Convergence au sens de Cesaro

Considérons une suite {a_n} de nombres réels ou complexes et posons A_n= a₁+a₂+· · ·+a_n

n (n≥1).

Si la suite {a_n} est convergente de limite , alors la suite {A_n} est aussi convergente de même limite . En effet, la suite {a_n}, étant convergente, est bornée,

|a_n| ≤M.

En écrivant

A_n−= (a₁−) + (a₂−) +· · ·+ (a_n−)

n ,

nous obtenons, pour k≤n,

|A_n−| ≤ 2kM

n +|a_k+1−|+· · ·+|a_n−|

n .

Soit ε >0. Choisissons ktel que, si j≥k,

|a_j−| ≤ ε 2, puisN tel que ^2kM_N ≤ ^ε₂. Alors, si n≥N,

|A_n−| ≤ε.

Par contre la suite {A_n} peut converger sans que la suite {a_n} converge, par exemple sia_n= (−1)ⁿ. Si la suite{A_n}converge, on dit que la suite{a_n}converge au sens de Cesaro.

Nous allons étudier la convergence au sens de Cesaro de la série de Fourier d’une fonction f. La somme de Cesaro Σ_Nf(x)est définie par

Σ_Nf(x) = 1 N

N−1

n=0

S_nf(x).

Elle s’écrit aussi

Σ_Nf(x) = 1 N

N−1

n=0

ⁿ

k=−n

a_k(f)e_k(x)

= N k=−N

N − |k|

N a_k(f)e_k(x).

156

X.5. Convergence au sens de Cesaro Pour étudier la convergence des sommes de CesaroΣ_Nf(x)nous allons, comme dans la section précédente, utiliser une représentation intégrale :

Σ_Nf(x) = 1

La fonction F_N s’appellenoyau de Fejer.

LemmeX.5.1. Démonstration. Rappelons que (X.4.1) :

D_n(x) = sin^2π_T (n+¹₂)x sin_T^πx . La méthode de calcul est classique :

sin2π

Le résultat annoncé s’en déduit.

Th´eor`emeX.5.2(Th´eor`eme de Fejer). Soit f une fonction périodique de période T, intégrable sur tout intervalle borné.

(i)Sif admet enxune limite à droitef(x+)et une limite à gauchef(x−), la série de Fourier de f converge en x au sens de Cesaro vers ¹₂

f(x+) +f(x−) :

N→∞lim Σ_Nf(x) = f(x+) +f(x−)

2 .

(ii)Si f est continue en tout point, la série de Fourier def converge au sens de Cesaro en tout point vers f(x) et la convergence est uniforme.

157

Chapitre X. Séries de Fourier

Démonstration. Le noyau de Fejer possède les propriétés suivantes :

F_N(x)≥0, (1)

1 T

_T

0 F_N(x)dx= 1, (2)

F_N(x)≤ 1 T

1

sin_T^πη ², siη ≤t≤T

2, 0< η < T

2. (3)

(a) Nous pouvons écrire Σ_Nf(x) = 2

T ^T

2

0 F_N(y)f(x+y) +f(x−y)

2 dy.

La fonction g, définie sur [0,^T₂]par g(0) = f(x+) +f(x−)

2 ,

g(y) = f(x+y) +f(x−y)

2 , si 0< y ≤ T 2, est continue en 0. Soit ε >0. Il existe η >0 tel que, si 0≤y≤η,

|g(y)−g(0)| ≤ ε 2, et, puisque

Σ_Nf(x)−g(0) = 2 T

^T

2

0 F_N(y)

g(y)−g(0) dy, nous en déduisons que

|Σ_Nf(x)−g(0)| ≤ ε 2 + 1

N 1

sin_T^πη ^{2 T}

2

η

|g(y)−g(0)|dy

= ε 2 + 1

NC(η).

Si N >2^C(η)_ε , alors

|Σ_Nf(x)−g(0)| ≤ε.

(b) Si f est continue, elle est uniformément continue, et, pour ε >0 donné,η peut être choisi indépendemment de x. Cela démontre que Σ_Nf converge versf

uniformément.

