Cette dernière section est consacrée à l’introduction de résultats élémentaires en théo-rie du contrôle. Nous ne considérerons que des équations différentielles en nombre fini pour lesquelles le contrôle est recherché de sorte à minimiser une expression intégrale en un temps donné. Nous définirons la notion de contrôlabilité puis exposerons le principe du maximum de Pontriaguine utilisé dans le chapitre 3. Au contraire de résultats plus généraux, la démonstration de ce résultat peut ici être menée avec des arguments simples [OPT].
0.4.1 Contrôle en dimension finie
Considérons le système d’équations différentielles ˙x = φ(x, u, t) ,
avec x = (x1, ..., xn) définissant l’état du système et u = (u1, ..., uq) le paramètre de contrôle avec q ≤ n. Notre objectif est de déterminer un contrôle u = ˆu pour lequel l’intégrale
Z t=T t=0
f (x(t), u(t), t) dt est minimale pour un temps donné T .
La difficulté de ce problème porte sur les contraintes imposées au contrôle. Le contrôle peut par exemple représenter l’angle fait par le volant d’une voiture nécessaire à l’obten-tion d’une trajectoire donnée. Dans cet exemple, on voit que le contrôle peut atteindre les bornes de son domaine d’existence. On aura alors u ∈ U avec U ⊂ Rq ensemble fermé. Par ailleurs, le conducteur peut modifier de façon très brusque la trajectoire de la voiture en tournant très énergiquement le volant. À la limite, on impose alors que u soit une fonction continue par morceaux (u ∈ P C([0, t], Rq)). Finalement, on résout le problème (P ) suivant J (x, u) = Z t=T t=0 f (x(t), u(t), t) dt → min , ˙x(t) = φ(x(t), u(t), t) , t ∈ [0, T ] , x(0) = x0, avec les contraintes
u(t) ∈ U , u ∈ P C([0, t], Rq) ,
imposant une trajectoire (cf. Cauchy-Lipschitz) C1 par morceaux (x ∈ P C1([0, T ], Rn)).
0.4.2 Contrôlabilité
Définition 0.7. Le système ˙x = φ(x, u, t) est dit contrôlable en temps T s’il existe pour tous x0, x1 ∈ Rn un contrôle u tel quel la trajectoire x = x(t) solution du système d’équations différentielles relie le point x0 au point x1 en le temps T .
Il existe de nombreux théorèmes permettant d’établir la contrôlabilité d’un système, le plus connu est donné par la condition de Kálmán.
Théorème 0.7. Lorsque U = Rq et φ(x(t), u(t), t) = Ax(t) + Bu(t) + r(t) avec A et B des matrices indépendantes du temps et r un vecteur de dimension n, le système est contrôlable en un temps T quelconque si et seulement si la matrice
C = (B, AB, ..., An−1B) est de rang n.
C’est seulement lorsque le problème de l’existence d’un contrôle est résolu que nous pouvons nous poser la question de savoir si parmi les contrôles réalisant le passage de x0 vers x1, il en existe un qui minimise une fonctionnelle donnée. Cette question nous mène au principe du maximum.
0.4.3 Principe du maximum de Pontriaguine
Avant d’énoncer pour quelles conditions nous pouvons espérer pouvoir minimiser la fonctionnelle J , il faut préciser la topologie sur laquelle nous travaillons.
Définition 0.8. La trajectoire ˆξ = (ˆx, ˆu) est nommée minimum local fort dans le pro-blème (P ) et nous écrivons ˆξ ∈ slocmin P s’il existe un réel > 0 tel que J (ξ) ≥ J ( ˆξ) pour toutes solutions de (P ) telles que
||x − ˆx||C([0,T ],Rn) < , avec ||x||C([0,T ]Rn)= max
i=1...n, t∈[0,T ]|xi(t)|.
Nous pouvons remarquer que deux trajectoires proches ξ1 et ξ2 ne requièrent pas de conditions sur les contrôles u1 et u2 associés.
Théorème 0.8. Désignons par ˆξ = (ˆx, ˆu) la trajectoire optimale du problème (P ) (qui minimise la fonctionnelle J ). Les fonctions f et φ sont continues dans un voisinage de l’ensemble Γˆx× U , les dérivées fx et φx définies sur ce même ensemble et continues pour les points de l’ensemble Γxˆˆu(S) avec
Γˆx = {(t, ˆx(t)), t ∈ [0, T ]} , et
Γxˆˆu(S) = {(t, ˆx(t), ˆu(t)), t ∈ S} ,
l’ensemble S rassemblant les points de [0, T ] pour lesquels la fonction ˆu est continue. Si ˆξ est une trajectoire optimale alors la fonction H(x, u, t, p) = pφ(t, x, u) − f (t, x, u) atteint son maximum en ˆξ, on écrit
H(t, x, u, p) ≤ H(t, ˆx, ˆu, p) , ∀t ∈ S, ∀u ∈ U , avec p l’unique solution de l’équation différentielle
− ˙p(t) = Hx(t, ˆx(t), ˆu(t), p(t)) , vérifiant la condition finale
p(T ) = 0 .
