Corollaire. — Le groupe Gjç est compact si et seulement si G est réductif et anisotrope sur k

Si Gjç est compact, alors tout À-sous-groupe connexe trigonalisable sur k est réduit à l'élément neutre, donc G est réductif, et, vu 8.5, anisotrope sur À. La réciproque est conséquence de l'implication (i)=>(ii) de 9.3.

§ 10. CLASSES DE CONJUGAISON FERMÉES ET CENTRALISATEURS DE TORES

10.0. Notations. — Soit V une variété algébrique. L'espace tangent à V en un point simple u sera noté T(V)y. Si /: V-^W est un morphisme de V dans-une variété algébrique, on notera df sa différentielle. Si yeV et f(v)==w sont des points simples, alors <y induit une application linéaire de T(V)^ dans T(W)^, qui sera désignée en général par df,.

10.1. Lemme. — Soient H un sous-groupe fermé de G et s un élément semi-simple de G normalisant H. Alors l'espace 3 (.!*') ni) des points fixes de Ad s dans l'algèbre de Lie I) de H est l'algèbre de Lie du groupe S(s)nît.

On peut évidemment supposer que G == GL^. On démontrera le lemme tout d'abord lorsque H = GL^. Pour cela on considère une décomposition de Bruhat de GL^, et l'on reprend les notations de 2.3, en supposant seT. Soit U~ le groupe unipotent engendré par les U^ (û<o). Alors {x, t , y ) V->x.t.y est une immersion ouverte de U " x T x U dans G, dont l'image sera notée V. Vu 2.3, la restriction de ïnts à U^, identifié à G^,

est la multiplication par a{s), donc la restriction de la différentielle Ad s de Int.y à l'algèbre de u^ de U^ est aussi la multiplication par a{s). Par conséquent ^(J)nV est engendré par T et par les groupes U^, où a parcourt les racines égales à un sur s, et

3(j)==t® S Ua, (t algèbre de Lie de T),

a[s)=l

donc 3 (.$•) est l'algèbre de Lie de ^(J).

Soit c^ l'application de G dans lui-même qui envoie g sur le commutateur (s, g).

Il est clair que (ûfcJg==Ad j — i , donc

m = I m ( ( ^ ) J = S u,,

a(s) + 1

(i) ai.-a-sM

9

^-Soit M==^(G). C'est la translatée par s d'une orbite de G, opérant sur lui-même par automorphismes intérieurs, donc M est une variété non singulière. D'autre part, une fois U^ identifié à G^, on a Cs{u)=Ça{s)—i).u (^eUJ, donc m fait partie de l'espace tangent en e à M. Mais J^.M est la classe de conjugaison de s~19, donc sa dimension est égale à celle de G/cf?^), c'est-à-dire à celle de m, vu ce qui a été démontré plus haut.

Il s'ensuit que m==T(M)g.

Soit maintenant H quelconque. Vu (i) et le fait que ^^H, on a (2) I ) = 3 ( J ) n I ) + m n t ) .

Notons aussi, en vue de 10.3, que la restriction de (ûfcs)g à m étant un isomorphisme, (3) mnl)=(û^),t).

L'espace tangent c à ^(^)nH en e est contenu dans 3(^)01) et l'espace tangent m' en e à ]VT=^(H) fait partie de mnl), car M ' c M n H . Comme Cg est un morphisme de H sur M' dont les fibres sont les classes à gauche  . ( ^ ( j ) n H ) (ÂeH), on doit avoir dim m' + dim c ==- dim t), d'où, vu (2),

(4) ^ S M⁰^ m'=mnl).

10.3. Théorème. — Soient g un élément de G, et ^{g) sa classe de conjugaison.

(i) Si g est semi-simple, et H un sous-groupe fermé de G normalisé par g, alors Vensemble Int^HÇ^) des conjugués de g par H est fermé. En particulier^ ^Çg) est fermé.

(ii) Si G est semi-simple et connexe, F'adhérence ^{g) de ^{g) contient la partie semi-simple gg de g; en particulier ^{g) rHest pas fermé lorsque g n''est pas semi-simple.

On désignera par C(X, X) et M{X, X) le polynôme caractéristique et le polynôme minimal d'une matrice carrée X, où À est une indéterminée.

(i) Int^H(^) est la classe de conjugaison de g dans le groupe algébrique engendré par H et le groupe ^[g) adhérent à g (qui normalise H). On peut donc supposer H = G.

