Le contrat de secours

Nesta subseção são discutidas as principais contribuições da aplicação de controle ativo de rotores e seu estado da arte. Em maior parte, são descritas utilizações de AMBs como mancais efetivos, visando a levitação magnética do rotor; e como elementos auxiliares, buscando estabilizar e atenuar vibrações. Embora a segunda aplicação seja o principal foco deste estudo, consideráveis contribuições a respeito de modelagem, análise, controle e hardware são encontradas nos estudos considerando o problema de levitação magnética.

O livro escrito por Schweitzer e Maslen (2009) é um excelente ponto de partida para o estudo da aplicação de atuadores magnéticos em rotores. Esta referência oferece uma visão abrangente desde os conceitos básicos de eletromagnetismo, descrevendo a modelagem e as considerações para linearização da força magnética exercida pelos eletroímãs em configuração diferencial; passando pela revisão de dinâmica de rotores, citando eixos rígidos e flexíveis, e forças de desbalanceamento; considerações a respeito de hardware como amplificadores de

corrente e sensores; e exemplos de aplicações de AMB utilizando controladores clássicos e modernos.

Uma ampla e extensa revisão a respeito da literatura envolvendo aplicações de AMB é fornecida por Siva Srinivas et al. (2018). O artigo fornece uma breve descrição a respeito da modelagem de rotores equipados com AMB e então parte para a apresentação de métodos classificados de acordo com sua aplicação: redução de vibração síncrona, aumento da faixa de estabilidade, identificação de sistemas e falhas etc. Também é apresentada uma tabela em ordem cronológica das principais referências relacionando o tipo de rotor, controle, sensoriamento e objetivo.

Originalmente os AMBs foram desenvolvidos com o objetivo de permitir sustentação com ausência de contato mecânico, assim evitando ao máximo perdas por atrito mecânico. No final da década de 1970 surgiram as primeiras aplicações utilizando mancais magnéticos. A formulação inicial é intuitiva: projetar controladores PID para atingir as características desejadas de rigidez e amortecimento visando centralizar o centro do eixo ao centro da folga do AMB.

Logo notou-se o potencial para o uso de AMBs em diferentes estratégias. Por exemplo, utilizando uma estratégia em malha-aberta buscando uma força contrária ao desbalanceamento residual. Burrows e Sahinkaya (1983) demonstram uma das primeiras aplicações de AMB como elementos auxiliares para compensar o efeito de desbalanceamento em um rotor suportado por mancais hidrodinâmicos baseada na função de transferência inversa do rotor. É citado neste trabalho que o método se mostrou eficiente até que atingido o limiar da instabilidade fluido-induzida.

Outros diversos trabalhos testando diferentes formas para obter a compensação de desbalanceamento em malha aberta foram publicados em diferentes períodos. Por exemplo, Burrows et al. (1989) demonstraram a possibilidade da determinação da força de compensação ao desbalanceamento a partir de um método similar ao processo de balanceamento por massas de triagem. Neste caso, o atuador aplica uma excitação conhecida ao rotor, mede-se a resposta, e, com base na matriz de influência, determina-se a força necessária para minimizar a vibração. A grande vantagem deste método é sua aplicabilidade sem necessidade do modelo matemático do rotor.

Knospe et al. (1996) desenvolveu uma metodologia iterativa para otimizar a força aplicada pelo AMB e demonstrou a aplicabilidade da estratégia em malha aberta em conjunto

com uma malha fechada responsável pela levitação do rotor. No trabalho de Markert et al. (2002) o desempenho do método por função de transferência inversa é comparado ao método de teste iterativo (equivalente a massas de triagem) em um rotor levitado por controle PID, mostrando que ambos os métodos atingem resultado similares.

Mais recentemente, Tammi (2009) comparou o desempenho do método em malha aberta proposto por Knospe et al. (1996) com uma técnica baseada em filtros FIR e mínimos quadrados, sendo que a proposta clássica com o método iterativo (denominada convergent

control ou CC) se mostrou mais simples e mais eficaz. Por fim, destaca-se a aplicação utilizando

malhas aberta e fechada para sustentação de um volante de inércia com mínima vibração proposta por Liu e Liu (2016).

Embora a utilização de métodos de malha aberta em rotores seja muito favorecida pela natureza periódica de rotores, é praticamente inviável aplicá-los visando a estabilização do sistema. Conforme já observado em algumas das referências já apresentadas, rotores podem apresentar comportamentos instáveis por diferentes razões, tais como o oil-whip, o amortecimento interno na estrutural do eixo, ou mesmo o problema básico de levitação magnética. Portanto, é fundamental a aplicação de controladores em malha-fechada que proporcionem a estabilização do sistema. E intrínseco ao problema de estabilização tem-se a possibilidade alterar as características do sistema resultante proporcionando melhor rejeição de ruído ou modificações modais vantajosas.

