p un nombre premier, p

≡

3 mod 8 et p

>

_{19. Alors L}p et L4p^{ne sont pas euclidiens par rapport à la norme.}

Démonstration. On note K

=

^√

p et L

=

Lpou L_4p.

D’après le lemme 5.6 (3), il existe deux entiers naturels a et b tels que p

=

+

≡

2 mod 8 et ^a

=

1. Ainsi, a est un carré modulo p, et même une puissance quatrième (lemme 5.9).

Par ailleurs, ni a, ni

−

bne peuvent être normes d’éléments de ZK car a

≡

2 mod 8 et

−

≡ −

1 mod 8.

Donc, d’après le lemme 5.5, L n’est pas euclidien par rapport à la norme.

Proposition 5.22. Soit p un nombre premier, p

≡

7 mod 8 et p

>

7. Alors L_4pn’est pas euclidien par rapport à la norme.

Démonstration. On note K

=

^√

p et L

=

L4p.

D’après le lemme 5.6 (3), il existe deux entiers naturels a et b tels que p

=

+

≡ −

2 mod 8 et ^a_p

=

1. D’après le lemme 5.9, a est une puissance quatrième modulo p.

Ni a, ni

−

bne sont des normes d’éléments de ZK car a

≡ −

2 mod 8 et

−

≡ −

1 mod 8.

On conclut avec le lemme 5.5.

En combinant la proposition 5.3 et les propositions précédentes pour éliminer tous les cas sauf un nombre fini, on obtient le résultat suivant.

Corollaire 5.23. Si L est un corps quartique pur euclidien pour la norme, alors L

=

√

m où m est l’une des valeurs suivantes :

– 2,

– p où p

∈

3 , 5 , 11 , 13 , 19 , 29 , 37 , 53 , 61 , 109,

– 4p où p

∈

3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 19 , 29 , 37 , 53 , 61 , 109,

– 6,

– 24.

5. RÉSULTATS OBTENUS 49

5.2.7 Utilisation de l’algorithme

Pour les petites valeurs de m, on peut calculer MLm par l’algorithme 4.1. Dans la table II.3, nous recensons les valeurs obtenues. Les cas euclidiens pour la norme sont en gras. Tous les corps considérés sont principaux sauf L₇.

m 2 3 5 6 7 11 12 13 18 20 24 28 44

MLm 1

2 ¹¹12 16⁵ ²³16 ²⁷14 ¹²⁵44 ¹2 1 7

4 ¹¹16 ⁹7 ⁴⁷16 ⁴⁹22

Table II.3 – Calcul de quelques valeurs de MLm.

5.2.8 Utilisation d’un idéal

L’idée est de choisir un idéal I de norme NI, vérifiant les hypothèses du lemme 5.4 (2) et tel que I

∩

=

nZ. Si on trouve α

∈

Z_L_m tel qu’il n’existe aucun β

∈

Z_L_m vérifiant

N_L_m_/Qβ

≡

N_L_m_/Qα mod n et RRRRRNL/QβRRRRR

<

N I , (II.15) alors Lmn’est pas euclidien pour la norme. Pour avoir une chance d’exploiter (II.15), il faut que n soit de l’ordre de NI.

Par exemple, pour m

=

19, il existe un unique idéal I de norme 38 dans ZL19. En notant x

=√

19, c’est I

=

38Z

+

Zx2

+

Zx3. Ainsi I

∩

=

38Z, donc n

=

38. De plus si prend α

=

3, alors NL19/Qα

≡

5 mod 38, mais ni 5 ni

−

33 ne sont normes d’éléments de ZL19, donc L₁₉n’est pas euclidien pour la norme.

La table II.4 montre dans quels autres cas on peut utiliser ce raisonnement.

p m N I n α 19 19 38 38 3 76 38 38 5 29 29 29 29 4 53 53 53 53 8 212 212 106 35 61 244 244 122 28 109 109 109 109 5 436 436 218 82

Table II.4 – Idéaux utilisés pour prouver le caractère non euclidien grâce à (II.15). Pour chaque valeur de m, I est l’unique idéal de norme donnée.

5.2.9 Utilisation d’un corps intermédiaire

L’idée générale est similaire, mais on va obtenir des propriétés plus précises grâce au corps intermédiaire K

=

^√

Proposition 5.24. L37^{et L}148^{ne sont pas euclidiens pour la norme.}

Démonstration. On note L

=

L37 et K

=

^√

37. On suppose que L est euclidien pour la norme. L’idéal 2ZK est totalement ramifié dans L/K. On note B un élément au-dessus de 2ZK tel que NL/KBZK

=

2ZK. Alors on peut faire la division eucli-dienne de x

=

5+^√37

2 par B : il existe r

≡

x mod BZL tel que RRRRRNL/QrRRRRR

<

4. Comme 2ZK est totalement ramifié, d’après le lemme 5.4 (1), on a

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