1. L’ensemble Qdes nombres rationnels.
1.1 Fractions ´equivalentes
Notations et d´efinition. On appelle fraction tout couple (a, b) o`u a ∈ Zet b ∈ Z∗. On noteF = Z×Z∗ l’ensemble des fractions. Si (a, b)∈ F,aest appel´e le num´erateur etble d´enominateur de la fraction (a, b).
D´efinition. Deux fractions (a, b) et (c, d) sont dites ´equivalentes lorsque ad = bc dans Z. On note alors (a, b)∼(c, d).
Proposition. La relation∼est une relation d’´equivalence dansF.
Preuve. La r´eflexivit´e et la sym´etrie sont ´evidentes. Pour la transitivit´e, consid´erons trois fractions (a, b), (c, d) et (e, f). Supposons que (a, b)∼(c, d) et (c, d)∼(e, f). On a donc: ad=bcetcf=de. Il vientadf =bcf=bde, et commed6= 0, l’int´egrit´e deZimpliqueaf=be, d’o`u (a, b)∼(e, f). ut
Notation. Pour toute fraction (a, b), on note ab la classe d’´equivalence de (a, b) pour la relation∼. Donc:
a
b ={(c, d)∈ F; (c, d)∼(a, b)}={(c, d)∈ F;ad=bc}.
Toute fraction (c, d) appartenant `a ab s’appelle un repr´esentant de la classe ab. 1.2 Nombres rationnels
D´efinition. On appelle nombre rationnel toute classe d’´equivalence pour la relation∼dansF.
Notation. On noteQl’ensemble des nombres rationnels, c’est-`a-dire l’ensemble quotient de l’ensemble des fractions par la relation d’´equivalence∼, ce que l’on note: Q=F/∼.
Proposition (´egalit´e de deux rationnels). Deux nombres rationnels sont ´egaux si et seulement si tout repr´esentant de l’un est ´equivalent `a tout repr´esentant de l’autre:
(ab = cd dansQ) ⇔ ((a, b)∼(c, d) dansF) ⇔ (ad=bcdansZ).
Preuve. Evidente. ut
Proposition(simplification). Pour toute fraction(a, b)et tout entierdnon-nul, on a: adbd =ab.
Preuve. On a (ad)b= (bd)a, d’o`u (ad, bd)∼(a, b), et donc adbd=ab. ut
Th´eor`eme et d´efinition. Pour tout nombre rationnel x, il existe une unique fraction (a, b) v´erifiant x= ab telle queb∈N∗ et telle que les entiers aet bsoient premiers entre eux. On l’appelle le repr´esentant irr´eductible du nombre rationnelx.
Preuve. Soitx∈Q. Il existe (c, e)∈ F telle quex= ce. Notonsd= pgcd(c, e). Il existe deux entiersαetβ premiers entre eux tels quec=αdete=βd. Commee6= 0, on aβ6= 0. Siβ >0, on posea=αetb=β. On a alors, en utilisant la proposition pr´ec´edente: x=ce =αdβd= αβ =ab.
Si β <0, on posea=−αet b=−β. ut
1.3 Injection canonique de Zdans Q.
Lemme. L’applicationφ:Z→Qqui, `a un entieraassocie le rationelφ(a) = a1, est injective.
Preuve. Soientaetcdeux entiers tels queφ(a) =φ(c). On a alors: a1 =c1. D’o`ua×1 = 1×c, donca=c. ut
Cons´equence fondamentale. Il r´esulte du lemme que l’applicationφb:Z→φ(Z) d´efinie parφ(a) =b φ(a) pour touta∈Zest une bijection deZsur le sous-ensembleφ(Z), image directe de l’ensemble parZparφ.
Convention: on convient d’identifierZavec le sous-ensembleφ(Z) deQ, qui lui est ´equipotent.
Via cette identification,Zest un sous-ensemble deQ, et on posea= a1, pour touta∈Z.
En d’autres termes: quel que soita∈Z, on a: a= a1 ={(c, d)∈ F;c=ad}=add pour toutd∈Z∗.
En particulier: 0 =01 (et aussi 0 =0b pour toutb∈Z∗) et 1 =11 (et aussi 1 = aa pour touta∈Z∗).