Pour plus de renseignements, l’ouvrage de Trélat [TRE] constitue une introduction très accessible au domaine.
1 Étude théorique et numérique par
transformation de
Helmholtz-Kirchhoff
Sommaire
1.0 Présentation . . . 50 1.1 Introduction . . . 51 1.2 Geometrical transformation . . . 54 1.2.1 General case . . . 54 1.2.2 Circular case . . . 57 1.2.3 Polygonal case . . . 57 1.3 Theoretical results . . . 59 1.3.1 Evolution equation . . . 60 1.3.2 Existence and uniqueness result . . . 62 1.4 Discrete problem . . . 64 1.4.1 Discrete law and notations . . . 65 1.4.2 Discrete model . . . 66 1.4.3 Numerical scheme . . . 69 1.5 Numerical experiments . . . 70 1.5.1 Source-case . . . 70 1.5.2 Sink-case . . . 71 1.6 Cas d’une cellule de Hele-Shaw en coin . . . 75 1.6.1 Démonstration . . . 78 1.6.2 Étude numérique . . . 79 1.6.3 Conclusion . . . 80 1.7 Équation de Demidov généralisée . . . 81 1.7.1 Mise en équation . . . 81 1.7.2 Interprétation géométrique . . . 83 1.7.3 Schéma numérique du quasi-contour . . . 84 1.8 Perspectives . . . 86 1.8.1 Exposé du problème . . . 86 1.8.2 Équations de liaison . . . 89 1.8.3 Résultats envisagés . . . 911.0 Présentation
L’utilisation d’une transformation de type Helmholtz-Kirchhoff dans le problème de Hele-Shaw a été introduite par Alexandre Demidov dès la fin des années 1990 ([12], [13]). En collaboration avec Jean-Pierre Lohéac, une méthode numérique a été développée au cours des années 2000 ([18], [19]). Ce travail s’inscrit dans la continuité de cette coopé-ration et peut se résumer par les trois points suivants.
– Une amélioration du schéma numérique est proposée permettant de transformer ce schéma en un problème de Cauchy en dimension finie. Auparavant, l’estimation d’un paramètre dα0
dt était nécessaire à chaque itération et menait à une forte insta-bilité rendant quasiment impossible l’obtention de résultats crédibles. Par ailleurs, à chaque itération, le calcul d’une intégrale de volume sur un domaine Π (une demi-bande infine) était nécessaire, ralentissant de beaucoup l’efficacité de l’algorithme. En donnant une nouvelle position aux points du quasi-contour, le paramètre dα0
dt a pu être éliminé et les calculs d’intégrales doubles tous transformés en des calculs d’intégrales simples sur le bord du domaine Π.
– La disparition d’intégrales doubles a permis de généraliser la méthode à toutes sortes de configurations géométriques, incluant les cas où le fluide occupe un domaine d’aire infinie (complémentaire d’un domaine simplement convexe) et les problèmes de type Saffman-Taylor.
– Pour finir, une simplification dans l’équation intégro-différentielle a été trouvée et le schéma correspondant explicité. Les résultats obtenus nous laissent penser qu’au-cune autre simplification substantielle ne pourra être apportée et nous pouvons considérer ce travail comme achevé. Il reste cependant à démontrer la convergence du schéma numérique vers la solution exacte.
Ce chapitre se présente de la façon suivante : les parties 1.1 à 1.5 reproduisent l’article (I) (voir avant-propos). La partie 1.6 contient le compte rendu (II) publiée fin 2013 et par-tiellement rédigé en français. La partie 1.7 nommée Équation de Demidov généralisée expose une dernière équation intégro-différentielle ainsi que son schéma numérique géné-ralisant les approches des parties précédentes. Enfin, la partie 1.8 Perspectives propose d’appliquer la transformation de Helmholtz-Kirchhoff au problème de Muskat. Pour le moment, nous ne savons pas comment en extraire une équation du mouvement.
Début de l’article (I)
Stokes–Leibenson problem for Hele–Shaw flow: a critical
manifold in the space of contours
Abstract.
We here deal with the Stokes–Leibenson problem for a Hele–Shaw flow. By using a geometrical transformation inspired by Helmholtz–Kirchhoff method, we introduce an integro-differential problem which leads to the construction of a discrete model.
We first give a short recall about the source-case: global in time existence and unique-ness result for a H2-smooth initial contour close to a circular one, evolutionary structure of the solution, existence of a critical manifold of co-dimension 1 in the space of con-tours. This manifold contains one attractive point in the source-case corresponding to a circular contour centered at the source-point.
Our main subject concerns the development of a discrete model, called quasi-contour model, in order to get some qualitative properties of the motion.
This model provides numerical experiments which confirm above theoretical proper-ties, especially the existence of a critical sub-manifold of co-dimension 1 in space of quasi-contours. This sub-manifold contains one attractive point in the source-case cor-responding to a regular quasi-contour, centered at the source-point.
The main contribution of our quasi-contour model concerns the sink-case: numerical ex-periments show that above sub-manifold is attractive. Furthermore, this discrete model allows to extend previous results obtained by using complex analysis. It also provides numerical experiments linked to fingering effects.