Contributions de cette thèse

Nous listons ci-dessous les contributions principales de cette thèse :

• Théorème 4.1.2, et son extension Théorème 4.2.2. Tout problème de la classe des programmes de packing semi-définis où la matrice dans la fonction objectif est de rang r a une solution de rang inférieur ou égal à r. Nous discutons les extensions et conséquences de ce résultat. Ce théorème sera utilisé plusieurs fois au Chapitre 5. • Théorème 5.1.1 : Extension du théorème d’Elfving au cadre multiréponses ( Nous avons

présenté ce résultat à la conférence [SBG09]. Il a été découvert de façon indépendante par Dette et Holland-Letz [DHL09]).

• Théorème 5.2.1 : Formulation SOCP du problème de plan c−optimal. Nous donnons une interprétation géométrique de ce résultat.

• Extension du résultat précédent au critère de A−optimalité (Théorème 5.2.2), et au cas où le plan d’expériences est soumis à plusieurs contraintes linéaires (Théo- rème 5.2.3).

• Théorème 5.2.5 : Formulation SOCP du problème de plan T −optimal pour un sous- système de paramètres KT_θ.

• Théorème 5.3.1 : Formulation sous forme d’un programme géométrique du problème robuste de Sβ−optimalité. Les conditions d’optimalité de ce problème généralisent un résultat de Dette [Det93] au cadre multiréponses (Théorème 5.3.2).

• Un corollaire du résultat précédent est un SOCP pour le problème de plan D−optimal (cf. Equation 5.25).

• Tests numériques et comparaisons avec d’autres algorithmes (Chapitre 6), montrant l’efficacité de l’approche par SOCP lorsque le nombre r de fonctions linéaires des paramètres à estimer est petit (en particulier pour les plans c−optimaux où r = 1). • Théorème 7.2.1 : Réduction du problème combinatoire de plans d’expériences de rang

maximal à MAXCOVERAGE. En conséquence, si l’on admet P _{6= NP , il n’existe pas} d’algorithme polynomial qui approche le plan de rang maximal par un facteur plus grand que 1 − e−1_.

• Proposition 7.2.4 : Si f′ _{est operateur antitone sur R}∗

+, alors pour tout triplet

(X, Y, Z)_{∈ S}+

m

trace f (X + Y + Z) + trace f (Z)_{≤ trace f(X + Z) + trace f(Y + Z).} • Corollaire 7.2.6 : Le critère Φp de Kiefer (vu comme une fonction ensembliste) est

• Théorème 7.2.7 : En conséquence, l’algorithme glouton retourne toujours une solu- tion approchant par un facteur d’au moins 1 − e−1 _{l’optimum du problème de plan}

Φp−optimal (pour p ∈ [0, 1]). Des extensions possibles de ce théorème sont présen-

tées.

• Proposition 7.3.4 (cf. également Théorème 2.4.7) : Généralisation des bornes supé- rieures pour les poids D−optimaux au cadre multiréponses (découvert indépendem- ment par Harman et Trnovská [HT09] pour le cas de l’estimation du vecteur complet des paramètres θ, i.e. quand K = I).

• Théorème 7.3.7 : Si l’on doit choisir n expériences parmi s, nous donnons deux al- gorithmes d’arrondi randomisé qui retournent une solution approchant l’optimum du problème de plan de rang maximal par un facteur n/s (en moyenne).

• Nous montrons des instances pour lesquelles le ratio d’approximation des algorithmes randomisés précédents est n/(s − 1) (cf. Remarque 7.3.2).

• Proposition 9.5.7 : Pour le problème de projection entropique avec contraintes linéaires sur un réseau, l’algorithme de point fixe naturel est contractant si et seulement si toutes les paires OD sont de longueurs inférieures ou égales à 2. (Résultat obtenu pendant un stage antérieur à cette thèse.)

• Formulation de type plan d’expériences pour le problème du déploiement optimal de Netflow, et le problème de l’échantillonnage optimal de Netflow (cf. Section 10.2). • Proposition d’une nouvelle méthode (baptisée Plans c−Optimaux Successifs, PCOS)

basée sur le calcul de plusieurs plans c−optimaux pour traiter les problèmes de grande taille en conception d’expériences (cf. Section 10.4.1). Ebauche d’une justification heuristique de notre approche (Sections 10.4.2 et 10.4.3).

• Validation de notre approche par des tests utilisant des données réelles (cf. Sec- tion 10.5).

• Mise en évidence de la structure de petit rang des matrices de trafic origine-destination. Proposition d’un modèle signal + bruit, et analyse préliminaire du bruit par des outils de la théorie des matrices aléatoires (cf. Section 11.1).

• Mise en évidence de la structure de petit rang des tenseurs de trafic tridimensionels (origines × destinations × temps). Esquisse d’une méthode reposant sur les tenseurs pour estimer les matrices de trafic en ligne (cf. Section 11.2.3).

Introduction (in English)

This chapter briefly presents our motivation and the scientific path which has led to this thesis. At the end of this chapter, we draw a detailed outline and list the contributions of this thesis.

1.3 Optimal design of experiments and Network measurements

Internet Service Providers (ISP) wish to have a good knowledge about the traffic which transit through their networks, for many traffic engineering and network planning tasks. An essential part of the required information is the traffic matrix, which contains the volumes of traffic for each origin-destination pair of the network during a given period of time, i.e. the number of bytes that has travelled from any entry node to any exit node. The importance of the networking operations relying on the traffic matrix is increasing as the traffic grows in volume and becomes more complex, but in practice, obtaining accurate estimations of the demands of traffic is a challenging issue. Contrarily to what intuition may suggest, network measurements are: (i) often not available everywhere; (ii) expensive; (iii) likely to affect the quality of service. It is thus a crucial issue to decide where network measurements should be performed, as well as their sampling rates.

We approach the problem of optimizing the network measurements by using the theory of optimal experimental designs2

. This theory studies indeed how to allocate the experimental effort to a set of available experiments, in order to maximize the quality of estimation of an unknown parameter. Thinking of each potential location of the measuring software as an experiment, and the traffic matrix as the unknown parameter, one obtains a nice optimal experimental design formulation of our telecommunications problem. However, the classic optimal experimental design algorithms are intractable on large scale networks, because very large matrices are involved.

This observation motivated us to search for scalable algorithms in optimal experimental design. We developed an approach relying on Second Order Cone Programming (SOCP), a class of mathematical optimization problems which generalizes Linear Programs (LP), and which can be solved by interior-point methods in a much shorter time than Semidefinite

2. or theory of optimal experiments

Programs (SDP) of the same size. This approach turns out to be very efficient for problems in which a small number of linear functions of the unknown parameter must be inferred.

In fact, our approach can not be directly applied to the initial telecommunications prob- lem. The reason is that the ISP usually wishes to estimate the whole traffic matrix (while our SOCP approach is best-suited for the estimation of a linear combination of the volumes of traffic). To overcome this problem, we have proposed a new method which rely on the computation of several c−optimal designs, and can be efficiently implemented by solving a sequence of SOCP.

Another issue arising from the industrial problem is the combinatorial aspect: when an ISP wishes to upgrade a set of routers of the network, so that they can support the measuring device, the natural formulation is an integer optimal design problem. This problem is mainly handled by heuristic approaches in the literature, which motivated our work on the submodularity of the experimental design information criteria. This approach led to polynomial-time approximability bounds for some NP-hard optimization problems.