Dxi}), il existe un tuple τ = (v1 ∈ [Dx1, Dx1], . . . , vi, . . . , vn ∈ [Dxn, Dxn]) qui satisfait la contrainte c.
Les algorithmes garantissant la borne-cohérence ne prennent en compte et ne mettent à jour que les bornes des domaines. C’est un niveau moins élevé que l’arc-cohérence mais la complexité des algorithmes qui permet de maintenir ce niveau est, dans la plupart des cas, plus faible.
Exemple 2.4.3. Reprenons l’exemple précédent2.4.2. Nous séparons l’égalité15a
en deux inégalités et effectuons la borne-cohérence sur ces deux inégalités : x26 5 − e
x2> 5 − e
Les bornes de la variables x2 peuvent être réduites à [1, 4]. De façon symé-trique pour e, nous pouvons réduire sa borne supérieure à 4, De = [1, 4].
En ce qui concerne la contrainte element15b, le domaine de la variable x1
peut être réduit. En effet, De = [1, 4], il est alors impossible pour e de prendre les valeurs 5, 7 et 9 de t (De = {1, 3}). La variable x1 ne peut alors pas prendre une valeur supérieure à 1, Dx1 ={0, 1}.
Nous remarquons que l’ensemble de définition de e ne contient pas toutes les valeurs de l’intervalle [1, 4]. Tentons alors de réaliser le filtrage arc-cohérence
sur la contrainte 15a. Étant donné que les valeurs de e sont impaires, il est alors nécessaire pour x2 de prendre des valeurs paires afin de respecter la contrainte. En conséquence, nous pouvons déduire que Dx2 ={2, 4}.
Lorsque des domaines sont mis à jour, les algorithmes de filtrage sont activés pour d’autres contraintes (ou parfois la même contrainte), nous ap-pelons cela en PPC la propagation de contraintes.
2.4.2.2 Contraintes globales et contraintes NP-difficiles
Les contraintes globales possèdent le plus souvent des algorithmes de filtrage spécifiques afin d’éliminer les valeurs incohérentes du postulat proposé. Ces algorithmes exploitent la structure du problème sous-jacent et permettent efficacement de maintenir l’arc-cohérence. Par exemple, l’un des algorithmes de la contrainte alldifferent utilise la théorie des graphes [Hoe01].
Il existe aussi des niveaux de cohérences plus faibles que la borne-cohérence ou arc-borne-cohérence. En effet, lorsque le problème de trouver un support d’une contrainte globale est NP-Complet, il est alors impossible de maintenir la cohérence en temps polynomiale. C’est pourquoi, il est utile de dédier des algorithmes de filtrage spécifiques pour ce type de contrainte.
Nous pouvons citer la contrainte circuit [Lau78] permettant de maintenir
un circuit dans un graphe.
Face à un problème d’optimisation, i.e. un problème de minimisation ou de maximisation d’une fonction objectif, il est possible d’étendre la dé-finition d’une contrainte globale en incluant le coût de cette fonction ob-jectif. Nous pouvons prendre comme exemple la contrainte globale
alldif-ferentet sa version intégrant des coûts d’affectation
minimumweightall-different [FLM99]. Dans cette version, les valeurs des variables doivent
être toutes différentes tout en minimisant le coût associé. L’algorithme de
filtrage proposé dans [Sel02] modélise le problème comme un problème
d’affectation de poids minimum. Il permet ainsi d’évaluer une borne in-férieure sur le coût et de détecter les valeurs incohérentes afin de ne pas dépasser la borne supérieure du coût. Ce principe est appelé filtrage fondé sur les coûts [FLM99].
2.4.3 La recherche arborescente
Dans cette section, nous étudierons les principes de la recherche. Nous finirons par l’introduction de différentes stratégies de branchement.
2.4.3.1 L’espace de recherche
Une fois la propagation initiale effectuée, il est dans la plupart des cas nécessaire d’explorer l’espace de recherche afin de trouver une ou des solu-tions. L’exploration de l’espace de recherche est guidée par des stratégies de branchement afin de diviser l’espace de recherche.
Une stratégie de branchement consiste à ajouter une contrainte au mo-dèle qui affecte une valeur dans le domaine de la variable sélectionnée. Un exemple de stratégie pour parcourir l’arbre de recherche consiste à prendre la première variable non affectée et lui affecter la première valeur de son domaine (recherche lexicographique).
Exemple 2.4.4. Reprenons l’exemple précédent (15aet15b). Après la propagation initiale, l’état des domaines est le suivant : x1 ∈ {0, 1}, x2 ∈ {2, 4} et e ∈ {1, 3}.
-- -- - - -1 2 3 4 5 6 7 8 x1= 0 x1 = 1 x2=2 x 2 = 4 x2=2 x 2 = 4 e= 1 e= 3 e= 1 e= 3 e= 1 e= 3 e= 1 e= 3
Figure 12 – Arbre de recherche complet
La Figure 12 montre l’espace de recherche complet pour le problème avec la
stratégie de branchement lexicographique. Il existe seulement deux solutions pour ce problème (sommet 3 et sommet 6). Le reste des feuilles représente des incohé-rences et ne satisfait pas toutes les contraintes.
Dans la pratique, il n’est pas concevable de parcourir l’ensemble de l’espace de recherche, il faut alors réduire l’espace de recherche. Pour cela, en PPC, la propagation des contraintes est effectuée à chaque nœud, c’est-à-dire à chaque décision prise. Ainsi, l’espace de recherche est réduit et permet de détecter plus rapidement les incohérences ou de filtrer davan-tage de valeurs des domaines des variables.
— Si la contrainte ajoutée lors du branchement aboutit à une incohé-rence dans ce nœud, celui-ci correspond à un nœud d’échec. Par
d’échecs. Il faut alors retourner en arrière afin de continuer l’explo-ration. C’est ce que l’on appelle le backtrack.
— Si au moins une des variables n’est pas affectée à une valeur, alors il est nécessaire de continuer l’exploration.
— Si toutes les variables sont instanciées et sont compatibles avec les contraintes, nous sommes en présence d’une solution au problème. Par ailleurs, nous pouvons continuer l’exploration afin de trouver toutes les solutions du problème ou une solution de plus faible coût.