Contribution de la th` ese

ν

tend vers z´ero avec le nombre de Rossby et la viscosit´e

verticale ν

est nulle

Premier cas : La donn´ee initiale est purement tridimensionnelle

Dans la premi`ere partie du chapitre 3 de cette th`ese, pour α > 0, on consid`ere le syst`eme suivant

(N SC_ε)        ∂_tu−ε^α∆_hu+u∇u+^u∧e3 ε ⁼ −∇p, divu = 0 u(0) = u₀.

Tout d’abord, on remarque que le th´eor`eme 2.1.1 s’applique bien dans notre cas quandε

est fix´e, et donne l’existence d’une unique solution forte locale, d´efinie sur un intervalle de temps qui d´epend de ε. On s’int´eresse donc `a l’existence globale de cette solution quand

ε est petit.

Observons que dans tous les r´esultats mentionn´es ci-dessus, la viscosit´e horizontale est toujours fix´ee (tandis que la viscosit´e verticale peut ˆetre positive ou nulle). Dans ce cas, la rotation rapide implique l’existence de solutions fortes globales. Par contre, pour le syst`eme d’Euler en rotation rapide (sans le terme visqueux −ν∆), la rotation rapide n’implique que l’existence sur des intervalles de temps arbitrairement longs. C’est ce qu’ont d´emontr´e Babin, Mahalov et Nicolaenko [1] et [4], dans le cas de_T³ et Dutrifoy [42] dans le cas de_R3. Donc la viscosit´e joue un rˆole important dans l’´etude des fluides en rotation rapide. La question se pose alors de savoir quel est l’ordre de grandeur suffisant pour pouvoir toujours d´emontrer l’existence globale de la solution quand la rotation est rapide ?

Chapitre 2. Historique des r´esultats et Contributions de la th`ese

Supposons maintenant que la viscosit´e horizontale ne soit plus fix´ee mais d´epende du nombre de Rossbyε : ν_h = ε^α avec α > 0. Une premi`ere difficult´e surgit quand on veut ´etablir un r´esultat de dispersion du type (2.1) dans le th´eor`eme 2.1.2. Les quantit´es C_r,R

ne peuvent plus ˆetre constantes, mais devraient a priori d´ependre de ε, c’est-`a-dire C_r,R

pourrait tendre vers l’infini quand ε tend vers z´ero. En outre, l’effet r´egularisant donn´e par la viscosit´e horizontale est tr`es faible (de l’ordre de εα) quand le nombre de Rossby ε

tend vers z´ero. Cela entraˆıne de grandes difficult´es quand on veut utiliser les estimations d’´energie pour montrer l’existence de solutions fortes globales. Dans le chapitre 3 de cette th`ese, on montre une estimation du type (2.1) pour le cas o`u la viscosit´e horizontale est de taille εα, en explicitant les relations entre C_r,R et r, R et ε. Ensuite, on utilise un argument de type “bootstrap” en ajustant les param`etres r etR pour pouvoir compenser le faible effet r´egularisant donn´e par la petite viscosit´e horizontale. Plus pr´ecis´ement, on d´ecompose le syst`eme (N SC_ε) en deux syst`emes : le syst`eme lin´eaire

(LN SC_ε)        ∂_tu−ε^α∆_hu+^u∧e₃ ε ⁼−∇p div u= 0 u|t=0 =u0,

et le syst`eme non-lin´eaire coupl´e

(N N SCε)        ∂_tv−ε^α∆_hv+v.∇v+u.∇v+v.∇u+^v ∧e₃ ε ⁼−∇p−u.∇u divv = 0 v|t=0 =v0 =u0−u0,

o`u u0 est une troncature en fr´equences de u0 dans le domaines

Cr,R =ξ∈_R³ | |ξh| ≥r;|ξ3| ≥r et |ξ| ≤R .

La premi`ere ´etape consiste `a ´etablir des estimations de Strichartz pour le syst`eme lin´eaire (LN SC<sub>ε</sub>). En exploitant l’id´ee de J.-Y. Chemin, B. Desjardins, I. Gallagher et E. Grenier dans [26], on montrera le th´eor`eme suivant

Th´eor`eme 2.1.6 (Estimations de Strichartz) Soient p≥1 etr =R<sup>−</sup>β avec β ≥ 1. Supposons que la donn´ee u<sub>0</sub> de (LN SC<sub>ε</sub>) appartient `a L²(_R³) et que le support de sa transform´ee de Fourier est localis´e dans C_r,R. Alors la solution u de (LN SC_ε) satisfait

kuk_Lp((0,+∞),L^∞_hL2

v) ≤CR^1+pp^+3βε¹⁻4p^3αku0k_L2.

