Contrôles de croissance pour la zone couplée

lim

n→∞

P

Φ

(q(nx)∈ξ

_nc

)

≥ρ

_λ

(_N)

²

.

Ceci permettra de conclure π(x) = g(x).

Le théorème de forme pour la zone couplée implique que ¯_P-presque sûrement :

lim

n→∞

t

⁰

(nx)

n ^{=π(x) et donc} ∃N ∈_N, ∀n ≥N, q(nx)∈K

_nc

.

Il suit facilement que pour _P-presque tout φ∈X,

lim

n→∞

P

φ

q(nx)∈ξ

^C ∞ φ nc

, q(nx)∈/ξ

_nc

, τ =∞

= 0.

Ceci implique :

lim

n→∞

P

φ

(q(nx)∈ξ

_nc

, τ =∞)

= lim

n→∞

P

φ

q(nx)∈ξ

^C ∞ φ nc

, τ =∞

−_P

φ

q(nx)∈ξ

^C ∞ φ nc

, q(nx)∈/ ξ

nc

, τ =∞

= lim

n→∞

P

φ

q(nx)∈ξ

^C ∞ φ nc

, τ =∞

.

Ainsi, en utilisant cette dernière égalité, l’inégalité FKG puis un argument classique

de renversement du temps on obtient

lim

n→∞

P

φ

(q(nx)∈ξ

_nc

)≥ lim

n→∞

P

φ

(q(nx)∈ξ

_nc

, τ =∞)

≥ lim

n→∞

P

φ

q(nx)∈ξ

^C ∞ φ nc

, τ =∞

≥ lim

n→∞

P

φ

q(nx)∈ξ

^C ∞ φ nc

P

φ

(τ =∞)

≥ρ

_λ

(_N) lim

n→∞

P

φ

ξ

_nc^q(nx)

6=_∅

≥ρ

λ

(_N)

²

.

Ceci achève la preuve du lemme.

5.7.2 Contrôles de croissance pour la zone couplée

On cherche à montrer la proposition 5.42 :

Proposition 5.42. Il existe des constantes A, B >0 telles que pour tout t≥0 :

¯

P(0∈/ K

_t⁰

)≤Ae

^−B √

t

.

On obtiendra en fait ce résultat comme corollaire de la proposition 5.5 (croissance au

plus linéaire) et du contrôle de croissance :

Proposition 5.44. Il existe des constantes A, B >0 telles que pour tout t≥0,

¯

P(B

_Φ^∞

(ct/2)_*K

t)

≤Ae

^−B √ t

.

Nous allons donc commencer par montrer ce contrôle et pour cela, nous utilisons une

nouvelle fois une stratégie de redémarrage en s’inspirant toujours de la construction de

O. Garet et R. Marchand [21].

Cette procédure permet de coupler le système d’intérêt (ou ambiant) avec un système

qu’il domine stochastiquement mais dont l’étude est plus simple (le système faible).

En-suite, il est possible de transporter certaines propriétés du système faible vers le système

ambiant. On laisse les processus évoluer en même temps et à chaque fois que le système

faible s’éteint, si le système ambiant reste vivant, on redémarre un système faible

tou-jours couplé avec le système ambiant. Si à une étape de la procédure les deux systèmes

s’éteignent en même temps, alors le contrôle du temps d’extinction du processus faible

peut être récupéré pour le système ambiant. Si en revanche, à un certain instant, on

obtient un système faible qui survit alors il en est de même pour le processus ambiant

et dans ce cas, on a un contrôle exponentiel sur cet instant et on peut transporter des

propriétés utiles du processus faible comme certains contrôles sur les temps d’atteintes.

Nous allons utiliser cette technique ici pour coupler le processus de contact de

pa-ramètre λ en environnement inhomogène φ ∈ {∃! amas ∞} fixé avec un processus de

contact de paramètre λ évoluant sur une copie de _Z.