158

Exercices

Remarquons que les sommes de Cesaro Σ_Nf sont des polynômes trigonométriques de période T. Nous pouvons donc déduire du théo-rème de Fejer la « version périodique » suivante du théothéo-rème de Stone-Weierstrass :

CorollaireX.5.3. Si f est une fonction continue périodique de période T il existe une suite de polynômes trigonométriques de période T qui converge uniformément vers f. ExerciceX.2. a) Montrer que, pour toutx∈R,

|sinx|= 2 b) Soitf une fonction intégrable surR. Montrer que

λ→∞lim

ExerciceX.3. Du développement en série entière ln(1 +z) =

Chapitre X. Séries de Fourier En déduire les développements

ln cosx

ExerciceX.4(Formule sommatoire de Poisson). Soit ϕ une fonction de l’espace de Schwartz S(R), et soit T >0. On pose

f(x) = ∞ k=−∞

ϕ(x−kT).

a) Montrer que cette série définit une fonctionf périodique de période T et de classeC^∞. oùϕˆdésigne la transformée de Fourier de ϕ.

c) Montrer que d) En considérant la fonction de Gauss

ϕ(x) = e^−πtx2 (t >0), montrer que la fonction θdéfinie par

θ(t) =

Exercices

ExerciceX.5. Soitf une fonction holomorphe dans le disque unitéDdeC. C’est la somme d’une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à 1 :

f(z) = ∞ n=0

a_nzⁿ.

On suppose que f est injective. On note Al’aire de l’image f(D) deD par f : A=λ₂

f(D) . Montrer que

A=

D

|f(z)|²dλ₂(z), et que

A=π ∞ n=1

n|a_n|². (Voir l’exercice 4 du chapitre V.)

161

XI

APPLICATIONS ET COMPLÉMENTS

Nous avons choisi sept questions qui constituent des compléments ou qui illus-trent les applications du calcul intégral à l’analyse et au calcul des probabilités.

XI.1. Polynômes orthogonaux

Soit w une fonction continue > 0 sur un intervalle X =]a, b[ telle que, pour

tout entier n≥0,

X

|x|ⁿw(x)dx <∞. Sur l’espaceL²

X, w(x)dx des fonctions mesurables sur X pour lesquelles

X

|f(x)|²w(x)dx <∞, on considère le produit scalaire

(f|g) =

X

f(x)g(x)w(x)dx.

Les polynômes appartiennent àL²

X, w(x)dx et définissent des éléments de l’espace de Hilbert H=L²

X, w(x)dx . Les monômes f_n(x) =xⁿ constituent un système libre de l’espace de HilbertH. Le procédé d’orthogonalisation de Schmidt permet de construire une suite de polynômes p_n deux à deux orthogonaux : si

m=n,

X

p_m(x)p_n(x)w(x)dx= 0.

Chapitre XI. Applications et compléments Pour cela on pose

p₀=f₀,

p₁=f₁+a⁰₁p₀,

p₂=f₂+a¹₂p₁+a⁰₂p₀, . . .

p_n=f_n+aⁿ⁻¹_n p_n−1+· · ·+a⁰_np₀, . . .

Les nombresa^k_n(k < n) sont déterminés de proche en proche par les conditions (p_n|p_k) = 0 (k < n).

Une question se pose : le système {f_n}est-il total dansH? Autrement dit, les polynômes constituent-ils un sous-espace dense de H? Si c’est le cas, le procédé d’orthogonalisation de Schmidt permet de construire une base hilbertienne de H (cf. III.3).

Si X=]a, b[est un intervalle borné, alors l’espaceC([a, b])des fonctions conti-nues sur[a, b]est dense dansHet il résulte du théorème de Weierstrass que l’espace des polynômes est dense dans H (cf. Albert (1997), chapitre III, proposition 9, p. 77, ou Avanissian (1996), chapitre 12, section 3).

Supposons X non borné. S’il existe un nombre α >0tel que

X

e^α|x|w(x)dx <∞,

alors l’espace des polynômes est dense dans H. Soit en effet une fonction f ∈ L²(X, w(x)dx) telle que, pour tout n≥0,

X

f(x)xⁿw(w)dx= 0.

Posons

F(z) =

X

f(x)e^−izxw(x)dx.

La fonction f(x)e¹2α|x| étant intégrable par rapport à la mesure w(x)dx, la fonction F est définie et holomorphe pour |z|< ¹₂α. De plus

F⁽ⁿ⁾(0) = (−i)ⁿ

X

f(x)xⁿw(x)dx= 0.

Par suite la transformée de Fourier de la fonction f w, qui est intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue, est nulle, donc f est nulle presque partout.

