convolution with the
10.4 Conventional hardware for time-domain evaluation of correlation
Para realizar a an´alise da eficiˆencia do teletransporte faremos uso da fide- lidade, eq. (2.37), usando como estados de entrada estados coerentes, eq. (2.65), e como
52 TELETRANSPORTE QU ˆANTICO EM VARI ´AVEIS CONT´INUAS 3.2
canal um estado de v´acuo comprimido de dois modos, eq. (2.28), de modo que a fidelidade pode ser escrita como
F (|αi, ˆρout) = exp −f1(θ,gv) f2(θ,gv)Im [α] 2 − f1(θ+ π 2,gu) f2(θ−π2,gu)Re [α] 2 q f2(θ, gv) f2 θ − π2, gu , (3.12) onde f1(θ, gv) = (1 − gvsin (θ))2, (3.13) f2(θ, gv) =
2 + g2v cosh2(r) + gv2cos (2θ) sinh2(r)
−2gvcos (θ) sinh (2r)] /2. (3.14)
A equa¸c˜ao (3.12), depende dos parˆametros livres θ, gv, gu e do estado |αi. Para que a
fidelidade fique independente do estado devemos ter f1(θ, gv) = f1(θ + π/2, gu) = 0. A
solu¸c˜ao que satisfaz essa equa¸c˜ao ´e dada por gv = csc (θ) e gu = sec (θ). Retornando esses
valores na equa¸c˜ao (3.12) e maximizando-a em rela¸c˜ao a θ, obtemos θ = π/4 e consequen- temente gv = gu =
√
2 como parˆametros ´otimos, de modo que a fidelidade ´otima para essa configura¸c˜ao ser´a F (|αi, ˆρout) = 1/(1 + e−2r). Essa configura¸c˜ao de parˆametros e essa
fidelidade s˜ao as mesmas do PTVC original (Braunstein and Kimble, 1998). No entanto, a maximiza¸c˜ao n˜ao ´e feita levando em conta qual estado coerente e teletransportado |αi, ou em qual regi˜ao do plano ele se encontra ou a rela¸c˜ao do teletransporte com os parˆametros de intera¸c˜ao (θ, gv, gu) . O que faremos a seguir ´e realizar duas modifica¸c˜oes simples no
protocolo original e analisar suas consequˆencias ao supor que conhecemos |αi.
A primeira modifica¸c˜ao consiste em assumir que gv = gu = g, com g esco-
lhido de tal forma a se obter a melhor fidelidade poss´ıvel (Braunstein et al., 2001; Ide et al., 2002; van Loock and Braunstein, 1999), mantendo a transmitˆancia do divisor de feixes usada no PTVC original. Obviamente a fidelidade maximizada ficar´a em fun¸c˜ao do estado |αi e nosso intuito ´e verificar se h´a um estado (ou conjunto de estados) onde o ganho na fidelidade ´e significativo em rela¸c˜ao a PTVC original, para um parˆametro g escolhido. Nessa mesma linha aplicaremos nossa segunda modifica¸c˜ao, que consiste em maximizar a fidelidade, eq. (3.12), em fun¸c˜ao dos trˆes parˆametros livres , gv, gu e θ.
Implementando a primeira estrat´egia, ou seja, fixando-se a transmitˆancia do DF em cos(θ) = 1/2 e gv = gu = g, calculamos a fidelidade ´otima F (|αi, ˆρout) supondo
r = 0.5. Os resultados s˜ao mostrados na figura 3.2, onde o gr´afico da esquerda mostra a fidelidade ´otima e o da direita a parˆametro g ´otimo. Claramente podemos ver que a fidelidade ´otima e o parˆametro g ´otimo possuem uma simetria radial, o que significa que todo estado coerente com a mesma amplitude |α| possui a mesma fidelidade ´otima com o mesmo g. Al´em disso a fidelidade tem seu valor m´aximo, F (|αi, ˆρout) = 1, no estado de
3.2 RESULTADOS 53
´
otima e o parˆametro g ´otimo tendem aos valores do PTVC original.
Figura 3.2: Esquerda: Fidelidade F(|αi) em fun¸c˜ao dos valores reais e imagin´arios do estado coerente |αi, com θ = π/4, r = 0.5, e o parˆametro livre gv = gu = g escolhido de tal forma
a otimizar a fidelidade para cada |αi. Direita: g em fun¸c˜ao dos valores reais e imagin´arios do estado coerente, que levam `a fidelidade ´otima do gr´afico `a esquerda.