Para solucionar o problema de oil-whip detectado em um trabalho anterior, Sahinkaya e Burrows (1985), primeiramente, projetam controladores proporcionais e derivativos para alterar as frequências naturais e o fator de amortecimento, respectivamente, e, assim, estender a faixa de estabilidade do rotor. Sobre o sistema estabilizado é, então, aplicada compensação de força ao desbalanceamento.

O projeto de controladores clássicos colocados, por exemplo, PID, considerando modelos de rotores rígidos e com coordenadas desacopladas certamente é de grande aplicabilidade. Porém, para geometrias e modelos mais complexos podem ocorrer problemas de estabilidade devido ao acoplamento entre coordenadas e variações paramétricas atreladas aos coeficientes de mancais e ao efeito giroscópico, além de demandar extensa experiência por parte do projetista. Com a popularização dos métodos de controle MIMO robusto, tais estratégias passaram a ser muito atraentes para aplicações em AMB.

Fujita et al. (1993) utilizou o conceito de estabilidade robusta para projetar controladores H∞ que considerassem a variação dinâmica provocada pelo efeito giroscópico para levitar e

reduzir a vibração de um rotor suportado por AMB. Como desdobramento do trabalho anterior, Matsumura et al. (1996) aplicou método de projeto de controle gain-scheduled ao calcular uma série de ganhos de controle H∞ para diversas rotações e conecta-los por uma função de

permutação.

Conforme citado anteriormente, a estratégia de concatenação de controladores para obter um sistema variante raramente tem garantia de estabilidade. Siqueira et al. (2012) utiliza uma formulação por LMI proposta por Apkarian e Adams (1998) para obter ganhos de controle como uma função contínua do parâmetro variante. O controlador se demonstrou eficiente na estabilização do efeito de oil-whip do sistema e atenuação da vibração durante a passagem pela velocidade crítica mesmo sob variações provocadas pelo efeito giroscópico e pelos coeficientes de mancais. O método de controle adotado é altamente flexível, porém o controlador resultante deve seguir a mesma estrutura da função que modela a variação paramétrica, e requer alto esforço computacional devido à necessidade de resolver o problema verificando sua validade em intervalos arbitrariamente pequenos do parâmetro variante. Além disso, a formulação final da matriz de controle é diretamente dependente da matriz de espaço de estados, o que pode ser um problema para sistemas com altos níveis de variações paramétrica não monitoradas.

Outra possível fonte de incerteza são efeitos dinâmicos não modelados ou aproximações assumidas para os demais elementos do sistema, por exemplo, filtros analógicos, amplificadores de sinal e potência, e dinâmica eletromagnética. Fittro e Knospe (2002) supõem um rotor simétrico, desprezando o efeito giroscópico, e comparam o desempenho de diferentes controladores, visando levitação e atenuação de vibração, frente às possíveis incertezas complexas. Para isso são projetados controladores PD e H∞ buscando o melhor ganho possível

e um controlador µ-synthesis considerando a estrutura de incertezas. É demonstrado que o controlador H∞ atinge o melhor desempenho no caso nominal, mas no pior caso de incerteza,

apresenta a pior performance dentre os três controladores. O controlador robusto µ-synthesis garante um bom desempenho, não apresentando grande perda de desempenho na pior condição. Uma aplicação mais prática e genérica para tratar as incertezas é apresentada por Riemann et al. (2013a). Para um rotor suportado por dois mancais hidrodinâmicos, são levantadas as curvas de resposta experimentais do sistema, é estimado uma modelo base, e, então, adicionadas

incertezas complexas para cobrir os desvios entre as curvas obtidas. Conhecendo o modelo incerto, é projetado um controlado µ-synthesis para estabilizar e atenuar a vibração do sistema. A aplicação de métodos de projeto de controle baseados em modelos experimentais é interessante por sua flexibilidade. Porém, é necessário realizar diversos testes em uma máquina real antes de calcular os ganhos de controle, o que nem sempre é viável em situações práticas. Sendo assim por vezes é vantajoso o projeto com base no modelo matemático. Riemann et al. (2013b) demonstram a possibilidade de incluir os efeitos giroscópicos de um rotor como incertezas paramétricas no modelo. Novamente, utilizando o modelo com incerteza estruturada, um controlador µ-synthesis foi projetado para garantir estabilidade e atenuação de vibração devido ao desbalanceamento. Além do método clássico de iteração DK, foi aplicada uma variante, denominada método µ-K, que se demonstrou mais eficiente na estabilização robusta do sistema. Também é observado que ao minimizar a contribuição de métodos retrógrados (pouco excitados por desbalanceamento) tem-se melhor desempenho, visto que a função de controle pode priorizar modos mais comumente excitados.