Ensuite, si on veut utiliser un argument de type “bootstrap” pour d´emontrer l’existence de solutions fortes globales de (N SC_ε) dansH^0,s(_R³), s > ¹₂, on a besoin de contrˆoler de mani`ere pr´ecise la norme de v₀ par la norme de u₀ dans H0,s(_R3). Donc, on ne peut plus choisir u₀ seulement dans H0,s(_R3) mais il faut prendre u₀ dans un espace plus r´egulier. Pour touts > ¹₂, η >0 et 1≤p <2, on introduit l’espace

Y_s,η,p = L²_hL^p_v(_R³)∩L^p_hH^s_v(_R³)∩H^η,s+η(_R³) = ⁿu∈ S0 :kuk_Y s,η,p = supⁿkuk_L2 hL^pv,kuk_Lp hHs v,kuk_Hη,s+η o <+∞^o,

o`u les espaces de Sobolev anisotropes Hη,s+η(_R3) sont d´efinis par la norme kuk_Hσ,s def = Z R³ 1 +|ξ_h|²σ 1 +|ξ₃|²s |_bu|²dξ ¹₂ .

On obtient le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 2.1.7 Soient η > 0, 1 ≤ p < 2 et ν_h = εα avec α > 0. On peut choisir

α₀ >0 de sorte que, pour tout 0 < α≤α₀, pour tout s > ¹₂ et pour tout r₀ >0, il existe

ε0 > 0 tel que, pour tout 0 < ε ≤ ε0 et pour tout champ de vecteurs `a divergence nulle

u₀ ∈H0,s(_R3)∩Y_s,η,p avec ku₀k_Y

s,η,p ≤r₀, le syst`eme(N SC_ε)admet une (unique) solution globale

u∈C(_R+,H^0,s(_R³))∩L^∞(_R+,H^0,s(_R³)) avec ∇_hu∈L²(_R+,H^0,s(_R³)).

Comparons maintenant ce r´esultat au th´eor`eme 2.1.3. On voit d’abord que l’on a ici un r´esultat plus g´en´eral que le th´eor`eme 2.1.3 au sens o`u l’on peut consid´erer le cas o`u la viscosit´e cin´etique est variable et tend vers z´ero (de mani`ere assez lente par rapport au nombre de Rossby ε) quand la rotation tend vers l’infini (ce qui est plus proche des situations r´eelles). Ce que l’on perd est que l’on ne peut plus consid´erer des donn´ees initiales de type 2D+ 3D, i.e. de la forme u<sub>0</sub> = u<sub>0</sub> +w<sub>0</sub> o`u u₀ ∈ L2(_R2

h) est un champ de vecteurs bidimensionnel et w0 ∈ H^0,s(_R³), avec s > ¹₂ est un champ de vecteurs tridimensionnel. En effet, dans notre r´esultat, on a utilis´e le fait que le syst`eme limite est z´ero et donc l’effet dispersif dˆu `a la rotation rapide permet de compenser l’effet r´egularisant tr`es faible dˆu `a la viscosit´e ´evanescente lorsque ε tend vers z´ero. Si l’on consid`ere une donn´ee initiale de la forme 2D+ 3D comme dans le th´eor`eme 2.1.3, lorsque ε tend vers z´ero, la solution de (N SC_ε) approche la solution d’un syst`eme d’Euler bidimensionnel avec trois composantes. Comme les estimations en norme H<sup>s</sup> connues pour la solution du probl`eme d’Euler en dimension deux sont de l’ordre d’une double exponentielle en temps, cette solution n’est pas int´egrable en temps. Cela ne nous permet pas de montrer l’existence globale de solutions fortes pour (N SCε), mais seulement une existence sur un grand intervalle de temps.

Finalement, remarquons que les r´esultats de cette th`ese s’appliquent bien aux fluides isotropes en rotation rapide avec viscosit´e petite dans toutes les directions (ν_h = ν_v =

εα avec α > 0). Ce cas est tr`es important dans l’´etude de diff´erents fluides physiques de grande densit´e o`u la viscosit´e cin´ematique est beaucoup plus petite que la viscosit´e dynamique (comme par exemple des fluides g´eophysiques dans les ´etoiles,. . . ).

