La notion de contrainte ´equivalente magn´eto-m´ecanique a fait l’objet d’un article r´ecent [Hubert et Daniel, 2011]. Une approche, bas´ee sur une d´efinition de l’´energie `a l’´equilibre issue de l’approche multi´echelle [Daniel et al., 2008], y a ´et´e propos´ee. La contrainte ´equivalente correspondante comprend des termes d’´energie `a la fois magn´eto-statique et magn´eto-´elastique. On rappelle ci-dessous les principes qui r´egissent sa d´efinition. Les d´etails de l’approche sont disponibles en annexe I.
La d´efinition de la contrainte ´equivalente est bas´ee sur les hypoth`eses suivantes :
– Le mat´eriau est suppos´e isotrope (`a l’exception de l’anisotropie induite par la contrainte) ; – Le champ magn´etique et la contrainte sont suppos´es ˆetre uniformes `a l’int´erieur du
mat´eriau ;
– Les m´ecanismes de rotation de l’aimantation dans les domaines sont n´eglig´es.
Le syst`eme de coordonn´ees est d´efini `a partir de la direction du champ appliqu´e de telle sorte que :(~x,~y,~z) = (~h,~t1,~t2). Avec ~h associ´e `a la direction du champ, ~t1 et ~t2 appartiennent au plan orthogonal `a~h pour former le rep`ere(~h,~t1,~t2).~t1et~t2sont d´efinis de mani`ere `a correspondre, pour l’un, `a la direction normale au plan de tˆole et pour l’autre le produite vectoriel de la direction du champ avec la normale au plan.
Le mat´eriau est simultan´ement soumis `a un champ magn´etique ~H et `a un tenseur des contraintes multiaxial✛. Le tenseur des contraintes est g´en´eral, de forme :
Contrainte ´equivalente magn´eto-m´ecanique 129 ✛ = σxx σxy σxz σxy σyy σyz σxz σyz σzz (~x,~y,~z) (3.44)
Le champ magn´etique est consid´er´e appliqu´e suivant la direction~x selon : ~
H= H~x (3.45)
En se basant sur une ´equivalence en aimantation ( ~M(✛) = ~M(σeq)), on obtient la d´efinition suivante de la contrainte ´equivalenteσeq[Hubert et Daniel, 2011] :
σeq= 2 3Asλm ln 2 exp(Asλm(σxx−σyy 2 −σzz 2 )) exp(Asλm(σyy−σxx 2 −σzz 2 )) + exp(Asλm(σzz−σxx 2 −σyy 2 )) ! (3.46)
λm est la d´eformation de magn´etostriction maximale, As le param`etre d’ajustement utilis´e dans la mod´elisation multi´echelle(As= 3χ0
µ0M2 s
). La signification et le calcul de λmont ´et´e discut´es au paragraphe 3.1.
La contrainte ´equivalente peut ´egalement s’´ecrire de la mani`ere suivante :
σeq= 2 3kln 2 exp(3k 2 t~hS~h) exp(3k 2 t~t1S~t1) + exp(3k 2 t~t2S~t2) ! (3.47) o`u k= 3χ0λm µ0M2 s
est le seul param`etre mat´eriau de l’expression et S=✛ −1
3tr(✛)I est le d´eviateur des contraintes. Cette expression peut se simplifier quand(3k
2
t~xS~x (∀~x)) est tr`es petit devant 1. On obtient l’expression simplifi´ee suivante :
σeq=3 2
t~hS~h (3.48)
Dans le cas particulier d’un ´etat de contrainte biaxial (σ1, σ2), l’expression de la contrainte ´equivalente est d´efinie par (3.49) et (3.50) lorsque le champ magn´etique est appliqu´e parall`element `a DL et orient´e `a 45◦respectivement : σDLeq = 2 3k ln 2 exp 32kσ1 1+ exp 32kσ2 ! (3.49) σ45eq= 2 3k ln 2 exp 34k(σ1+ σ2) 1+ exp 34k(σ1+ σ2) ! (3.50) L’´equation (3.50) met en ´evidence la sym´etrie attendue par rapport `a l’axe σ1 = σ2 pour les chargements magn´etiques `a 45◦. On retrouve ´egalement le fait que quand σ1= σ2, on a : σDLeq = σ45eq.
130 Mod´elisation magn´eto-m´ecanique et confrontation aux exp´eriences
Les figures 3.40 et 3.41 illustrent la valeur de la contrainte ´equivalenteσeq pour chacune des deux configurations (~H//DL ou ~H//45◦) pour les deux familles de mat´eriau (Fe-3%Si NO et FeCo-2V). Seules les familles de mat´eriau interviennent puisque la distinction entre les alliages FeCo-2V R et FeCo-2V FP ne peut pas ˆetre faite (La contrainte ´equivalenteσeqest ainsi en th´eorie identique pour les deux alliages de fer cobalt). On utilise alors As= 3.10−3m3/J et λm≈ 9.10−6 pour le Fe-3%Si NO soit k= 1, 1.10−8m3/J. Pour le FeCo-2V (R ou FP), On utilise As= 3.10−3 m3/J et λm= 6, 5.10−5soit k= 8.10−8m3/J.