On rappelle que Bif

C

_φ^∞

désigne l’ensemble des points de C

_φ^∞

qui sont une

bifurca-tion, c’est à dire qui sont inclus dans un sous-graphe de C

_φ^∞

isomorphe à _Z en tant que

graphe et que pour tout x∈_R

d

, b(x) désigne la bifurcation la plus proche de x au sens

de la norme euclidienne k.k

₂

.

On note ensuite_Z(x) le choix déterministe d’une copie de_Zincluse dansC

_Φ^∞

passant

par b(x).

Dans la suite, on noteζ le processus de contactξ restreint au sous graphe_Z(x)

(c’est-à-dire en ne regardant que les infections entre les sommets de ce sous-graphe de sorte que

ζ soit égal en loi au processus de contact standard de paramètre λ sur _Z). On désigne

aussi par τ

_ζ

le temps d’extinction du processus ζ.

On considère alors la construction de la sectionTemps d’atteinte essentiel5.3.1 pour la

fonction de démarrageb et le temps d’arrêtτ

_ζ^b(x)

(dont la queue de distribution décroît

ex-ponentiellement vite). Plus précisément, on s’intéresse aux quantités

u

k

x, b, τ

_ζ^b(x)

k∈_N

,

v

_k

x, b, τ

_ζ^b(x)

k∈_N

,K

x, b, τ

_ζ^b(x)

etσ

x, b, τ

_ζ^b(x)

. Dans ce cadre, on obtient l’équivalent

suivant au corollaire 5.30 :

Lemme 5.45. Il existe A, B >0 telles que pour tout φ ∈Γ (b),

∀x∈_R

^d

, ∀t≥κT (x, b), _P^¯

φ

σ

x, b, τ

_ζ^b(x)

≥(1 +α

_N

)d

^∞_φ

(0, b(x)) +t

≤Ae

^−B √ t

.

Remarque. Par abus, on notera encore(u

_k

(x))

_k∈

N

, (v

_k

(x))

_k∈

N

, K(x)etσ(x)les

quan-tités

u

_k

x, b, τ

_ζ^b(x)

k∈_N

,

v

_k

x, b, τ

_ζ^b(x)

k∈_N

, K

x, b, τ

_ζ^b(x)

et σ

x, b, τ

_ζ^b(x)

. La section

Zone couplée étant indépendante des sections précédentes, il ne doit pas y avoir de

confu-sion.

Le corollaire suivant suit immédiatement.

Corollaire 5.46. Il existe A, B, c > 0 telles que pour tout φ∈Γ (b), tout x∈_R

d

et tout

t≥κT (x, b) :

d

^∞_φ

(0, b(x))≤ct=⇒_P^¯

_φ

(σ(x)≥t)≤Ae

^−B √

t

.

On rappelle maintenant un résultat de R. Durrett ([16]) obtenu comme conséquence

de la construction de Bezuidenhout et Grimmett ([4]) :

Proposition 5.47 (Durrett). Soient β et β^˜ deux processus de contact indépendants de

paramètreλ > λ

_c

(_Z)évoluant sur le même graphe_Zsous_P. Alors il existe des constantes

A, B, C >0 telles que pour tout x∈_Z,

kxk

₁

≤Ct⇒ _P

β

_t

6=_∅, β^˜

_t^x

6=_∅, β

_t

∩β^˜

_t^x

=_∅

≤Ae

^−Bt

.

Définition 5.48. On fixe alors C

_Z

> 0 une telle constante et on fixe aussi c > 0 la

constante donnée par le corollaire 5.46 que l’on suppose inférieure à C

_Z

/2.

On peut alors montrer le lemme suivant :

Lemme 5.49. Il existe des constantes A, B >0 telles que pour tout φ ∈Γ∩Γ (b), tout

x∈_R

d

et tout t≥max

κT (x, b),

4 C_Z

T

₂

(0, q),

4 C_Z

T

₂

(x, q)

,

d

^∞_φ

(0, x)≤ct et d

^∞_φ

(0, b(x))≤ct=⇒_P

_φ

ξ

_t

6=_∅, q(x)∈ξ

^C ∞ φ t

\ξ

_t

≤Ae

^−B √ t

.