1.4 D´enombrabilit´e de l’ensemble Q.
Proposition. L’ensembleQest infini d´enombrable.
Preuve. Puisqu’il existe d’apr`es 1.3 une injection deZdansQ, et puisqueZest infini, l’ensemble Q est infini. De plus, on peut d’apr`es le th´eor`eme de 1.2 consid´erer l’application Q→ Z×N∗ qui, `a tout nombre rationnel, associe son unique repr´esentant irr´eductible; c’est clairement une injection de Q dansZ×N∗. On sait que Z et N∗ sont infinis d´enombrables, et que le produit cart´esien de deux ensembles infinis d´enombrables est infini d´enombrable. D’o`u le r´esultat. ut
2. Op´erations et relation d’ordre dans Q.
2.1 Addition dans Q.
Lemme. Soient ab et cd deux nombres rationnels. Le rationnel ab +dc d´efini par:
a
b +cd =ad+bcbd
est ind´ependant des repr´esentants choisis, ce qui signifie que, si ab = ab00 et si dc = cd00, alors ad+bcbd = a0db00+bd00c0.
Preuve. Un calcul ´evident montre que l’on a (ad+bc)b0d0= (a0d0+b0c0)bdd`es lors queab0=a0betcd0=c0d. ut
D´efinition. Le rationnel ab +dc ainsi d´efini est appel´e la somme du rationnel ab et du rationnel dc. La loi de composition interne Q×Q→Qqui, `a un couple de rationnels (x, y), associe la sommex+y, est appel´ee l’addition dansQ.
Proposition.
(i) Pour l’addition d´efinie ci-dessus,Qest un groupe ab´elien.
(ii) Zest un sous-groupe additif deQ(ou encore, l’addition dans Qprolonge l’addition dansZ).
Preuve. Pour (i), on v´erifie directement par des calculs simples que l’addition est commutative et associative, qu’elle admet 0 = 01 comme ´el´ement neutre, et que tout rationnel ab admet −ab comme oppos´e. Pour (ii), il suffit de remarquer que l’injectioni:Z→Qconsid´er´ee en 1.3 v´erifiei(a+c) =i(a) +i(c) pour tout (a, c)∈Z, ce qui
est clair puisque a1+c1= a+c1 . ut
2.2 Multiplication dans Q.
Lemme. Soient ab et cd deux nombres rationnels. Le rationnel ab ×dc d´efini par:
a
b ×cd = acbd
est ind´ependant des repr´esentants choisis, ce qui signifie que, si ab = ab00 et si dc = cd00, alors acbd =ab00dc00.
Preuve. Un calcul ´evident montre que l’on a (ac)(b0d0) = (a0c0)(bd) d`es lors queab0=a0betcd0=c0d. ut
D´efinition. Le rationnel ab ×dc ainsi d´efini est appel´e le produit du rationnel ab par le rationnel cd. On le note aussi ab.cd, ou simplement abdc. La loi de composition interneQ×Q→Qqui, `a un couple de rationnels (x, y), associe le produitxy, est appel´ee la multiplication dansQ.
Proposition.
(i) La multiplication dansQest commutative, associative, admet1pour ´el´ement neutre, et tout rationnel non-nul ab admet ab pour inverse dansQ.
(ii) La multiplication dansQprolonge la multiplication dansZ.
Preuve. Pour (i), on v´erifie directement par des calculs simples la commutativit´e et l’associativit´e. Pour tout x= ab dansQ, on a 1.x= 11.ab =1a1b = ab =x, donc 1 est neutre. Enfin tout rationnel non-nul est de la forme ab aveca6= 0, et l’on a alors a
b.ab =abba = 1. Pour (ii), il suffit de remarquer que l’injectioni:Z→Qconsid´er´ee en 1.3 v´erifiei(ac) =i(a)i(c) pour tout (a, c)∈Z, ce qui est clair puisque a1.c1 =ac1. ut
2.3 Structure de corps de Q.
Th´eor`eme. (Q,+,×)est un corps commutatif.
Preuve. R´esulte des points (i) des propositions 2.1 et 2.2, et de la distributivit´e de×sur + dansQ, que l’on v´erifie
par un calcul direct ´el´ementaire. ut
Proposition.