On identifie G avec une de ses réalisations linéaires. Soit

L = = ^ e G | M ( ^ ) = o , C ( A d ^ À ) = = C ( A d ^ À ) } .

C'est un sous-ensemble algébrique de G, stable par automorphismes intérieurs. On considère L comme espace de transformations de G, opérant par automorphismes intérieurs. L'orbite de xeL est la classe de conjugaison de x dans G et sa dimension est par suite égale à celle de Çj\SK[x]. Or, si xeL, il annule le polynôme minimal de g, donc M (.y, X) divise M(^, X) et n'a que des facteurs simples. Par conséquent, x est aussi semi-simple, et 10.1 entraîne que dim S[x} est égale à la multiplicité de la valeur propre un de Ad x. Mais Ad x et Ad g ont même polynôme caractéristique, donc dim 2K(x}

est aussi égale à la multiplicité de la valeur propre un pour Ad g, et par conséquent (10. i) à dim 3£{^g). Les orbites de G dans L ont ainsi toutes la même dimension. Elles sont donc fermées [i, § 16].

(ii) Soit g==gs-gu ^a décomposition multiplicative de Jordan de g. On suppose k^=-~k et on reprend les notations de 2.3, en admettant que ^g^T, â^U. On peut trouver un groupe à un paramètre [L : G^->T tel que <^a>==m^ soit >o pour toute racine simple, donc pour toute racine positive. Notons u^ la composante de g^ dans U^, identifié à G^, et soit y le morphisme de variétés algébriques de G^ dans U qui applique x sur Int ^(A:)(^J. La composante dans U^ de 9^) est égale à x^.u^ (ae^). Comme les m^ sont >o, cela montre que <p est la restriction à G^ d'un morphisme de la droite affine qui applique l'origine sur l'élément neutre. Ce dernier fait donc partie de l'adhérence de ç(G^). Comme (Ji(G^) centralise g g , il s'ensuit que gg fait partie de l'adhé-rence de Int(^(GJ(^), donc de ^{g).

10.3. Proposition. — Soient H un sous-groupe fermé de G, s un élément semi-simple du normalisateur de H dans G, et F == 3£{s) r\ H. Alors l'application Cg : h [-> {s, h) est un morphisme séparable de H sur M==6:g(H), qui induit par passage au quotient un isomorphisme de H/F sur M.

Si H est connexe, et si H, s sont définis sur k, alors F° est défini sur k.

(Rappelons qu'un morphisme ^/:V->W de ^-variétés algébriques irréductibles qui est surjectif (ou génériquement surjectif, i.e. tel quey(V) contienne un ouvert non vide de W) est séparable si le corps A(V) des fonctions rationnelles sur V est une extension séparable de l'image de A(W) par le comorphisme f° associé à y. Il suffit pour cela que dfy : T(V)y -> T(W)^) soit surjectif lorsque v et f(w) sont des points simples. En effet, l'espace tangent en un point générique étant identifié à l'espace des dérivations du corps des fonctions rationnelles (voir [39], prop. 15, p. 12 et chap. IV, n° 6), cette condition signifie que toute dérivation de ./°(^(W)) sur k se prolonge en une dérivation de A(V) sur A:, donc que k(V) est une extension séparable def°(kÇW)) d'après un critère connu (voir Samuel-Zariski, Commutative Algebra, I, Van Nostrand, chap. II, th. 42).)

Il est immédiat que Cg[x)^=c^{y) (x^jyeïî) si et seulement si ^EJ/.F, donc ^ induit un morphisme bijectifde H/F sur M. Pour établir la première assertion, il suffit de faire voir que (ûfcg)^ : T(H)^ -> T(M)^ (m==c^(h)) est surjectif quel que soit ÂeH. Identifiant l'algèbre de Lie I) de H à T(H),, on a T(H)^=A.Ï), et

Àc,(h.X)==s.h.X.s-l.h-i—s.h,s-l.X,h-l (Xel)), ou encore dc,(h.X)==c,{h) .Ad s.h. (Ad j—i)(X),

733

d'où

(1) ^(T(H),)=^).Ad..A.(m), avec

(2) ^-(Ad.-i)^)^^)^!)).

Mais, vu 10.1, (s) et: (4), m==T(M),; donc {dc,\ est surjective.

Supposons maintenant H connexe. Soit F C H x M le graphe de l'application ^.