Preuve. Soient donc φ ∈ Γ∩Γ (b), x ∈_R

d

tel que d

^∞_φ

(0, x) ≤ ct etd

^∞_φ

(0, b(x)) ≤ ct et

t≥max

κT (x, b),

_C⁴

Z

T

2

(0, q),

_C⁴

Z

T

2

(x, q)

.

La preuve fera appel au lemme 5.45 ainsi qu’à la proposition 5.5 c’est pourquoi on doit

prendreφ ∈Γ∩Γ (b).

La stratégie ici est de regarder la construction graphique de Harris sur l’intervalle de

temps [0;t] et de considérer deux processus de contact couplés d’une certaine manière

• le premier est en fait exactement ξmais que l’on n’observe que jusqu’au tempst/2,

• tandis que l’autre correspond au processus de contact partant de la configuration

{q(x)}au tempstmais pour lequel on a renversé le temps et que l’on observe aussi

pendant sur un intervalle de taillet/2.

Ces deux processus sont alors indépendants car ils évoluent sur des zones spatio-temporelles

disjointes. On utilisera ensuite la construction précédente pour garantir qu’avec grande

probabilité chacun d’eux engendre une sous-population qui survive sur _Z(x) avant un

tempst/2 et on sera alors en mesure d’utiliser le résultat 5.47 de R. Durrett qui assurera

qu’avec grande probabilité, si les deux processus indépendants mentionnés précédemment

survivent jusqu’au temps t/2, alors ils sont d’intersection non-vide au temps t/2 et on

verra que sur cet événement on a l’implication :

x∈ξ

^C

∞

φ

t

=⇒x∈ξ

_t

,

ce qui achèvera la preuve.

Soit >0 tel que ≤

KC_Z

2

. Le choix de est motivé par la suite lorsque l’on souhaite

utiliser la proposition 5.5 (croissance au plus linéaire).

On considère les processus (ξ

_s

)

_0≤s≤t/2

,

ξ^˜

q(x) s 0≤s≤t/2

ainsi que

ζ

a s

◦θ

_t/2 0≤s≤(1−)t/2

et

ζ^˜

_s^b

0≤(1−)t/2

oùa, b∈_Z(x) et où l’on a noté :

˜

ξ

^q_s^(x)

:=

ⁿ

y∈C

_φ^∞

: q(x)∈ξ

^y_s

◦θ

t−s o

et ˜ζ

_s^b

:=

ⁿ

y ∈_Z(x) : b∈ζ

_s^y

◦θ

₍₁−/2)t−s o

.

On rappelle que ζ désigne le processus de contact couplé avecξ évoluant sur _Z(x). Les

processus

ξ^˜

q(x) s 0≤s≤t/2

et

ζ^˜

b s

0≤(1−)t/2

sont des processus de contact mais pour lesquels

le temps a été renversé. Remarquons que :

• sia∈ξ

_t/2

∩_Z(x), b∈ξ^˜

_t/^q(x₂⁾

∩_Z(x) etζ

₍₁^a_−)t/2

◦θ

_t/2

∩ζ^˜

₍₁^b_−)t/2

6=_∅alors q(x)∈ξ

t

;

• si q(x)∈ξ

^C ∞ φ t

, alors ˜ξ

_t/^q(₂^x)

6=_∅;

• si ξ

_t

6=_∅, alors ξ

_t/2

6=_∅.

Posons :

E

₁

:=

ⁿ

ξ

_t/2

6=_∅

^o

\

ⁿ

∃a∈_Z(x)∩ξ

_t/2

∩B

_φ^∞

(C

_Z

t/4) : ζ

₍₁^a_−)t/2

◦θ

_t/2

6=_∅

^o

,

Et

E

₂

:=

ⁿ

ξ^˜

_t/^q(₂^x)

6=_∅

^o

\

ⁿ

∃b∈_Z(x)∩ξ^˜

_t/^q(x₂⁾

∩B

_φ^∞

(q(x), C

_Z

t/4) : ˜ζ

₍₁^b_−)t/2

6=_∅

^o

.