(i) Zest un sous-anneau deQ; (ii) tout sous-anneau de Qcontient Z; (iii) le seul sous-corps de Qest Q.
Preuve. (i) r´esulte des points (ii) des propositions 2.1 et 2.2. Pour (ii), consid´erons un sous-anneauAdeQ. Il contient n´ecessairement 0 et 1. CommeAest stable par addition, il contient aussi 1 + 1 = 2,1 + 1 + 1 = 3, . . .et donc tous les entiers naturels. CommeAest stable par passage `a l’oppos´e, on conclut queAcontientZ. Pour (iii), consid´erons un sous-corpsKdeQ. CommeK est un sous-anneau, on d´eduit de (ii) queK contientZ. Comme de plus l’inverse de tout ´el´ement non-nul deKdoit appartenir `aK, il en r´esulte queKcontient les inverses des entiers non-nuls. D`es lors, ´etant stable par multiplication,Kcontient tous les produits d’entiers par des inverses
d’entiers non-nuls, d’o`uK=Q. ut
2.4 Relation d’ordre surQ.
Lemme. Soit xun rationnel tel que x6= 0. Deux cas seulement peuvent se pr´esenter: ou bien, pour tout repr´esentant(a, b)dex, le produitabappartient `aN∗, ou bien, pour tout repr´esentant(a, b)dex, le produit abest strictement n´egatif dansZ.
Preuve. Soient (a, b) et (c, d) deux repr´esentants dex. On aad=bc, donc (ab)(cd) =a2d2 est strictement positif dansZ. Il en r´esulte que les entiersabetcdsont de mˆeme signe, ce qui ach`eve la preuve. ut
Notations et terminologie.
1. On noteQ∗ l’ensemble des nombres rationnel distincts de 0.
2. Les rationnels non-nuls satisfaisant la premi`ere condition du lemme ci-dessus sont dits strictement positifs; on note Q∗+ leur ensemble. On pose Q+ = Q∗+∪ {0} et on appelle rationnels positifs les
´
el´ements deQ+.
3. Les rationnels non-nuls satisfaisant la seconde condition du lemme ci-dessus sont dits strictement n´egatifs; on note Q∗− leur ensemble. On pose Q− = Q∗−∪ {0} et on appelle rationnels n´egatifs les
´
el´ements deQ−.
On d´eduit ainsi du lemme les partitions suivantes deQ: Corollaire. Q=Q∗−∪Q+=Q−∪Q∗+=Q∗−∪ {0} ∪Q∗+.
D´efinitions. Soientxet ydeux nombres rationnels. On dit que xest inf´erieur ou ´egal `a y, ce que l’on note x≤y, lorsque le nombre rationnely−xest positif.
x≤y ⇔ y−x∈Q+
On dit que x est strictement inf´erieur `a y, ce que l’on note x < y, lorsque le nombre rationnel y−x est strictement positif, ce qui ´equivaut `ax≤yet x6=y.
Proposition. La relation≤est une relation d’ordre total dansQ, qui prolonge la relation d’ordre usuelle dansZ(ce qui signifie que l’injectioni:Z→Qest croissante).
Preuve. Le fait que la relation≤soit r´eflexive, antisym´etrique et transitive se v´erifie facilement. Il r´esulte du corollaire pr´ec´edent que, quels que soientxetydansQ, on ay−x∈Q+ ouy−x∈Q−; doncx≤y ouy≤x.
La relation≤est donc une relation d’ordre total dansQ. Pour le second point, consid´erons deux entiersmetn tels que m≤ndansZ. Sim=ndansZ, alors m1 = n1 c’est-`a-direm=ndans Q. Sinon,n−m∈N∗, alors (n−m)×1 est strictement positif dansZ, et il r´esulte donc de la d´efinition mˆeme deQ∗+quen−m= n1 −m
1 est strictement positif dansQ. D’o`u m1 ≤n
1 c’est-`a-direm≤ndansQ. ut
Th´eor`eme. (Q,+,×,≤) est un corps totalement ordonn´e, ce qui signifie que la relation d’ordre total ≤ d´efinie sur le corpsQv´erifie de plus:
(i) la relation ≤est compatible avec l’addition dansQ, (ii) le produit de deux rationnels positifs est positif.