On a F n(îîx{e})=--îx{e} au point de vue ensembliste. Mais la surjectivité de de g entraîne que H x{e] et F se coupent transversalement; d'après le critère de multiplicité un

[39, VI, § 2, th. 6], on a alors

F=prH(Fx{.})=prH(r.(Hx{.})),

où le point désigne ici une intersection de cycles. Cela signifie que le cycle somme des composantes irréductibles de F, chacune affectée du coefficient i, est rationnel sur k.

Comme F° est stable par Gal(A:JA), c'est une composante rationnelle sur k de F. Étant irréductible, F° est alors aussi défini sur k [39, prop. i, p. 208].

10.4. Corollaire. — L'application 9 : h[->h.s.h~¹ induit un isomorphisme d'espaces homogènes de H/F sur Int^H^).

En effet, <p est le composé de ^g-i et de la translation à gauche par s.

10.5. Corollaire. — Supposons G connexe et soit S un k-tore de G. Alors ^f(S) est défini sur k.

Le groupe S'(S) est connexe [i, prop. 18.4] et A-fermé. Il reste à montrer qu'il est défini sur k,. On peut supposer que A==A^, donc que k est infini. D'après 1.10, il existe alors seSjç tel que ^(j-)==^(S), et notre assertion résulte de 10.3.

10.6. Proposition. — Supposons G connexe et soit f : G—^G' un k-morphisme séparable de G sur un k-groupe G'. Alors les tores maximaux définis sur k (resp. les tores déployés sur k maximaux) de G' sont les images par/des tores maximaux définis sur k (resp. des tores déployés sur k maximaux) de G.

On sait déjà que l'image d'un tore maximal de G est un tore maximal de G' [i, th. 22. i]. Soit T un tore maximal de G' défini sur k et soit ïî=f~l{^f)o. Ce groupe est défini sur k. En effet, d'après [22, prop. i] et [39, Chap. VIII, th. 4], le cycle /^(T), dont chaque composante est affectée du coefficient un, est rationnel sur k. Comme H est A-fermé, il est alors aussi défini sur k [39, chap. VIII, prop. i].

Le groupe H contient un tore maximal de G [i, loc. cit.} donc aussi (2.14) un tore maximal T de G défini sur k. Alors T==/(T).

Si S est un tore déployé sur k de G, alors/(S) est aussi déployé sur k (i .8). Pour terminer la démonstration, il suffit de prouver que si S est un tore déployé sur A; de G et si S' est un tore déployé sur k maximal de G' contenant/(S), alors S fait partie d'un tore S" déployé sur k tel que /(S'^S'.

Le centralisateur de S' est défini sur k (10.5)5 donc contient un tore maximal T' de G' défini sur k (2.14). Le groupe ïî=f~lCTf)Q considéré ci-dessus est défini sur k, contient S et est de rang maximum, donc (^(S) n H)° est défini sur k (10.5) et est de rang maximum. Vu 2.14, ce groupe contient par conséquent un tore maximal T de G défini sur k contenant S. On a alors S C T^, et f(T) =T', d'où aussi (1.8) ^(TJ =T^ = S'.

§ n. SOUS-GROUPES DE CARTAN DES GROUPES RÉSOLUBLES Ce paragraphe donne de nouvelles démonstrations de théorèmes d'existence et de conjugaison dans les groupes résolubles, dus à Rosenlicht [26] et Grothendieck [n].

Elles utilisent le lemme n . i, qui généralise et précise le lemme 9.6 de [i].

1 1 . 1 . Lemme. — Soit H un k-groupe et supposons que G soit un sous-groupe umpotent connexe de H. Soit s un élément semi-simple de ït^ normalisant G. Soient F le centralisateur de s dans G, c ^ l'application g\->{s,g) de G dans G et M=Cg(G). Alors M n F =={<?}; le groupe F est connexe, défini sur k\ M est une k-sous-variété irréductible fermée; l'application produit a : MxF-^G et la restriction de Cg à M sont des isomorphismes de variétés.

Remarquons tout d'abord que la restriction de Cg au centre S'(G) de G est un homomorphisme de S'(G) dans lui-même et que, plus généralement :

(i) c^x.y)=.c^).c^) (^EG,^(G)).

Soit v=={s,g)eF. Dans l'égalité g.s~1 .g~1 ==s~~1 .y, le membre de droite est produit d'un élément semi-simple et d'un élément unipotent commutant entre eux, tandis que le membre de gauche est semi-simple, d'où v==e, gef et MnF={^}.