164

XI.1.Polynômes orthogonaux Soit{p_n}_n≥0une suite de polynômes orthogonaux, c’est-à-dire quedegp_n=n, et que, sim=n,

X

p_m(x)p_n(x)w(x)dx= 0.

Notons que le polynômep_nest orthogonal au sous-espace des polynômes de degré

< n. Posons

d_n=

X

p_n(x)²w(x)dx.

Si le sous-espace des polynômes est dense dansH, alors les fonctions ϕ_n(x) = 1

√d_np_n(x)

constituent une base hilbertienne de H. Si f est une fonction de L²

X, w(x)dx , on pose

a_n(f) =

X

f(x)p_n(x)w(x)dx.

Alors la série

∞ n=0

1

d_na_n(f)p_n(x)

converge versf en moyenne quadratique, c’est-à-dire que

n→∞lim

X

n k=0

1

d_na_n(f)p_n(x)−f(x)²w(x)dx= 0.

Exemples

a) Polynômes de Legendre.Considérons le produit scalaire (f|g) =

₁

−1

f(x)g(x)dx.

Dans ce cas X =]−1,1[, et w(x) = 1. En orthogonalisant la suite des monômes {f_n} suivant le procédé de Schmidt, on obtient une suite de polynômes p_n tels que p_n(x) =xⁿ+termes de degré < n, et

₁

−1p_m(x)p_n(x) dx= 0 sim=n.

Nous allons montrer que

p_n(x) = n!

(2n)!

d dx

_n

(x²−1)ⁿ.

165

Chapitre XI. Applications et compléments

Considérons la primitive F_n d’ordre nde p_n qui s’annule enx=−1ainsi que ses n−1 premières dérivées,

F_n⁽ⁿ⁾=p_n, F_n(−1) =F_n(−1) =· · ·=F_n⁽ⁿ⁻¹⁾(−1) = 0.

Pour n >0,

0 = (p_n|f₀) = ₁

−1p_n(x)dx=F_n⁽ⁿ⁻¹⁾(1)−F_n⁽ⁿ⁻¹⁾(−1),

donc F_n⁽ⁿ⁻¹⁾(1) = 0. En utilisant successivement l’orthogonalité de p_n à f₀, f₁, . . . , f_n−1, et par des intégrations par parties nous obtenons

F_n⁽ⁿ⁻¹⁾(1) =· · ·=F_n(1) =F_n(1) = 0.

Il en résulte que F_n est proportionnel au polynôme (x² −1)ⁿ. Pour établir la formule annoncée il suffit de noter que le coefficient dexⁿdans la dérivée n-ième de (x²−1)ⁿ est égal à ^(2n)!_n! .

Les polynômes de Legendre P_n sont définis par les conditions (1) P_n est de degren,

(2) ₁

−1P_m(x)P_n(x)dx= 0 si m=n, (3) P_n(1) = 1.

On déduit de ce qui précède que P_n(x) = 1

2ⁿn!

d dx

_n

(x²−1)ⁿ. Nous allons montrer que

d_n= ₁

−1|P_n(x)|²dx= 2 2n+ 1.

Posons G_n(x) = (x²−1)ⁿ. Par des intégrations par parties nous obtenons 2²ⁿ(n!)²

₁

−1|P_n(x)|²dx= ₁

−1

G⁽ⁿ⁾_n (x)G⁽ⁿ⁾_n (x)dx

=− ₁

−1G⁽ⁿ⁻¹⁾_n (x)G⁽ⁿ⁺¹⁾_n (x)dx

= (−1)ⁿ ₁

−1G_n(x)G⁽²ⁿ⁾_n (x)dx

= (−1)ⁿ(2n)!

₁

−1

(x−1)ⁿ(x+ 1)ⁿdx, 166

XI.1.Polynômes orthogonaux et, en effectuant à nouveau n intégrations par parties, nous obtenons le résultat annoncé. En conséquence les fonctions ϕ_n définies par

ϕ_n(x) =

2n+ 1 2 P_n(x), constituent une base hilbertienne de L²(]−1,1[).

Nous allons obtenir une représentation intégrale des polynômes de Legendre en utilisant la formule de Cauchy. Soient f une fonction holomorphe dans un ouvert U de C, Dun disque fermé contenu dans U etγ le bord orienté de D. Si z est intérieur àD, alors

f⁽ⁿ⁾(z) = n!

2iπ

γ

f(w) (w−z)ⁿ⁺¹dw.

