4.3 G´en´erateur de trajectoires
4.4.3 Convergence de la trajectoire
Le g´en´erateur de trajectoires doit fournir une trajectoire qui aboutit `a la position d´esir´ee du v´ehicule Follower en un temps fini. C’est `a dire que l’on doit garantir la for- mation g´eom´etrique en s’assurant que le v´ehicule Follower puisse atteindre sa position d´esir´ee par rapport au v´ehicule Leader.
Un virage, ou un demi-tour du v´ehicule Leader, est un exemple de trajectoire o`u le robot Follower peut ne pas converger vers sa position d´esir´ee. En effet, si la vitesse lin´eaire du robot Leader est plus faible que la vitesse maximale du robot Follower, la formation g´eom´etrique peut ˆetre garantie. Dans notre cas, les v´ehicules ´evoluent `a la mˆeme vitesse. La formation n’est alors plus garantie car la vitesse d´esir´ee du robot Follower peut ˆetre plus grande que sa vitesse nominale (Figure 4.11(a)). La trajectoire r´eelle diverge donc de la trajectoire d´esir´ee.
D´emonstration
Afin de d´emontrer la convergence du suivi de trajectoire, nous nous pla¸cons dans le cas d’une manoeuvre en r´egime permanent. Par exemple, si le v´ehicule Leader ex´ecute une manoeuvre telle qu’une trajectoire en cercle (Figure 4.11(b)), le v´ehicule Follower
(a) Virage lors de la trajectoire (b) Trajectoire en cercle
Fig. 4.11 – Convergence de la g´en´eration de trajectoire doit atteindre la position d´esir´ee suivante :
xdf oll = R d cos(ωdt) (4.13) yd f oll = R dsin(ωdt) (4.14)
Si, `a chaque temps tk, la trajectoire optimale est suppos´ee ˆetre une ligne droite entre
la position courante du robot Follower xf oll et sa position d´esir´ee xdf oll avec une vitesse
´egale `a la vitesse maximale, le mod`ele cin´ematique : ˙x = u cos ψ − v sin ψ ˙y = u sin ψ + v cos ψ avec, ψ = arctany d f oll− y xd f oll− x devient : ˙x = −u x − x d f oll q x − xd f oll 2 + y − yd f oll 2 + v y − y d f oll q x − xd f oll 2 + y − yd f oll 2 (4.15) ˙y = −u y − y d f oll q x − xd f oll 2 + y − yd f oll 2 − v x − x d f oll q x − xd f oll 2 + y − yd f oll 2 (4.16) Si nous consid´erons la fonction de Lyapunov V suivante :
V (x, y) = x2+ y2 ≥ 0, (4.17) Et sa d´eriv´ee par rapport au temps :
dV
dV dt = 2
x(−u(x − xd
f oll) + v(y − yf olld )) + y(−u(y − yf olld ) − v(x − xdf oll))
q x − xd f oll 2 + y − yd f oll 2 (4.18)
Notre but est de trouver une relation afin que la d´eriv´ee de V soit n´egative. De la relation pr´ec´edente, nous allons nous focaliser uniquement sur le num´erateur, ´etant donn´e que le d´enominateur est toujours positif.
