3.6 Résultats numériques
3.6.4 Contrôle de houglass : le cylindre pincé avec bords libres
Pour finir, on s’intéresse au cas test du cylindre pincé avec bords libres initialement proposé dans [MAC 85]. Ce problème est très similaire à celui du cylindre pincé du "shell obstacle course" (cf. figure 3.9(a)). La différence ici est que le cylindre n’est plus supporté par des diaphragmes rigides mais est libre au niveau de ses deux sections extrêmes (voir figure 3.21). Les paramètres du problème changent aussi et le déplacement de référence vaut à présent ure f = 0.1139. Il est accordé dans la littérature que la version avec bords libres est plus facile à résoudre numériquement que la version avec les diaphragmes. La version avec bords libres nous intéresse tout de même ici car, du fait des libertés supplé-mentaires de mouvements qu’elle implique, les modes de hourglass des éléments "Mixte" et "Bbar local" de la section 3.5 apparaissent. Par ailleurs, si la popularité du problème en linéaire reste modérée, il faut savoir que le même problème existe en non linéaire géo-métrique et constitue un cas test incontournable. Il est alors nécessaire de pourvoir, dans un premier temps, le résoudre en linéaire. Pour cela, il faut mettre en place pour "Mixte" et "Bbar local" un contrôle de hourglass. Rappelant que le contrôle de hourglass déve-loppé dans ce travail est applicable pour du quadratique, on se restreint sur ce cas test aux éléments "Mixte 2 hg" et "Bbar local 2 hg".
x y z sym sym sym libre L/2 R u F
FIGURE3.21: Cylindre avec bords libres : description et données du problème.
On montre sur la figure 3.22 les déformées obtenues pour l’élément "Mixte 2" (fi-gure 3.22(a)) et pour l’élément "Mixte 2 hg" (fi(fi-gure 3.22(b)) pour un maillage composé de 8 éléments par côté. On voit clairement des oscillations sur la figure 3.22(a) alors que la structure semble parfaitement lisse sur la figure 3.22(b). Ces oscillations sont caracté-ristiques de la présence de modes de hourglass (voir, pour rappel, leur forme figure 3.5). La stabilisation proposée en section 3.5 semble par conséquent efficace sur ce problème pour l’élément mixte, elle permet de faire disparaitre ces oscillations ce qui traduit la suppression des modes de hourglass. Des observations analogues peuvent être effectuées pour l’élément B local (cf. figures 3.22(c) en comparaison avec la figure 3.22(d)). Il est à noter que l’effet des modes de hourglass est moins visible sur ce problème pour "Bbar local 2" que pour "Mixte 2". En effet, il a été nécessaire de prendre un facteur d’échelle de
3. Élément NURBS massif coque pour l’élasticité en petites perturbations
2000 pour observer ces modes avec "Bbar local 2" (contre 500 pour "Mixte 2"). Toutefois, le contrôle de hourglass apparait nécessaire pour obtenir une bonne déformée : il est aussi valable pour l’élément "Bbar local".
(a) Mixte 2 (amplitude 500). (b) Mixte 2 hg (amplitude 500).
(c) Bbar local 2 (amplitude 2000). (d) Bbar local 2 hg (amplitude 2000).
FIGURE 3.22: Configurations initiales (maillages) et déformées (UMz) pour le cylinder pincé avec bords libres.
De plus, on peut observer avec la figure 3.23 concernant la convergence de la solution en déplacement, que ces oscillations peuvent même avoir un effet néfaste sur le déplace-ment d’intérêt. En effet, la solution "Mixte 2" (figure 3.23(a)) converge nettedéplace-ment moins vite que la solution "Mixte 2 hg" (figure 3.23(b)). Le contrôle de hourglass parait donc né-cessaire et de bonne qualité car il permet de conserver le précision supérieure de l’élément mixte. Pour l’élément B local, l’effet du hourglass sur la solution en déplacement n’est quasiment pas notable ici du fait de la faible contribution des modes. Il existe d’autres cas tests pour lesquels les éléments mixte et B nécessitent du contrôle de hourglass. C’est le cas aussi par exemple de l’hémisphère pincé avec un trou (cf. annexe E).