Appliquons cette formule à la fonction f(z) = (z² −1)ⁿ. Soient x ∈]−1,1[, etγ le cercle de centrex et de rayon √

1−x² : w=x+#

1−x²e^iϕ (0≤ϕ≤2π).

Nous obtenons la formule intégrale de Laplace : P_n(x) = 1

2π _2π

0

x+ i#

1−x²sinϕ _n

dϕ.

On en déduit que, si−1≤x≤1,

|P_n(x)| ≤1.

b)Polynômes de Laguerre. Considérons le produit scalaire (f|g) =

_∞

0 f(x)g(x)e^−xdx.

IciX =]0,∞[, etw(x) = e^−x. Soit {p_n}le système orthogonal obtenu par ortho-gonalisation de la suite des monômes f_n. Par une démarche analogue à celle que nous avons suivie dans le cas des polynômes de Legendre, on montre que

p_n(x) = (−1)ⁿe^x d

dx _n

(xⁿe^−x).

Les polynômes de LaguerreL_n sont définis par L_n(x) = e^x

d dx

_n

(xⁿe^−x).

167

Chapitre XI. Applications et compléments

On montre que

d_n= _∞

0 |L_n(x)|²e^−xdx= (n!)². Ainsi les fonctions ϕ_n définies par

ϕ_n(x) = 1

n!L_n(x), constituent une base hilbertienne de L²(]0,∞[,e^−xdx).

c)Polynômes d’Hermite. Nous considérons maintenant le produit scalaire dé-fini par

(f|g) = _∞

−∞

f(x)g(x)e^−x2dx.

Cas où X = R, et w(x) = e^−x2. Dans ce cas, avec les mêmes notations que précedemment,

p_n(x) = (−1)ⁿ2⁻ⁿe^x2 d

dx _n

e^−x2. Les polynômes d’Hermite H_n sont définis par

H_n(x) = (−1)ⁿe^x2 d

dx _n

e^−x2, et on montre que

d_n= _∞

−∞|H_n(x)|²e^−x2dx= 2ⁿn!√ π.

Les fonctions ϕ_n définies par

ϕ_n(x) = 1

#2ⁿn!√

πH_n(x), constituent une base hilbertienne de L²(R,e^−x2dx).

Relation de récurrence. Soit {p_n} une suite de polynômes orthogonaux relative-ment à la mesure w(x)dx. On note a_n le coefficient de xⁿ dans le polynôme p_n, etb_n celui de xⁿ⁻¹ :

p_n(x) =a_nxⁿ+b_nxⁿ⁻¹+· · ·

PropositionXI.1.1. Les polynômesp_n vérifient la relation de récurrence suivante : pour n≥1,

xp_n(x) =α_np_n+1(x) +β_np_n(x) +γ_np_n−1(x), avec

α_n= a_n

a_n+1, β_n= b_n

a_n − b_n+1

a_n+1, γ_n= a_n−1 a_n

d_n d_n−1. 168

XI.1.Polynômes orthogonaux Démonstration. Le polynôme xp_n(x) est une combinaison linéaire des polynômes p₀, . . . , p_n+1 :

xp_n(x) =

n+1

k=0

c_nkp_k(x), et

c_nk = 1 d_k

X

xp_n(x)p_k(x)w(x)dx.

Les coefficients c_nk définis par cette intégrale pour n, k ≥ 0 vérifient d_kc_nk = d_nc_kn, et doncc_nk = 0 sik≤n−1. En identifiant les coefficients dexⁿ⁺¹ etxⁿ on obtient

a_n=α_na_n+1, b_n=α_nb_n+1+β_na_n, et de plus, puisque γ_n=c_n,n−1,α_n−1 =c_n−1,n,

d_n−1γ_n=d_nα_n−1.

Les relations annoncées s’en déduisent immédiatement.

Formule de Christoffel-Darboux. Remarquons que la somme partielle S_nf(x) =

n k=0

1

d_ka_k(f)p_k(x) s’écrit sous forme intégrale

S_nf(x) =

X

K_n(x, y)f(y)w(y)dy, avec

K_n(x, y) = n k=0

1

d_kp_k(x)p_k(y).

PropositionXI.1.2.

K_n(x, y) = α_n d_n

p_n+1(x)p_n(y)−p_n(x)p_n+1(y)

x−y .

Démonstration. De la relation de récurrence on déduit que 1

d_k(x−y)p_k(x)p_k(y) = α_k d_k

p_k+1(x)p_k(y)−p_k(x)p_k+1(y)

− α_k−1 d_k−1

p_k(x)p_k−1(y)−p_k−1(x)p_k(y) .