M est le translaté par s de l'ensemble des conjugués par G de l'élément semi-simple s~1. C'est donc une sous-variété irréductible fermée (10.2), évidemment définie sur k.

Nous voulons montrer maintenant que (*) F est connexe et a est bijective.

Si d i m G = i , ou plus généralement si G est commutatif, (*) résulte de [i, lemme 9.6]. Nous procédons donc par récurrence sur dim G et supposons G non commu-tatif. Comme (*) est de nature géométrique, nous pouvons aussi admettre que k=k.

Soit V + { ^ } un sous-groupe fermé connexe du centre de G, stable par Int s. Soit n la projection du normalisateur N de V dans H, sur N^N/V. Le groupe G'=TI:(G) est connexe unipotent, s'=n{s) est semi-simple, normalise G', et l'on peut appliquer l'hypothèse d'induction à c ^ y G', M'=^(G') et F'^^71^). On a évidemment

^,o7r==7ro^, donc M^T^M) et 7r(F) CF'.

Soient g ' e F ' et g ^ ' ^ '1^ ) ' On a s.g.s~l==g.^ (-seV) et, compte tenu de l'hypothèse d'induction, on peut écrire

^=s.x.s~1 .x~l.y (.yeV, yeFnV),

d'où, en posant h=x-1 .g^g.x-\ régalité s.h.s-^h.y, qui montre que j/eMn F, donc que y==e, et que ÂeTr-^nF. Par conséquent, la restriction de n à F est un morphisme de F sur F', de noyau FnV. Comme F'et FnV sont connexes par hypothèse d'induction, F est aussi connexe.

Del'égalité G'^M'.F', on tire alors G = M . F . V ; mais V = ^ ( V ) . ( F n V ) d'où, vu (i)

G - ^ ( G ) . F . ^ ( V ) . ( F n V ) = ^ ( G ) . ^ ( V ) . F = = ^ ( G . V ) . F = M . F ,

ce qui montre que a est surjective. Il reste, à prouver que a est injective. Comme F est un groupe, cela revient à faire voir que si a, beM et a == b .f (/eF), alors f=e. On a Tc(a)=7r(é).7r(/), donc n{f)==e, et/eV. Maissi x.yeG sontteisque c,(x)==a, c,{y)=b, on tire immédiatement de l'égalité a==b./ et du fait que /eV est central que f== c,{y~1. x), d'où /eMnF et f=e, ce qui termine la démonstration de (*).

On a c,{x)=c, {y) (x,yeG) si et seulement si xey.î, ce qui, vu (*), montre que la restriction (î de c, à M est un A-morphisme bijectif de M sur M. On a déjà vu que a est aussi bijective. Comme les variétés G, M, F sont non singulières, donc normales, il suffit, pour terminer la démonstration du lemme (en vertu du Main Theorem de Zanski [17, chap. V, § 2]), de faire voir que a et ? sont birationnelles, donc que leurs différentielles sont bijectives sur les espaces tangents.

Soient 9, f les algèbres de Lie de G et F respectivement. D'après 10.3 (i), (2), on a

(2) ^(T(G),)=^).Ad^(m) (m==(Ad.-i)(9);^G),

(3) ^(T(G),)=T(ML (^.te)).

Montrons que T(M)^./et ^.T(F), sont linéairement indépendants quel que soit /eF.

Vu (2)3 cela équivaut à

m. Ad g{m) ./n m. f .f== {0}

donc à

(4) A d ^ ( m ) n f = { o } .

Le groupe Ad G est un sous-groupe unipotent connexe de GL(g), et Adgj est un élément semi-simple de GL(g) normalisant Ad G. On peut trouver une base (X,) (i.<^dim 9) de 9 formée de vecteurs propres de Ad^s par rapport à laquelle Ad G est représenté par des matrices triangulaires supérieures. Pour le voir, on raisonne par récurrence sur dim V.

Soit W l'espace des points fixes de Ad G et soit W un supplémentaire de W stable par j.