Preuve. Evident d’apr`es les d´efinitions pr´ec´edentes. ut
Cons´equences pratiques.
Rappelons que le point (i) ci-dessus signife que: ∀ (x, y, z)∈Q3, (x≤y ⇒ x+z≤y+z).
Il r´esulte imm´ediatement du point (ii) ci-dessus que: ∀ (x, y)∈Q3, ∀z∈Q+, (x≤y ⇒ xz ≤yz ).
Terminons par deux autres propri´et´es importantes de l’ordre dansQ.
Proposition. Le corpsQest archim´edien, ce qui signifie que: ∀x∈Q+, ∀y ∈Q∗+, ∃n∈N, x≤ny
Preuve. Six= ab avec (a, b)∈N×N∗ety= cdavec (c, d)∈N×N∗, prendren=ad. ut
Proposition. La relation d’ordre dansQv´erifie: ∀x∈Q, ∀y∈Q, (x < y ⇒ ∃ z∈Q, x < z < y ).
Preuve. Il suffit de prendrez=x+y2 . ut
Cette derni`ere proposition permet de v´erifier par une r´ecurrence simple que, entre deux rationnels distincts, il existe une infinit´e de rationnels (l’analogue de cette propri´et´e pour les entiers est ´evidemment fausse).
2.5 Valeur absolue d’un nombre rationnel.
D´efinition. Pour tout nombre rationnelx, on appelle valeur absolue dex, et l’on note|x|, le rationnel positif
´
egal `axlorsquexest positif, et ´egal `a−xlorsque xest n´egatif.
Proposition. Pour tous rationnelsxet y, on a: |xy|=|x|.|y| et |x+y| ≤ |x|+|y|.
Preuve. Evident. ut
3. Compl´ements et prolongements
3.1 Sur le plan alg´ebrique.
Remarque 1. Puisque Qest un corps, il est clair que l’on sait r´esoudre dansQtoute ´equation alg´ebrique de degr´e 1, c’est-`a-dire de la formeax+b= 0 avec (a, b)∈Q2. L’ensemble des solutions est{−ab} sia6= 0, est Q2si (a, b) = (0,0), et est vide sia= 0 etb6= 0. C’est une propri´et´e ´evidemment fausse dans l’anneauZ. Remarque 2. Certaines ´equations alg´ebriques `a coefficients dansQ de degr´e strictement plus grand que 1 admettent ´evidemment des solutions dansQ(par exemple 4x2= 9), mais d’autres non.
Exemple. L’´equationx2=pavecpnombre premier n’admet pas de solution dansQ.
En effet, supposons qu’il existex= ab aveca∈Zetb∈N∗tel quex2=p. D’apr`es le th´eor`eme de 1.2, on peut sans restriction supposeraetbpremiers entre eux. L’´egalit´e (ab)2=pimpliquea2=pb2 dansZ. Ainsipdivise a2 ce qui, commepest premier, implique quepdivisea. Il existe alorsc∈Ztel quea=cp. L’´egalit´ea2 =pb2 devient doncc2p2=pb2, d’o`uc2p=b2. Ainsipdiviseb2 ce qui, commepest premier, implique quepdiviseb.
On conclut quepest un diviseur premier commun `aaetb, ce qui contredit l’hypoth`ese queaetbsont premiers
entre eux. ut
Remarque 3. Le passage au corps des nombres r´eels ne suffit pas `a assurer l’existence de solution pour toute
´
equation alg´ebrique. Si certaines ´equations alg´ebriques `a coefficients dansQadmettent des solutions r´eelles alors qu’elles n’en admettent pas dansQ(par exemplex2=pavecpnombre premier), d’autres n’en ont pas (par exemplex2+ 1 = 0), ce qui justifie la construction du corps des nombres complexes.
3.2 Sur le plan topologique.
1. Le corps ordonn´e Qne v´erifie pas l’axiome de la borne sup´erieure.
Preuve. On consid`ere dansQ la partie: A={x ∈Q+;x2 <2}. Elle est non vide (car contient 1). Elle est major´ee (par 2). On se propose de montrer qu’elle n’admet pas de borne sup´erieure dansQ.