169

Chapitre XI. Applications et compléments

Par suite

(x−y)K_n(x, y) = α_n d_n

p_n+1(x)p_n(y)−p_n(x)p_n+1(y)

−α₀ d₀

p₁(x)p₀(y)−p₀(x)p₁(y) + 1

d₀(x−y)p₀(x)p₀(y).

La dernière ligne est nulle car p₀(x) =a₀,p₁(x)−p₁(y) =a₁(x−y), etα₀ = ^a_a⁰

1. Zéros des polynômes orthogonaux.

PropositionXI.1.3. Les zéros du polynômep_nsont réels, simples, et appartiennent à l’intervalle X =]a, b[.

Démonstration. Soient x₁, . . . x_r les zéros de p_n qui sont d’ordre impair et qui appartiennent à ]a, b[. Nous allons montrer que r=n. Nous pouvons écrire

p_n(x) = (x−x₁)· · ·(x−x_r)q(x),

oùqest un polynôme de degrén−rqui ne change pas de signe sur]a, b[. Sir < n,

alors

X

(x−x₁)· · ·(x−x_r)p_n(x)w(x)dx= 0,

ou

X

(x−x₁)²· · ·(x−x_r)²q(x)w(x)dx= 0,

d’où la contradiction.

Formules de quadrature de Gauss-Jacobi. Notons Pn l’espace des polynômes à coefficients réels de degré≤n. Soientx₁, . . . , x_nnnombres distincts de l’intervalle x=]a, b[. Puisque l’application

p→

p(x_k) (1≤k≤n),

est un isomorphisme de P_n−1 sur Rⁿ, il existe des constantesw₁, . . . , w_n uniques telles que, pour tout polynômep de P_n−1,

X

p(x)w(x)dx= n k=1

w_kp(x_k). (*)

Nous allons voir que, si nous choisissons pourx₁, . . . , x_nles zéros du polynômep_n, la formule (∗) est valable pour tout polynôme p de P_2n−1. Nous verrons de plus 170

XI.1.Polynômes orthogonaux qu’alors, les nombres w₁, . . . , w_n sont positifs. (Ils sont parfois appelés nombres de Christoffel.)

Le polynôme q est aussi le reste de la division euclidienne de ppar p_n : p(x) =p_n(x)h(x) +q(x),

Nous avons ainsi établi le résultat annoncé, et w_k=

X

L_k(x)w(x)dx.

En appliquant la relation (∗) au polynôme p(x) = L_k(x)² qui est de degré 2n−2, nous obtenons

w_k=

X

L_k(x)²w(x)dx >0, et aussi, en l’appliquant au polynôme p(x) =L_k(x),

w_k= 1

On peut évaluer cette intégrale en utilisant la formule de Christoffel-Darboux. En effet, pour tout y,

1 =

Chapitre XI. Applications et compléments

D’autre part,

K_n−1(x, x_k) = α_n−1 d_n−1

p_n(x)p_n−1(x_k) (x−x_k) , et

K_n−1(x_j, x_k) = _α

n−1

dn−1p(x_k)p_n−1(x_k), si j=k,

0, si j=k.

Ainsi, en prenant y=x_k, nous obtenons w_k= d_n−1

α_n−1

1

p_n−1(x_k)p_n(x_k) = 1 K_n−1(x_k, x_k). Exemple.

Reprenons l’exemple des polynômes de Legendre. Pour n= 3, P₃(x) = 1

2(5x³−3x),

−x₁ =x₃ = 3

5, x₂= 0, w₁ =w₃ = 5

9, w₂ = 8 9. Pour n= 4,

P₄(x) = 1

8(35x⁴−30x²+ 3),

−x₁ =x₄= 0,861 136 3, −x₂=x₃ = 0,339 981 0, w₁=w₄ = 0,347 854 8, w₂ =w₃= 0,652 145 2.

Application au calcul approché des intégrales. Supposons−∞< a < b <∞.

Th´eor`emeXI.1.4(Th´eor`eme de Markoff). Soit f une fonction de classe C²ⁿ sur [a, b]. Alors

X

f(x)w(x)dx= n k=1

w_kf(x_k) +R_n(f), avec

|R(f)| ≤ M (2n)!

d_n a²_n, où

M = sup|f⁽²ⁿ⁾(x)|. 172

XI.2. Équation de la chaleur

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