On a W+ o, donc on peut admettre que V/W possède une base (Y,.) ayant les propriétés requises. On prend pour (X,) une base formée de vecteurs propres de s dont les premiers engendrent W et dont les suivants sous-tendent W et s'appliquent sur les vecteurs Y par la projection canonique. Soit wem—{o}. On a donc w=S^..X, avec m^m^o si X,ef. Si j est le plus grand indice tel que w,.=ho, alors Adg{w)=myXy modulo une 736

combinaison linéaire de X i , , , . . , X ^ . Comme 7^.4=o,X^f, donc Adg{w)^^ ce qui prouve (4).

Pour des raisons de dimension, T(M)^./et m.T(F)f engendrent T(G)^y. Comme ils font évidemment partie de l'image de doi^^, il s'ensuit que û?a^ est bijectif.

Soit ^==c,{m.f)=c,{m). D'après (3), (0^ applique T(G)^ sur T(M),. Son noyau, qui contient w.T(F)y, doit donc être égal à w.T(F)y pour des raisons de dimension.

Mais m.T(¥)f n'a que zéro en commun avec T ( M) ^.f d'après ce qui a déjà été démontré, donc la restriction de de, à T(M)^./est injective, et â?(3(T(M)J==T(M)^.

iï.2. Proposition. — Supposons G connexe résoluble. Soit L un sous-groupe de G^ formé d⁾ éléments semi-simples. Alors ^o(L) est connexe', défini sur À, et L est contenu dans un tore maximal de G.

Le groupe L étant commutatif [i, Prop. 10.2], une récurrence immédiate permet de se ramener au cas où L est engendré par un élément x. Ce dernier fait partie d'un tore maximal T de G [i, Théorème 12.6], et G est le produit semi-direct de T par son radical unipotent G^ [i, Théorème 12.2]. Par suite, J2o(A:)==T. (^0(^)0 GJ. Comme

^(^nG^ est connexe (11.1), le groupe Sç,{x) l'est aussi. Il est alors défini sur k d'après 10.3.

Le lemme suivant est conséquence immédiate de quelques résultats de Rosenlicht.

1 1 . 3 . Lemme. — Supposons G connexe unipotent commutatif, et tel que Gp=[e} si la caractéristique p de k est non nulle. Soit T un k-tore qui opère k-morphiquement sur G, et n'a que V} élément neutre de G comme point fixe. Alors G est déployé sur k.

D'après [24, Prop. 1.2], G est À-isomorphe à un produit de groupes G^. Le groupe T étant décomposé sur kg (1.5), le lemme de la p. 109 de [26] (dans lequel on a GQ=={^}

vu notre hypothèse), montre que G est Àg-isomorphe à un produit de groupes G^. Ainsi, G est déployé sur Àg, donc sur k [26, Théorème 3].

1 1 . 4 . Théorème. — Soit G résoluble connexe. Alors G possède un sous-groupe de Cartan (resp. un tore maximal) défini sur k. Deux tels sous-groupes sont conjugués par un élément de (^ê^G)^.

Un sous-groupe de Cartan C possède un unique tore maximal T dont il est le centralisateur [i, § 20]. Si C (resp. T) est défini sur k, il en est de même de T (resp. C) d'après [23, Prop. 9] (resp. (10.3)). Pour prouver 11.4, on peut donc se borner à consi-dérer les sous-groupes de Cartan.

(i) Nous donnerons tout d'abord une démonstration, différente de celle de [n], de l'existence d'un A-sous-groupe de Cartan lorsque k est infini. (Si k est fini, nous renvoyons à [23, Note p. 45].) On procède par récurrence sur dim G.

Admettons tout d'abord que ^G possède un À-sous-groupe connexe propre N4={^} normal dans G, et soit n : G-^G'=G/N la projection canonique. Soit G' un À-sous-groupe de Gartan de G'. Comme ^G'^TC^G)^}, le groupe G' n'est pas niipotent, donc C'=t= G' et H^Ti"1^') est un À-sous-groupe connexe propre de G.

Il contient un sous-groupe de Cartan de G [i, Théor. 22.2], donc tout sous-groupe

de Gartan de H est un sous-groupe de Cartan de G; par l'hypothèse de récurrence, il en existe au moins un qui est défini sur A.

Si %700 G ne contient pas de sous-groupe N vérifiant les conditions ci-dessus, alors <^00 G est commutatif, et (î?°° G)^ ={e} lorsque la caractéristique p de k est non nulle. Montrons l'existence d'un élément semi-simple aeGj,, tel que S [a) n^G^-j^}.