Ainda na linha de incertezas paramétricas, Wu et al. (2015) modelaram as possíveis variações de coeficientes de mancais hidrodinâmicos e o efeito giroscópico como incertezas polinomiais e compararam, através de simulações, os desempenhos de um controlador H∞

buscando máxima atenuação na velocidade crítica e um controlador µ-synthesis buscando robustez. Por se tratar de uma solução não colocada, o controlador H∞ mostrou bom

desempenho na região próxima à velocidade crítica, mas não garantiu a estabilização do oil-

whip. Por outro lado, o controlador µ-synthesis garantiu a estabilidade em altas faixas de

rotação, em troca de uma performance inferior na passagem pela velocidade crítica. Buscando um resultado menos conservador, Wu et al. (2017) projetaram controladores estáticos com parâmetros polinomialmente variantes e os compararam aos métodos H∞ e µ-synthesis

anteriores. Os controladores variantes atingiram simultaneamente bom desempenho e estabilização do oil-whip. Estes resultados são posteriormente validados experimentalmente em Freire Wu e Lucchesi Cavalca (2019), em que além da condição de controle não colocada, é estudada a condição colocada, que apresenta resultados significativamente distintos.

Na publicação em duas partes, por Schittenhelm e Rinderknecht (2015a) e (2015b) são descritos e comparados quatro controladores distintos (PD com filtro passa-baixa, LQG, H∞ e

FxLMS) para controlar a vibração em um rotor suportado por mancais de esferas montado sobre atuadores piezelétricos. De forma geral é mostrado que os controladores por realimentação

atingiram resultados similares. Porém, destaca-se que pode ser difícil encontrar boas soluções para controles PD caso o projetista não seja experiente ou não sejam aplicados métodos de otimização. Observou-se que o controle em malha aberta foi o método mais eficiente no que se refere à atenuação da resposta ao desbalanceamento devido a sua capacidade de explorar a natureza harmônica e previsível da fonte de excitação sem restrições conservadoras como nos controles em feedback. Contudo, é reforçado, novamente, a incapacidade do método em prover estabilidade ao sistema por si só.

Utilizando um controlador H∞ com parâmetros variantes, Becker et al. (2017) buscam um

objetivo diferente da clássica minimização da deflexão do eixo. Considerando um rotor linearmente dependente da rotação, devido ao efeito giroscópico, o controle é projetado para minimizar a força transmitida pelo desbalanceamento do rotor à estrutura de suporte. O objetivo seria reduzir, por exemplo, a vibração passada pela turbina desbalanceada de um avião para a fuselagem, assim permitindo estruturas mais delgadas. Também é interessante citar o trabalho de Lusty e Keogh (2018) no qual são aplicados com sucesso AMBs para a rejeição de ruído em rotores com eixos tubulares. Neste caso, o controlador é montado em uma haste flexível, a qual está inserida no interior de um eixo vazado. O sinal aferido para feedback é dado pela variação relativa entre o par eixo/atuador (montados sobre uma estrutura flexível). Porém, deseja-se minimizar a variação absoluta do deslocamento do eixo. Para isso, explora-se a capacidade de formulação do vetor de desempenho virtual no problema de controle H∞ (e outros controladores

modernos).

Unindo a possibilidade de variações paramétricas com incertezas paramétricas, Wu et al. (2019b) propõe projetar controladores para AMBs buscando estabilizar rotores suportados por mancais hidrodinâmicos que fossem adaptativos em termos de rotação, mas que também sejam robustos a possíveis variações de coeficientes devido a falhas de desgaste em mancais hidrodinâmicos. Para isso, foram utilizadas as propriedades de estabilidade quadrática de Lyapunov associada ao teorema do pequeno ganho.

3 DESENVOLVIMENTO TEÓRICO

O capítulo de desenvolvimento teórico é separado em nove subseções. Primeiramente, é introduzida a teoria básica de dinâmica de rotores, a fim de definir os sistemas de coordenadas. Em seguida, é descrito o método de elementos finitos utilizado para modelar o eixo e discos do rotor. Na terceira subseção, demonstra-se o método de redução de Guyan, o qual é aplicado para viabilizar o projeto de controle. Na subseção quatro, é descrito o método de modelagem de mancais hidrodinâmicos cilíndricos, a aproximação por coeficientes lineares equivalentes e o modelo de falha considerado. Na quinta subseções, explica-se como montar um modelo de espaço de estados polinomial. Na subseção seis, introduz-se o conceito de norma H∞ e suas

interpretações, para, na parte sete, descrever projeto do controlador H∞ estático polinomial por

realimentação de saída. Por fim, buscando atingir melhores desempenhos e compensar os sintomas de falhas genéricas, na subseção oito, demonstra-se o desenvolvimento do controle em malha aberta, ou compensador de forças.