On a :

P

φ

ξ

_t

6=_∅, q(x)∈ξ

^C ∞ φ t

\ξ

_t

≤_P

_φ

ξ

_t/2

6=_∅, ξ^˜

_t/^q(₂^x)

6=_∅, ξ

_t/2

∩ξ^˜

^q_t/⁽₂^x)

=_∅

≤_P

_φ

(E

₁

) +_P

_φ

(E

₂

) +S,

où la somme S est égale à :

X a∈B∞ φ(q(0),C_Zt/4)∩_Z(x) b∈B∞ φ(q(x),C_Zt/4)∩_Z(x)

P

φ

ζ

₍₁^a_−)t/2

◦θ

_t/2

6=_∅, ζ^˜

₍₁^b_−)t/2

6=_∅, ζ

₍₁^a_−)t/2

◦θ

_t/2

∩ζ^˜

₍₁^b_−)t/2

=_∅

.

Pour tous les couples (a, b) qui apparaissent dans la sommeS, commec≤C

_Z

/2 (voir

la définition 5.48), alorsd

^∞_φ

(0, x)≤ct implique :

d

^∞_φ

(a, b)≤d

^∞_φ

(a,0) +d

^∞_φ

(0, x) +d

^∞_φ

(x, b)

ce qui nous permet d’utiliser la proposition 5.47 pour contrôler S. On remarque que le

nombre de couple (a, b) dansSest contrôlé par définition deT

₂

(x, q) et T

₂

(0, q) ainsi que

par choix det.

Il reste maintenant à contrôler les probabilités des événements E

₁

et E

₂

. Nous avons

fait une construction (procédure de renormalisation) qui nous permet de contrôler E

₁

à

l’aide du corollaire 5.46 (φ ∈ Γ (b)) comme on va le voir immédiatement. E

₂

lui n’a pas

la même probabilité que E

₁

mais il lui ressemble fortement et en fait une étude similaire

à celle de E

₁

permet de conclure. Posons :

E

₁⁰

:={τ =∞} \

ⁿ

∃a∈_Z(x)∩ξ

_t/2

: ζ

₍₁^a_−)t/2

◦θ

_t/2

6=_∅

^o

.

On a :

P

φ

(E

₁

)≤_P

_φ

(E

₁⁰

) +_P

_φ

(t/2≤τ <∞) +_P

_φ

H

_t/2

∩C

_φ^∞

_*B

_φ^∞

(C

_Z

t/4)

.

Or par choix de , C

_Z

t/4≥Kt/2 et en vertu de la proposition 5.5 (φ∈Γ) :

P

φ

H

_t/2

∩C

_φ^∞

_*B

_φ^∞

(C

_Z

t/4)

≤Ae

^−Bt/2

.

Enfin, par construction :

P

φ

(E

₁⁰

)≤_P

_φ

(τ =∞) ¯_P

_φⁿ

∃a ∈_Z(x)∩ξ

_t/2

: ζ

₍₁^a_−)t/2

◦θ

_t/2

6=_∅

^oc

≤_P^¯

φ

(σ(x)≥t/2)

où l’exposant c désigne le complémentaire de l’événement. En effet, sur l’événement

{σ(x)< t/2}, au temps σ(x), on a b(x) ∈ ξ

_σ(x)

et τ

_ζ^b(x)

◦θ

_σ(x)

= ∞ ce qui implique

qu’au temps t/2 > σ(x), il existe a ∈ _Z(x)∩ξ

t/2

tel que ζ

₍₁^a_−)t/2

◦θ

t/2

6= _∅. Enfin,

on remarque que si d

^∞_φ

(0, b(x)) ≤ ct alors la dernière probabilité est contrôlée par le

corollaire 5.46 (φ∈Γ (b)) ce qui achève la preuve.

On déduit facilement le contrôle de croissance pour la zone couplée des résultats 5.49

et 2.10 (b est une fonction de démarrage). On rappelle que sous ¯_P, la variable aléatoire

Φ donne la réalisation de l’environnement aléatoire spatial.