On introduit pour cela le sous-ensembleB={x∈Q+;x2 >2}. Puisque l’´equationx2= 2 n’a pas de solution dansQ, on aQ+=A∪B. On raisonne en plusieurs ´etapes:
(i) Pour toutx∈A, il existey∈Atel quey > x.
En effet,posonsy= 2x+2x+2. On a alorsx−y= xx+22−2 ety2−2 = 2(x+2)x2−22. L’hypoth`esex2 <2 implique alorsy2<2 etx < y.
(ii) Pour toutx∈B, il existey∈Btel quey < x.
En effet,toujours avecy= 2x+2x+2, les ´egalit´esx−y= xx+22−2 ety2−2 = 2 x2−2
(x+2)2 avec l’hypoth`esex2 >2 impliquey2>2 etx > y.
(iii) Best l’ensemble des majorants deAdansQ.
En effet,il est clair que tout ´el´ement deBmajoreA. R´eciproquement, soitM un majorant deAdansQ.
D’une partM ∈Q+puisqueA⊂Q+, d’autre part il r´esulte de (i) queM /∈A. Donc, puiqueQ=A∪B, on a forc´ementM∈B.
Bilan: la partie AdeQ est non-vide, major´ee, et elle n’admet pas de plus petit majorant dansQ (d’apr`es les
points (ii) et (iii) ci-dessus). ut
Les cons´equences de cette propri´et´e sont ´evidemment tr`es importantes pour toute consid´eration de topologie ou d’analyse dansQ.
En effet, les propri´et´es de la valeur absolue dansQ vues en 2.5 permettent de consid´erer dans Qpar exemple les notions de suites convergentes ou de suite de Cauchy, mais, du fait de la d´efaillance de l’axiome de la borne sup´erieure, les propri´et´es obtenues vont ˆetre tr`es diff´erentes de celles connues sur les r´eels (suites croissantes et major´ees de rationnels ne convergeant pas dansQ, suites de Cauchy ne convergeant pas dansQ,...)
2. Qcomme sous-corps ordonn´e deR. Supposons maintenant connu le corps ordonn´eRdes nombres r´eels.
Il contientQcomme sous-corps ordonn´e, strictement. On peut caract´eriser les rationnels parmi les r´eels par la p´eriodicit´e de leur d´eveloppement d´ecimal (voir la le¸con sur les nombres d´ecimaux).
(i) Qest dense dans R.
Preuve. Soientxetydeux r´eels tels quex < y. Posonsε=y−x∈R∗+. Parce queRest archim´edien, il existe n∈N∗tel que nε >1, donc n1 < ε. En notantm= [nx] + 1, on am−1 = [nx]≤nx < m, d’o`u x <mn ≤x+n1 < x+ε=y. AinsiQ∩]x, y[6=∅, ce qui prouve le r´esultat voulu. ut
(ii) Qn’est pas complet.
Preuve. Consid´erons les deux suites de rationnels (un)n≥0et (vn)n≥0 d´efinies par:
un= 1 + 1 +12 +16+241 +· · ·+n!1 =
n
P
k=0 1
k! et vn=un+(n+1)!1 .
On v´erifie ais´ement que ces deux suites sont adjacentes. Par suite, elles convergent dansR, vers une limite commune equi v´erifie un < e < vn pour tout n ∈ N. Montrons que e est irrationnel. Par l’absurde, supposons quee= pq avecp, q∈N∗. En r´eduisant tous les termes de la sommeuq au mˆeme d´enominateur q!, on peut ´ecrireuq = q!a aveca∈N∗. L’encadrementuq< e < vq conduit alors `a: q!a < pq < q!a +q×q!1 Donc: a < p×(q−1)!< a+1q. On en tire en particulier: a < p×(q−1)!< a+ 1, ce qui est impossible puisquep×(q−1)! est entier.
On conclut que la suite de rationnels (un) ne converge pas dansQ(puisque sa limite dansRn’appartient pas `aQ), bien qu’elle soit ´evidemment de Cauchy (puisque convergeant dansR). ut
Universit´e Blaise Pascal, Pr´eparation au CAPES de Math´ematiques B. BrunetetF. Dumas Le¸con 6