Conclusion résumée 0 5 10 15 20 25 30 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
Nombre de points de contrôle suivant les longueurs
u Bbar local 2 Basique 2 Basique 3 Basique 4 Mixte 2 Référence
(a) Sans contrôle de hourglass.
0 5 10 15 20 25 30 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
Nombre de points de contrôle suivant les longueurs
u Bbar local 2 hg Basique 2 Basique 3 Basique 4 Mixte 2 Référence
(b) Avec contrôle de hourglass.
FIGURE3.23: Effet du contrôle de hourglass pour la solution en déplacement du cylindre pincé avec bords libres.
3.7 Conclusion résumée
Pour terminer, on rappelle les points qui, à l’issu de ce chapitre, nous paraissent consis-ter en des avancées du domaine :
1. Une méthode systématique pour construire une projection B consistante est de pas-ser par une formulation mixte.
2. Avec ceci, on a pu modifier l’interpolation de la moyenne dans l’épaisseur de la coque des composantes de contrainte afin de traiter le verrouillage de l’élément massif coque.
3. Il en résulte un élément NURBS de bas degré sans verrouillage très précis (degré 2 meilleur que degré 4 standard).
4. Une méthode "B locale" n’impliquant qu’une très faible dégradation de la précision de l’élément développé a permis de préserver une structure creuse de la matrice de rigidité.
Chapitre 4
Extension en non linéaire géométrique
Sommaire
4.1 Introduction . . . 110 4.2 Équations d’équilibre . . . 110 4.2.1 Version continue . . . 110 4.2.2 Version discrète . . . 112 4.3 Matrice tangente : stabilité de l’équilibre . . . 113 4.3.1 Version continue . . . 113 4.3.2 Version discrète . . . 115 4.3.3 Cas du flambage linéaire . . . 116 4.4 Résolution de l’équilibre . . . 117 4.5 Contrôle des modes de hourglass . . . 120 4.5.1 Stabilisation de l’équilibre . . . 120 4.5.2 Stabilisation de la matrice tangente . . . 121 4.6 Résultats numériques . . . 122 4.6.1 Calculs du flambage linéaire de structures . . . 123 4.6.2 Calculs en non linéaire géométrique . . . 126 4.7 Conclusion résumée . . . 138
4. Extension en non linéaire géométrique
4.1 Introduction
Dans ce dernier chapitre, on se place en non linéaire géométrique. On suppose que la coque reste élastique linéaire homogène isotrope mais que celle-ci est cette fois-ci sou-mise à de grandes rotations et de grands déplacements. L’objectif ici est de construire un élément NURBS massif coque qui conserve, dans ce cadre non linéaire, la bonne pré-cision pour de bas degré et des maillages grossiers des éléments développés en linéaire dans le chapitre 3. L’application des éléments massifs coque au contexte non linéaire pa-rait primordiale puisque c’est notamment dans ce genre de simulation que ces éléments connaissent un succès important en ingénierie (voir chapitre 1). La méthodologie mise en place pour les petites perturbations est basée sur une formulation mixte. Il semble ainsi qu’il faille partir de la méthode mixte de la section 3.3 et l’étendre en non linéaire géo-métrique pour gérer efficacement le verrouillage. C’est ce que nous proposons de faire dans ce chapitre. On se restreint à l’extension de l’élément mixte (cf. section 3.3) sans aborder la méthode "B locale". Pour ceci, on adopte une stratégie de type Lagrangien to-tal, c’est-à-dire que l’on effectue tous les calculs à partir de la configuration de référence (configuration non déformée). Comme en petites perturbations, on considère pour les dé-placements l’espace d’approximation