Proposition 5.44. Il existe des constantes A, B >0 telles que pour tout t≥0,

¯

P(B

_Φ^∞

(ct/2)_*K

_t

)≤Ae

^−B √

Preuve. Soit t ≥0, et notonsT := max (κT (x, b),4/C

_Z

T

₂

(0, q),4/C

_Z

T

₂

(x, q)), on a :

¯

P(B

_Φ^∞

(ct/2)_*K

_t

)≤_E

"

1

ρ

λ

(_N)^P

^φ

B

_φ^∞

(ct/2)_*K

_t

, τ =∞

#

≤_E

  

1

ρ

_λ

(_N)^P

^φ    [ x∈B∞ φ(ct/2)

{x /∈K

_t

, τ =∞}

     

≤_E

  

1

ρ

_λ

(_N)^P

^φ    [ x∈B^∞_φ(ct/2)

x∈ξ

^C ∞ φ t

\ξ

_t

, ξ

_t

6=_∅

     

≤ ¹

ρ

_λ

(_N)^E

  

1

{T≥t}

+1

S x∈B∞ φ(ct/2)

{

d∞ φ(0,b(x))>ct

}⁺

X x∈B_φ^∞(ct/2)

Ae

^−B √ t   

où la dernière ligne est due au lemme 5.49. On remarque alors que la probabilité de

l’événement {T ≥t} est contrôlée par les lemmes 2.22 et 2.24. Enfin, on a :

[

x∈B∞

φ(ct/2)

n

d

^∞_φ

(0, b(x))> ct

^o

⊆

ⁿ

d

^∞_φ

(0, b(0)) > ct/2

^o

dont la probabilité est contrôlée par la proposition 2.12. Ceci achève la preuve.

On peut alors enfin faire la preuve de la proposition 5.42 :

Proposition 5.42. Il existe des constantes A, B >0 telles que pour tout t≥0 :

¯

P(0∈/ K

_t⁰

)≤Ae

^−B √

t

.

Preuve. Soit t ≥0, on peut écrire :

¯

P(0∈/ K

_t⁰

) = ¯_P(∃s≥t: 0 ∈/ K

_t

)

≤

+∞ X k=btc

¯

P(B

_Φ^∞

(ck/2)_*K

_k

)

+

+∞ X k=btc

¯

P

 

{B

^∞_Φ

(ck/2)⊆K

_k

} ∩

[ s∈[k,k+1[

{0∈/ K

_s

}

 

.

La première somme est contrôlée par le contrôle de croissance pour la zone couplée 5.44.

Pour la seconde, fixons φ ∈ {∃! amas ∞} et k ≥ btc, supposons queB

_φ^∞

(ck/2)⊆ K

_k

et

considérons s ∈ [k, k+ 1[ tel que 0 ∈/ K

_s

. Alors, il existe x ∈ C

_φ^∞

tel que q(0) ∈ ξ

_s^x

\ξ

_s

.

Commeq(0)∈ξ

x s

ets ≥k, il existey∈ξ

x k

tel queq(0)∈ξ

_s^y_−k

◦θ

_k

. Siy∈B

_φ^∞

(ck/2)⊆K

_k

,

alors ξ

_k

(y) = ξ

^C ∞ φ

k

(y) = 1, ce qui implique que y ∈ ξ

_k

. Maintenant, comme q(0) ∈

nécessairement y /∈B

_φ^∞

(ck/2), donc :

¯

P

φ   n

B

_φ^∞

(ck/2)⊆K

_k^o

∩

[ s∈[k,k+1[

{0∈/K

_s

}

 

≤ ¹

ρ

_λ

(_N)^P

^φ  

θ

_k⁻¹   

q(0)∈

[ s∈[0,1[

ξ

^C ∞ φ \B^∞_φ(ck/2) s     

≤ ¹

ρ

_λ

(_N)^P

^φ  

q(0)∈

[ s∈[0,1[

ξ

^C ∞ φ \B∞ φ(ck/2) s  

≤ ¹

ρ

_λ

(_N)^P

^φ   [ s∈[0,1[ n

ξ

_s

_*B

_φ^∞

(ck/2)

^o  

≤ ¹

ρ

_λ

(_N)^P

^φ

H

₁

∩C

_φ^∞

_*B

_φ^∞

(ck/2)

.