Deuxi`eme cas : La donn´ee initiale est somme d’une partie bidimensionnelle et d’une partie tridimensionnelle

Pour le cas o`u la donn´ee initiale est somme d’une partie bidimensionnelle et d’une partie tridimensionnelle, le syst`eme (N SCε) se d´ecompose en deux parties : une partie bidimensionnelle qui ´evolue selon une ´equation de type Euler bidimensionnelle avec trois composantes, et une partie tridimensionnelle oscillante qui converge vers z´ero d’apr`es les estimations de Strichartz. La th´eorie des syst`emes hyperboliques implique que la partie bidimensionnelle existe globalement en temps dans des espaces Hσ(_R2

Chapitre 2. Historique des r´esultats et Contributions de la th`ese

on ne dispose que d’une estimation de la normeHσ(_R2

h) qui pourrait exploser exponentiel-lement en temps `a l’infini). Cette estimation, qui est du type d’une double exponentielle, ne nous permet plus d’utiliser les arguments de la premi`ere partie pour montrer l’existence globale de la solution forte du syst`eme (N SC_ε), car l’absence de l’int´egrabilit´e en temps ne permet pas d’utiliser le lemme de Gronwall.

L’id´ee de cette deuxi`eme partie est d’ajouter un terme dissipatif du type γu dans le syst`eme (N SC_ε). Nous remarquons que ce nouveau terme de friction n’a aucun ef-fet r´egularisant et contribue peu aux estimations de Strichartz. Le rˆole de ce terme est simplement de donner une dissipation en temps pour compenser la croissance peut-ˆetre exponentielle de la partie bidimensionnelle. Nous consid´erons donc le syst`eme suivant

(N SC_ε,γ)        ∂tu^ε−νh∆hu^ε+γu^ε+u^ε.∇u^ε+^u ε∧e3 ε ⁼−∇p^ε dans _R³×_R+ div u^ε = 0 dans _R³×_R+ u^ε_|t=0 =u₀ dans _R³,

dans le cas o`u la donn´ee initiale u0 = u0 +v0, o`u u0 ∈ L²(_R²_h) et v0 ∈ L²(_R³). Ici le param`etre γ >0 repr´esente le coefficient de friction de Rayleigh.

Maintenant, grˆace au terme dissipatifγu, le syst`eme limite est du type Euler bidimen-sionnel dissipatif avec trois composantes

(Ed2D)          ∂_tu+γu+u^h.∇_hu=−∇p div_h u= 0 ∂₃u= 0 u_|t=0 =u₀,

qui admet une unique solution globale en temps, si la donn´ee initiale est dansL²(_R²_h) avec le rotationnel rot u₀ appartenant `aL2(_R2

h)∩L^∞(_R2

h). De plus, les deux premi`eres compo-santes de cette solution v´erifient un vrai syst`eme d’Euler bidimensionnel dissipatif, donc leurs normes L^p, avec p ≥ 2, d´ecroissent exponentiellement en temps. Le seul probl`eme vient de la troisi`eme composante, qui ´evolue selon une ´equation de transport.

Soit

Ys,η = ˙H⁻_h^ηH^s_v(_R³)∩L²_hH^{˙ −}_v^η(_R³)∩H^η_hH^η_v^+s(_R³),

o`u les espaces ˙Hη etHη sont les espaces de Sobolev homog`enes et non homog`enes usuels. Dans le cas o`u la troisi`eme composante est nulle, nous obtenons le th´eor`eme suivant

Th´eor`eme 2.1.8 (Cas semi-bien pr´epar´e) Soientγ >0,η >0. On peut choisirα₀ >

0 et a > 0 de sorte que, pour tout 0 < α ≤ α₀, pour tout s > ¹₂ et pour tout r₀ > 0, il existe ε₀ >0 tel que, pour tout 0< ε ≤ε₀ et pour toute donn´ee initiale u₀ =u₀ +v₀, de divergence nulle satisfaisant

(i) u₀ est un champ de vecteurs bidimensionnel de divergence nulle u₀ = (u¹₀, u²₀,0)

avec ∂3u^h₀ = 0, appartenant `a H^σ(_R²_h), avec σ > 2, tel que ku0k_Hσ(R²_h) ≤ r0 et tel queΩ₀ =∂₂u¹₀−∂₁u²₀ ∈L²(_R²_h)∩L^∞(_R²_h),

(ii) v0 est un champ de vecteurs tridimensionnel de divergence nulle appartenant `a H0,s(_R3)∩Y_s,η tel que kv₀k_Y

le syst`eme (N SC_ε,γ) admet une (unique) solution globale

u^ε ∈C(_R+,H^0,s(_R³))∩L^∞(_R+,H^0,s(_R³)) avec ∇_hu^ε ∈L²(_R+,H^0,s(_R³)).