Soit -K : G—>G^f==G|^<Ïï'^WG la projection canonique. Le quotient G' est un A-groupe niipotent, son unique tore maximal T est défini sur k [23, Prop. 9], et îi='^:~^lCT^f) est un A-groupe connexe. Il opère par automorphismes intérieurs sur ^G; comme ^G est commutatif, il opère trivialement sur lui-même, donc, par passage au quotient, G' opère A-morphiquement sur ^G [25, Prop. 2]. L'intersection de ^G avec le centralisateur d'un tore maximal de H est réduite à [e} [i, Théorème 13.4], donc le seul point fixe de T' dans ^G est l'élément neutre. Par suite, ^G est déployé sur k (11.3), et la fibration de G sur G' possède une section régulière s définie sur k [26, Theorem i].

Soit V l'ensemble des éléments de T' dont l'ensemble des points fixes dans ^G est différent de l'élément neutre. C'est la réunion d'un nombre fini de sous-groupes propres fermés, et l'on peut trouver xeTjç—V^; (1.10). Soit y==s{x). Si k est parfait, alors la partie semi-simple y g de y est rationnelle sur A, et -n:(jy^)=^x, doncj/g est l'élément cherché. Si p=^o, alors il existe une puissance q=pm de p telle que ^=yq soit semi-simple, et évidemment rationnel sur A. On a alors n(^)==71:(Jy)q=xq. Mais ^(->^ est une bijection de T" sur lui-même laissant stable tout sous-groupe; on a donc encore

^eT^—V^, d'où ^(^n^G^} ce qui établit notre assertion.

Le groupe 2£(a) est connexe, défini sur k (10.3) et contient un sous-groupe de Cartan G de G. On a G ^ G . ^ G et S'(a) n ^G^}, donc C==S'{a) est défini sur A.

(ii) Soient T un tore maximal de G défini sur k et g un élément semi-simple de G^, Nous voulons montrer l'existence de xeÇ^G)^ tel que x . g . x ' ^ - e T .

La projection TU : G—^G^G/^G induit un isomorphisme de T sur le A-tore maximal T' de G'. En effet, TT : T—T' est bijectif, 7r(T) est un tore maximal de G' [i, Théor. 22.2], TT : G—G' est séparable, et le noyau de dn : g->9' est l'algèbre de Lie de ^G; mais G est, en tant que variété, le produit de T par G^ [i, Théor. 12.2], donc dn induit un isomorphisme de t sur t', d'où notre assertion. Il existe donc un unique élément teT^ tel que n{t)=n{g). On a t~l=g~l.u, avec ue^G)^ Le théorème de conjugaison sur k des tores maximaux montre l'existence de veV^G tel que v.g-¹^-¹^!-¹, d'où

u={g,v)ec^G),

et i i . i entraîne l'existence de ^(^G)^; tel que u={g,x). On a alors

^l=g~l.g.x.g~l.x~l==x.g~l.x~l, d'où (ii).

738

(iii) Soient G, G' deux ^-sous-groupes de Cartan de G, et T, T'leurs tores maximaux respectifs. Supposons tout d'abord k infini. Vu 1.10, on peut trouver a'eT^ tel que

^{a')-=S[T)==C\ Vu (ii), il existe xe^G)^ tel que x.a1 .x~l=aeT. Évidemment, x . S [a') .A:"1^ S(ci). Ainsi, S [a) est un sous-groupe de Cartan contenant G, donc égal à G, d'où x.C'.x-^C.

Supposons maintenant k fini, ou plus généralement parfait, et soit V={xç⁽ë^wG\x.C.x-^l=.C^t}.

C'est un ensemble algébrique f i , 2.5] défini sur k puisque C et C' le sont (et k est parfait), non vide vu le théorème de conjugaison des sous-groupes de Cartan sur k, et qui est un espace homogène pour le groupe ti^^^T)^ ^G. Mais ^ç(T)==^ç(T)=== C [i, Prop. 10.2, Théor. 12.2], et 11.1 montre que H est connexe. Étant unipotent, H est alors déployé sur k [23, Cor. 2, p. 34], donc V possède un point rationnel sur k [22, Theor. 10].

1 1 . 5 . Corollaire. — Soient T un tore maximal défini sur k de G, S un k-tore de G et L un sous-groupe de Gjç formé d'éléments semi-simples. Alors S {resp. L) est conjugué à un sous-groupe

de T par un élément de (^G)^;, et le groupe ^/ÇL) adhérent à L [i, § 3] est défini sur k.