Si nous factorisons le d´enominateur de l’´equation (4.18) par les vitesses lin´eaires u et v, cela donne :
−u[x(x − xdf oll) + y(y − y d f oll)] + v[x(y − y d f oll) − y(x − x d f oll)] ≤ 0 (4.19) Puis, −u[x2− xxdf oll+ y2− yy d f oll] + v[yx d f oll− xy d f oll] ≤ 0 (4.20)
Si, la trajectoire du robot Follower en r´egime permanent est une trajectoire circulaire donn´ee par :
xss(t) = Rsscos (ωsst + φ)
yss(t) = Rsssin (ωsst + φ) (4.21)
o`u, Rss, ωss et φ sont respectivement le rayon, la vitesse de rotation et la phase. En
incluant la position (4.21) dans l’´equation (4.20), on obtient, pour la partie de l’´equation factoris´ee par u :
R2ss− RssRd(cos (ωsst + φ) cos(ωdt) + sin (ωsst + φ) sin(ωdt)) (4.22)
−u.Rss[Rss− Rdcos(ωsst + φ − ωdt)] ≤ 0 (4.23)
Si le syst`eme converge vers une trajectoire stable et que ˙V = 0, et si les rayons Rss et
Rd sont constants, alors il est n´ecessaire que ω
ss = ωd. D’o`u :
−u.Rss[Rss− Rdcos(φ)] ≤ 0 (4.24)
En incluant, maintenant, la position (4.21) dans l’´equation (4.20), on obtient, pour la partie de l’´equation factoris´ee par v :
Rsssin (ωsst + φ) Rdcos(ωdt) − Rsscos(ωsst + φ)Rdsin(ωdt) (4.25)
Si on regroupe les 2 parties factoris´ees (4.24) et (4.26), on obtient :
−u.Rss[Rss− Rdcos(φ)] + v[RssRdsin(φ)] ≤ 0 (4.27)
Au final, nous avons :
v sin(φ) − u cos(φ) ≤ uRss
Rd (4.28)
Si, par hypoth`ese, nous consid´erons que la vitesse v est tr`es faible, nous avons alors : cos(φ) ≤ Rss
Rd (4.29)
L’´equation 4.29 ainsi que la figure 4.11(a) nous confirme la convergence de la tra- jectoire. Lors d’un demi-tour du v´ehicule Leader, le v´ehicule Follower ne cherchera pas forc´ement `a atteindre sa position d´esir´ee, parfois inatteignable jusqu’`a rompre la forma- tion. Il coupera au plus court par une trajectoire de rayon Rss. La condition est que le
rayon du cercle sur lequel se stabilisera le v´ehicule Follower est directement li´e `a la vitesse maximale du v´ehicule, car on doit avoir : ωss= ωd.
R´esultats de simulation
Les simulations suivantes sont r´ealis´ees avec une p´eriode d’´echantillonnage Tk = 1s et
pour le calcul de 120 trajectoires optimales. Les param`etres de simulations sont regroup´es dans le tableau (4.2) ; o`u vlead et Rlead repr´esentent respectivement la vitesse et le rayon
de la trajectoire du v´ehicule Leader, de mˆeme vf oll et Rf oll pour le v´ehicule Follower,
puis vdes et Rdes la vitesse et le rayon d´esir´es pour le v´ehicule Follower, enfin lij et γij la
distance et l’angle s´eparant les robots Leader et Follower.
Tab. 4.2 – R´ecapitulatif des param`etres de simulations Fig.(4.12) Fig.(4.13) Fig.(4.14) vlead (m/s) 1.5 1.2 1.2 Rlead (m) 10 10 10 vdes (m/s) 2.36 1.89 1.57 Rdes (m) 15.75 15.75 13.14 vf oll (m/s) 1.5 1.5 1.5 Rf oll (m) 10 12.5 12.5 lij (m) 7 7 4 γij (rd) π/4 π/4 π/4
Pour les figures (4.12(a)) et (4.12(b)), les v´ehicules Leader et Follower ont la mˆeme vitesse (1.5m/s). En rouge, la trajectoire du robot Leader, en vert les positions d´esir´ees du robot Follower. On peut remarquer que le robot Follower ne suit pas la trajectoire d´esir´ee afin de pouvoir r´ecup´erer son retard sur la position qu’il doit atteindre. La vitesse d´esir´ee du robot Follower est beaucoup plus ´elev´ee que sa vitesse maximale.
(a) Trajectoire finale (b) G´en´eration de trajectoires
Fig. 4.12 – Vitesse Leader vlead ´egale `a la vitesse Follower vf oll
Pour les figures (4.13(a)) et (4.13(b)), le v´ehicule Follower a une vitesse sup´erieure au v´ehicule Leader. On peut remarquer que le robot Follower ne suit pas la trajectoire d´esir´ee afin de pouvoir r´ecup´erer son retard sur la position qu’il doit atteindre. La vitesse d´esir´ee du robot Follower est plus ´elev´ee que sa vitesse maximale.
(a) Trajectoire finale (b) G´en´eration de trajectoires
Pour les figures (4.14(a)) et (4.14(b)), le v´ehicule Follower a une vitesse sup´erieure au v´ehicule Leader et nous avons diminu´e la distance s´eparant les deux robots. On peut remarquer, cette fois-ci, que le robot Follower suit la trajectoire d´esir´ee, la vitesse d´esir´ee est quasiment ´egale `a sa vitesse maximale.
(a) Trajectoire finale (b) G´en´eration de trajectoires
Fig. 4.14 – Vitesse Follower vf oll ´egale `a la vitesse d´esir´ee vdes