Dans le cas g´en´eral, nous devons supposer que la viscosit´e horizontale ne tend pas vers z´ero trop rapidement, `a savoir ν_h =− 1

δlnε. Nous consid´erons le syst`eme

(N SC_ε,γ^bis)        ∂_tu^ε+ ¹ δlnε^∆hu ε+γu^ε+u^ε.∇u^ε+ ^u ε∧e₃ ε ⁼−∇p^ε dans _R³×_R+ div u^ε= 0 dans _R³×_R+ u^ε|t=0 =u0 dans _R³.

Nous obtenons le r´esultat suivant

Th´eor`eme 2.1.9 (Cas mal pr´epar´e) Soient γ >0, η >0. Pour tout s > ¹₂, pour tout

δ < ¹₄ et pour tout r₀ > 0, il existe ε₀ > 0 tel que, pour tout 0 < ε ≤ ε₀ et pour toute donn´ee initiale u₀ =u₀ +v₀, de divergence nulle satisfaisant

(i) u₀ est un champ de vecteurs bidimensionnel de divergence nulle avec ∂₃u₀ = 0, appartenant `a Hσ(_R2

h), avec σ >2, tel que ku₀k_Hσ(_R2

h) ≤r₀

(ii) v₀ est un champ de vecteurs tridimensionnel de divergence nulle appartenant `a H0,s∩Y_s,η tel que kv₀k_Y

s,η ≤r₀,

le syst`eme (N SC_ε,γ^bis) admet une (unique) solution globale

u^ε ∈Cb(_R+,H^0,s) avec ∇hu^ε ∈L²(_R+,H^0,s).

Fluides en rotation rapide entre deux plaques infinies

Retournons maintenant au cas d’un fluide entre deux plaques infinies (on rappelle que Ω = _R²×[0,1]). Regardons le th´eor`eme 2.1.4 dans le cas o`u la viscosit´e horizontale ν_h

est ´egale `a εα avec α > 0, et o`u les donn´ees initiales sont bien pr´epar´ees. Comme dans la d´emonstration du th´eor`eme 2.1.8, les normesLp(_R2

h), p≥2, de la solution du syst`eme limite (Ed2D_β)            ∂_tu+u· ∇u+^p2β u=−∇_hp, div_hu= 0, ∂₃u= 0, u_|t=0 = (u^h₀,0).

d´ecroissent exponentiellement en temps. Ceci implique une int´egrabilit´e en temps des normes L^p des solutions de (Ed2D_β). Ceci nous aussi permet de construire des couches limites d’Ekman dans le cas o`u ν<sub>h</sub> =εα et de montrer la convergence uniforme en temps des solutions faibles du syst`eme

(N SC_β^ε)              ∂_tu^ε−ν_h∆_hu^ε−βε∂₃²u^ε+u^ε· ∇u^ε+^e3 ∧uε ε ⁼−∇p, div u^ε= 0, u^ε_|t=0 =u^ε₀, u^ε_|∂Ω = 0,

vers la solution du syst`eme limite (Ed2Dβ) quandεtend vers 0. Nous obtenons le th´eor`eme suivant :

Chapitre 2. Historique des r´esultats et Contributions de la th`ese

Th´eor`eme 2.1.10 Soit 0< α < ¹₄ et soit uε une solution faible de (N SCε

α,β) de donn´ee initiale u^ε₀ ∈L²(Ω) telle que lim

ε→0u^ε₀ = (u₀,0) dans L²(Ω), o`u u₀ est un champ de vecteurs bidimensionnel tel que u₀ ∈Hσ(_R2

h), σ >2 et

Ω₀ =∂₂u¹₀−∂₁u²₀ ∈L²(_R²_h)∩L^∞(_R²_h).

Supposons de plus que

lim

ε→0ε^−αku^ε₀−u₀k_L2 = 0.

Alors

lim

ε→0ku^ε−uk_L∞(R+,L2(Ω))= 0,

o`u u est la solution du syst`eme limite (Ed2D_β).

2.2 Equations primitives^´

Dans la deuxi`eme partie de cette th`ese, nous ´etudions un mod`ele plus compliqu´e que le syst`eme de fluides en rotation rapide. Ce mod`ele mod´elise les fluides g´eophysiques `a grande ´echelle, en tenant compte de la stratification due `a la gravit´e de la terre. Nous rappelons rapidement les ´equations de ce mod`ele, les r´esultats connus et `a la fin de ce paragraphe, nous pr´esentons les r´esultats de ce m´emoire.