(a) ~H//RD (b) ~H//45˚
FIGURE 3.40: Fe-3%Si NO : Contrainte ´equivalente σeq dans le plan des contraintes pour
(~H//DL) et (~H//45˚).
(a) ~H//RD (b) ~H//45˚
FIGURE 3.41: FeCo-2V R et FeCo-2V FP : Contrainte ´equivalente σeq dans le plan des
contraintes pour (~H//DL) et (~H//45˚).
Les valeurs de la susceptibilit´e magn´etique sous contrainte uniaxiale (σ2 = 0) appliqu´ee parall`element au champ magn´etique sont utilis´ees comme donn´ees de r´ef´erence pour calculer l’´evolution de la susceptibilit´e dans le plan des contraintes. Cette liste de valeurs, combin´ee `a la d´efinition (3.49) de la contrainte ´equivalente, permet de pr´edire l’´evolution de la susceptibilit´e dans le plan des contraintes comme trac´ee figure 3.42 pour le fer silicium et figures 3.43 et 3.44 pour le fer cobalt.
Pour le fer silicium, l’accord entre l’exp´erience (fig. 3.42(a)) et la mod´elisation (fig. 3.42(b)) est satisfaisant. Les cartes d’iso-susceptibilit´e issues de la m´ethodeσeqsont en bon accord avec les r´esultats num´eriques issus du mod`ele multi´echelle (fig. 3.42(d)). La mˆeme proc´edure est appliqu´ee pour les r´esultats `a ~H//45◦. On obtient les lignes d’iso-susceptibilit´e pr´esent´ees figure 3.42(f).
Contrainte ´equivalente magn´eto-m´ecanique 131
(a)∆r DLexp χ (b)∆numr DLχ (par σeq) (d)∆r DLnumχ (par le mod`ele
multi´echelle)
(e)∆rexp45χ (f) ∆numr45χ (par σeq) (h)∆rnum45χ (par le mod`ele
multi´echelle)
FIGURE3.42: Fe-3%Si NO : Pr´ediction de la variation relative de la susceptibilit´e dans le plan
des contraintes pour ~H//DL (a, b et d) et ~H//45˚ (e, g et h).
L`a encore, l’accord avec le r´esultat exp´erimental (fig. 3.42(e)) est satisfaisant. La contrainte ´equivalente permet ainsi de rendre compte de l’´evolution de la susceptibilit´e sous contrainte en int´egrant l’orientation relative de la contrainte et du champ magn´etique.
La figure 3.43 montre les lignes d’iso-susceptibilit´e pr´edites par la contrainte ´equivalente pour le FeCo-2V R (~H//DL et ~H//45◦). Dans ce cas, mod`ele et exp´erience (fig. 3.43(b) et fig. 3.43(a)) ne sont pas en tr`es bon accord. Ce r´esultat n’est pas surprenant puisque les r´esultats exp´erimentaux n’´etaient `a l’origine d´ej`a pas en accord avec le mod`ele multi´echelle (fig. 3.43(c)). On peut noter que quand les r´esultats obtenues par la contrainte ´equivalente quand le champ est orient´e suivant 45˚ (fig. 3.43(e)) sont en bonne concordance avec les r´esultats num´eriques obtenues par le mod`ele multi´echelle (fig. 3.43(f)) et `a un degr´e moindre avec les mesures exp´erimentales (fig. 3.43(d)). La figure 3.44 pr´esente les r´esultats de la mod´elisation pour le FeCo-2V FP. L’accord entre mesure (fig. 3.44(a)), mod´elisation multi´echelle (fig. 3.44(c)) et mod´elisation par contrainte ´equivalente (fig. 3.44(b)) est satisfaisant en terme de niveau de susceptibilit´e et d’orientation des isovaleurs. Quand le champ est orient´e suivant 45˚ (fig. 3.44 (d), (e) et (f)) la pr´ediction de la susceptibilit´e est mal restitu´ee.
132 Mod´elisation magn´eto-m´ecanique et confrontation aux exp´eriences
(a)∆r DLexp χ (b)∆numr DLχ (par σeq) (c)∆r DLnumχ (par le mod`ele
multi´echelle)
(d)∆rexp45χ (e)∆numr45χ (par σeq) (f) ∆rnum45χ (par le mod`ele
multi´echelle)
FIGURE 3.43: FeCo-2V R : Pr´ediction de la variation relative de la susceptibilit´e dans le plan
Contrainte ´equivalente magn´eto-m´ecanique 133
(a)∆r DLexp χ (b)∆numr DLχ (par σeq) (c)∆r DLnumχ (par le mod`ele
multi´echelle)
(d)∆rexp45χ (e) ∆numr45χ (par σeq) (f) ∆rnum45χ (par le mod`ele
multi´echelle)
FIGURE3.44: FeCo-2V FP : Pr´ediction de la variation relative de la susceptibilit´e dans le plan
134 Mod´elisation magn´eto-m´ecanique et confrontation aux exp´eriences