NEDT Fidelidade FHÈΑ>,gL
NEDT Fidelidade FHÈΑ>,Θ,gv,guL
Fidelidade PTVC Original Forig
-20 -10 0 10 20 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Α Fidelidade
Figura 3.3: No que se segue todas as fidelidades foram calculadas supondo um parˆametro de compress˜ao r = 0.5 para o canal. A curva inferior vermelha/s´olida d´a a fidelidade em fun¸c˜ao de |α| para θ = π/4 e gv = gu = g, onde g ´e o parˆametro que leva `a fidelidade ´otima para estados
na borda do c´ırculo de raio |α| = 3, delimitado pelas retas verticais. A curva superior azul/s´olida ´e a fidelidade para os estados |αi que se encontram tanto sobre os eixos real ou imagin´ario. O trio de parˆametros θ, gv, e gu s˜ao fixos e agora escolhidos de modo a dar a fidelidade ´otima para
os estados nos pontos extremos da reta real/imagin´aria centrada na origem e com comprimento 2|α|, com |α| = 3. Podemos observar que para a segunda estrat´egia (curva superior azul/s´olida) as fidelidades para todos os estados dentro das linhas reais/imaginarias s˜ao sempre maiores do que os previstos pelo PTVC original (curva preta segmentada) e das dadas pela primeira estrat´egia (curva vermelha/s´olida).
54 TELETRANSPORTE QU ˆANTICO EM VARI ´AVEIS CONT´INUAS 3.2
Um ponto interessante que devemos mencionar ´e que ao fixarmos θ = π/4 e gv = gu = g e maximizarmos a fidelidade para um estado, todos os estados dentro de um
c´ırculo de raio igual ao m´odulo desse estado ter˜ao fidelidades maiores ou iguais `a fidelidade do PTVC original. Isso ilustra perfeitamente a figura de m´erito mencionada anteriormente: “nenhum estado ´e deixado para tr´as”(NEDT). A figura 3.3 mostra a condi¸c˜ao NEDT, onde maximizamos a fidelidade para o estado |α| = 3 (linhas verdes tracejadas) e usamos o parˆametro g dessa maximiza¸c˜ao para calcular a fidelidade de todos os estados sobre a reta real (curva vermelha). Vemos que para todos os estados dentro do c´ırculo de raio |α| = 3 (retas verdes tracejadas) a fidelidade ´e maior que a fidelidade do PTVC original (reta preta tracejada). Realizamos o c´alculo para os estados sobre a reta real, Im[α] = 0, mas o c´alculo pode ser feito para qualquer estado dentro do c´ırculo, mostrando que a condi¸c˜ao NEDT ´e respeitada.
Podemos agora analisar nossa segunda estrat´egia, ou seja, vamos deixar os parˆametros gv, gu e θ serem escolhidos de forma independente, de modo a maximizar a
fidelidade. Devido a dificuldade de se realizar a maximiza¸c˜ao de forma anal´ıtica, devemos ent˜ao utilizar m´etodos num´ericos para realizar a maximiza¸c˜ao. O resultado dessa maxi- miza¸c˜ao ´e mostrado na figura 3.4, com a fidelidade ´otima F (|αi, ˆρout) (representada na
figura por F ) como uma fun¸c˜ao de |αi. Os parˆametros θ, gv e gu que maximizam essa
fidelidade s˜ao mostrados na figura 3.5, tamb´em como fun¸c˜ao de |αi.
Figura 3.4: Os gr´aficos mostram a fidelidade ´otima F (|αi) em fun¸c˜ao das partes real e ima- gin´aria do estado coerente |αi para canais com compress˜ao (a) r = 0, (b) r = 0.5, e (c) r = 1 (da esquerda para a direita). Os parˆametros gv, gu, e θ s˜ao escolhidos de forma a otimizar F(|αi)
para cada estado |αi. Mostramos a fidelidade ´otima, F (|αi), em gr´aficos 3D (em cima) com seus respectivos gr´aficos de densidade (em baixo). Os planos logo abaixo dos gr´aficos em 3D s˜ao da fidelidade prevista pelo PTVC original.
A primeira coisa que notamos ´e a perda da simetria radial quando os parˆametros s˜ao modificados independentemente no c´alculo da fidelidade ´otima. Al´em disso, podemos observar que para os estados ao longo do eixo real e imagin´ario temos um aumento muito significativo na fidelidade do estado teletransportado. Ao nos mover- mos para e sobre os eixos diagonais a fidelidade ´otima tende ao valores dado pelo PTVC
3.2 RESULTADOS 55 0 0.5 1.0 1.5 0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25
Figura 3.5: Da esquerda para a direta temos os gr´aficos de densidade dos parˆametros ´otimos θ, gv, e gu resultando nas fidelidades ´otimas mostradas na figura 3.4. O eixo z representa o
parˆametro de compress˜ao r, que aumenta de baixo para cima (r = 0, 0.5, e 1.0).
original. Isso n˜ao acontece, por´em, nos eixos real e imagin´ario. Para estados sobre esses eixos, ao nos afastarmos do estado de v´acuo a fidelidade ´otima se estabiliza em um valor acima da fidelidade do PTVC original. A medida que aumentamos r todos os valores da fidelidade ´otima, incluindo a dos estados sobre os eixos real e imagin´ario, tendem ao valo- res da fidelidade do PTVC original (figura 3.4 (c)). Esse comportamento tamb´em ´e visto para os parˆametros θ, gv e gu. Ao aumentarmos r esses parˆametros tendem aos parˆametros
usados no PTVC original.