Et on contrôle ce dernier terme grâce à la proposition 5.5 (croissance au plus linéaire).

Cela achève la preuve.

6 Notations

Dans cette section, on abrège processus de contact par PC.xetydésignent des points

de_R

d

,t un réel positif etn un entier.

Symboles Significations Page

d dimension de l’espace

µ

_c

(d) intensité critique pour la percolation Booléenne sur_R

^d

λ

_c

(d, µ) intensité critique du PC sur le graphe Booléen

d’intensitéµ > µ

_c

(d)

k.k

₂

norme euclidienne

B(x, t) boule associée à k.k

₂

de centrex et de rayon t

λ

_c

(_N) intensité critique du PC sur _N

E

^Bool

arêtes du graphe Booléen 15

X espaces des réalisations de Φ 15

φ élément de X

Φ processus ponctuel de Poisson d’intensité µ > µ

_c

(d) 15, 36

G

_b

(Φ) graphe Booléen associé au processus Φ

C

_φ^∞

amas infini du graphe Booléen en environnement φ 16

q(x) point de l’amas infini le plus proche de x 16

d

^∞_φ

(x, y) distance de graphe dansC

_φ^∞

entreq(x) et q(y) 16

B

_φ^∞

(x, t) points y deC

_φ^∞

tels que d

^∞_φ

(x, y)≤t 16

b(x) biffurcation la plus proche de x 19

% constante vérifiant 2.12 22

σ constante vérifiant 2.17 26

ˆ

C

_n

(q) chemins Booléens de longueur n partant de q(0)

T

₁

(x) réel positif tel que n≥T

₁

(x) implique ˆC

_n

(q)◦T

_x

≤σ

n

29

K constante satisfaisant la propriété de croissance au plus linéaire

ρ

_λ

(_N) probabilité de survie du PC de paramètre λ sur_N

T

₂

(x) réel tel que t≥T

₂

(x) implique|Φ∩B(q(x), t)| ≤t

d+1

30

Γ configurations φ telles que T

₁

<∞ etT

₂

<∞ 31

T (x) réel à partir duquel on contrôle un voisinnage autour de x 31

˜

Ω marques nécéssaires à la construction graphique du PC 34

Ω configurations de l’environnement aléatoire 35

P probabilité intégrée 36

ξ processus de contact 37

P

φ

probabilité gelée en environnement φ sur ˜Ω 40

T

_x

translation spatiale de vecteur x 40

θ

_t

translation temporelle de paramètret 41

Q

t

(x) hypercube de centrex et de côté 2t

t(x) temps d’atteinte de q(x) 42

H

_t

points x de_R

d

tels que t(x)≤t 42

τ temps d’extinction du PC 42

θ constante technique définie en 5.2.4 57

Symboles Significations Page

¯

P

φ

probabilité gelée conditionnée à la survie du PC 61

¯

P probabilité ¯_P

_φ

intégrée en φ 60

σ(x) temps d’atteinte essentiel de q(x) 62

˜

θ

_x

translation spatio-temporelle de vecteur x et de tempsσ(x) 62

κ constante technique définie en 5.3.3 72

G

_t

points x de_R

d

tels que σ(x)≤t 90

K

_t

points x de_R

d

tels que ξ

_t

(q(x)) =ξ

^C

∞

φ

t

(q(x)) 92

K

_t⁰

zone couplée 92

C

_Z

constante satisfaisant la proposition 5.47 97

References

[1] Peter Antal and Agoston Pisztora. On the chemical distance for supercritical

Ber-noulli percolation. Ann. Probab., 24(2) :1036–1048, 1996.

[2] Adrian Baddeley. Spatial point processes and their applications. In Stochastic

geo-metry, volume 1892 of Lecture Notes in Math., pages 1–75. Springer, Berlin, 2007.

[3] D. Bertacchi, N. Lanchier, and F. Zucca. Contact and voter processes on the infinite

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