Les groupes ^(S) et ^(L) sont connexes et définis sur k d'après 10.5 et 11.2.

Soit T' un tore maximal de e2T(S) (resp. ^(L)) défini sur k, ce qui existe vu 11.4. Il contient S (resp. L) et est un tore maximal de G (11.2). La première assertion résulte donc de 11.4 appliqué à T et T\ Pour la deuxième, on peut par suite supposer L CT.

Alors J^(L) est un sous-groupe de T qui est /;-fermé, donc défini sur k (1.6).

Remarque. — Le théorème 11.4 pour les tores maximaux est dû à Rosenlicht [26, Theor. 4]. L'existence de ^-sous-groupes de Cartan définis sur k dans un ^-groupe algé-brique connexe quelconque a été démontrée par Grothendieck [i i, Exp. XII, Théor. i . i].

Dans [n, Exp. XIV, § 6] il est également montré que l'espace homogène G/C (G réso-luble connexe, C un sous-groupe de Cartan défini sur k) est ^-isomorphe à un espace affine; cela résulte ici du fait que ^G est déployé sur k [26, Théor. 4, Cor. 2] et de ce qu'un ^-espace homogène d'un groupe unipotent déployé sur k qui possède un point rationnel sur k est /;-isomorphe à un espace affine [i i, Exp. XIV, lemme 6.5]. Remarquons encore que si un tore maximal T de G défini sur k possède un point s rationnel sur k tel que ^(j>)=<^(T), ce qui est toujours le cas lorsque k est infini (1.10), alors la variété M=c^^wG)=={s.x.s~~^l.x~\ Çxe^G)} est ^-isomorphe à G/C. En effet, ^°°G est ^-isomorphe, en tant que variété, au produit (^)n ⁽ê'^œG)xM=={C n ^°°G)xM, d'après 11.1, donc la projection de G sur G/C est un isomorphisme de M sur G/G.

Nous terminons ce paragraphe par une application à des groupes non nécessairement résolubles.

11.6. Proposition. — Supposons que RJG°) soit déployé sur k. Alors les tores déployés sur k maximaux de G sont conjugués par des éléments de G\.

(Si k est parfait, l'hypothèse faite sur RJG°) est vérifiée d'elle-même [23, Cor. i, 2 à la Prop. 5], donc n . 6 généralise l'assertion de conjugaison de tores déployés faite dans 8.2.)

Pour la démonstration, on peut supposer G connexe. Soit TT la projection canonique de G sur G'=G/R^(G), et soient S, S' deux tores déployés sur k maximaux de G.

Vu 10.6, 7r(S) et TT^S') sont des tores déployés sur k maximaux de G', donc sont conjugués sur k (4.21). Comme R^(G) est déployé sur k, l'application n : Gj,->G^ est surjective;

il existe donc geG^ tel que °S CTT-^S'^S'.RJG), et l'on est ramené à 11.4.

§ 12. QUESTIONS DE RATIONALITÉ POUR LES REPRÉSENTATIONS LINÉAIRES

Dans ce paragraphe, la caractéristique de k est nulle, G est connexe, semi-simple, et G désigne le revêtement universel de G. On fixe un tore maximal T de G et un sous-groupe de Borel B de G contenant T, et on désigne par A l'ensemble correspondant des racines simples. On écrit T pour Gai (kjk).

Nous rappelons tout d'abord quelques propriétés classiques des représentations linéaires de G (voir [10, 14, 29, 31]).

12.1. Soit p : G-^GL(V) une représentation irréductible de G dans l'espace vectoriel V. Il existe dans V une et une seule droite Dp stable par B. L'orbite Cp de D par G sera appelée le cône de la représentation p. Les groupes de stabilité des droites de Gp forment une classe de conjugaison de sous-groupes paraboliques de G, notée Sft , la classe de sous-groupes paraboliques de p.

Soit V l'espace projectifdes droites de V, et Aut V le groupe des automorphismes de V\ La représentation p définit une représentation projective p' de G, i.e. un morphisme p' : G->Aut V, qui est irréductible, c'est-à-dire ne laisse invariant aucun sous-espace

Soit V l'espace projectifdes droites de V, et Aut V le groupe des automorphismes de V\ La représentation p définit une représentation projective p' de G, i.e. un morphisme p' : G->Aut V, qui est irréductible, c'est-à-dire ne laisse invariant aucun sous-espace

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