Contexte multicrit`ere

Les moyens ont ´evolu´e, la complexit´e des probl`emes `a r´esoudre est devenue telle qu’il n’est plus possible aujourd’hui de se fier au seul bon sens, bien souvent, du reste, incapable de pouvoir s’ex-primer ; l’extrˆeme complexit´e du monde moderne, l’acc´el´eration toujours plus grande du rythme de la vie ne permettent plus au responsable de se fier uniquement `a ce sens des affaires, gage certain de r´eussite il y a quelques d´ecennies encore. `A l’intuition et `a la d´eduction qualitative doivent se substituer une analyse plus rigoureuse et une expression num´erique des faits permet-tant d’´evaluer avec plus d’exactitude la d´ecision `a prendre. De plus, ramener la bonne sant´e de son entreprise au seul crit`ere ´economique, `a sa rentabilit´e interne n’a plus de sens dans un envi-ronnement concurrentiel ouvert o`u bien d’autres dimensions que des consid´erations ´economiques peuvent affecter le bon fonctionnement de l’entreprise.

Int´egrer dans sa logique de d´ecision un contexte ouvert multidimensionnel exige que l’on r´evise alors la formalisation des mod`eles de d´ecision. Il s’agit maintenant de prendre des d´ecisions dans un contexte d’´evaluation multidimensionnel o`u les m´ethodes d’analyse multicrit`ere peuvent ap-porter certains ´el´ements de formalisation int´eressants. Avant l’apparition des m´ethodes multi-crit`eres, les probl`emes de d´ecision se ramenaient le plus souvent `a l’optimisation d’une fonc-tion ´economique, constituant l’unique crit`ere de s´elecfonc-tion. Cette approche monocrit`ere avait le m´erite de d´eboucher sur des probl`emes math´ematiques bien pos´es mais qui n’´etaient pas toujours

repr´esentatifs de la r´ealit´e car :

– La comparaison de plusieurs actions possibles se fait rarement selon un seul crit`ere

– Les pr´ef´erences sur un crit`ere sont, dans bien des cas, difficilement mod´elisables par une fonction ; et lorsqu’il y a plusieurs objectifs, il est impossible de les atteindre tous `a la fois. La remise en cause de l’approche monocrit`ere (i.e. l’optimisation d’une fonction ´economique d’utilit´e globale), pour traiter les probl`emes de choix est due principalement au fait que cette approche manque de r´ealisme [Roy(2000)].

On peut encore ajouter que selon le mod`ele de rationalit´e limit´ee de Simon, le d´ecideur est naturellement tent´e de s’orienter vers une approche monocrit`ere, occultant la prise en compte de la complexit´e de la r´ealit´e et aboutissant au choix d’une solution satisfaisante mais non optimale. Lorsque l’´evaluation globale d’un objectif est complexe, il est n´ecessaire de d´ecomposer l’objectif `a atteindre en structurant l’ensemble des crit`eres d’´evaluation. L’approche multicrit`ere de l’aide `a la d´ecision permet de pallier cette restriction en augmentant le niveau de r´ealisme et de lisibilit´e donn´e au d´ecideur [Pomerol & Barba-Romero (1993)]. Construire un mod`ele prenant explicitement appui sur plusieurs crit`eres, traduit et formalise, un mode de raisonnement intuitif et naturel face `a un probl`eme de d´ecision qui consiste `a analyser s´epar´ement chaque cons´equence [Roy(1985)].

En aide `a la d´ecision multicrit`ere, les valeurs `a agr´eger sont g´en´eralement des pr´ef´erences, d’une alternative par rapport `a une autre ou des degr´es de satisfaction d’une alternative relativement `a des crit`eres.

Nous d´efinissons dans un premier temps la terminologie et les conditions minimales n´ecessaires pour d´efinir un probl`eme d’agr´egation multicrit`ere correspondant `a notre contexte applicatif. Al = {Al1, Al2, ..., All}: un ensemble de solutions ou alternatives (projets, actions, offres. . . ) parmi lesquelles le d´ecideur doit choisir.

C={c₁, c₂, ..., c_n}: un ensemble fini desncrit`eres permettant d’´evaluer les solutions. P(C)l’ensemble des parties deC.

x = {x₁, x₂, ..., x_n} : repr´esente le vecteur des ´evaluations partielles, de sorte que, x_i est le degr´e de satisfaction ou de performance par rapport au crit`ere c<sub>i</sub>. Les valeurs des x<sub>i</sub> sont exprim´ees dans l’intervalle[a, b],bcorrespond `a la satisfaction compl`ete d’un crit`ere,aexprime la non satisfaction compl`ete. G´en´eralement [a, b] est ramen´e `a l’intervalle [0,1]. Dans notre application nous consid´erons l’intervalle[0,20].

Ainsi, `a chaque alternative Alq ∈ Al est associ´e un profil xq = (x<sup>q</sup><sub>1</sub>, x<sup>q</sup><sub>2</sub>, ..., x<sup>q</sup><sub>n</sub>) avec x<sup>q</sup><sub>i</sub> l’´evaluation partielle deAlqselon le crit`erec_i.

Il s’agit alors, au vu de l’ensemble crit`eres, d’aboutir `a un classement des solutions de la meilleure `a la moins bonne, ou tout simplement `a trouver la meilleure solution. Deux principales approches sont possibles soit l’approche 1 (AC) “ agr´eger puis comparer ” ou l’approche 2 (CA) “ comparer puis agr´eger ” [Grabisch & Perny(2003)] [Grabisch(2005)].

Pour toute paire d’alternative (Alq, All) et leur vecteur de performances respectifs : (x^q₁, x^q₂, ..., x^q_n)et(xl

1, xl

2, ..., xl

n)on a :

Approche 1 (AC) : Il s’agit de r´esumer la valeur de toute alternative Alq par un score global H(Alq)calcul´ee `a partir de son vecteur de performances sur chaque crit`ere. Ce score est sens´e r´esumer la valeur globale de l’alternative et sert de base `a la comparaison multicrit`ere des alternatives. La forme g´en´erale des r`egles de d´ecision relevant de l’approche “agr´eger puis comparer”(AC) est la suivante :

º(Al^q, Al^l) =φ(H(x^q₁, ..., x^q_n), H(x^l₁, ..., x^l_n))

avec H un op´erateur d’agr´egation et φ la fonction qui permet d’´evaluer le degr´e de pr´ef´erence (º) deH(Alq)surH(All). Ceci suppose que toutes les alternatives sont com-parables. Une autre condition importante est que les ´echelles d’´evaluation de chaque crit`ere doivent ˆetre commensurables.

Approche 2 (CA) : Il s’agit dans cette approche de comparer tout d’abord, crit`ere par crit`ere, les performances des alternatives. Ainsi, pour chaque paire (Alq, All) et chaque paire d’´evaluation (x^q_i, xl

i)) relative au crit`ere i, un indice binaire de pr´ef´erence partielle est d´efini φ_i(x^q_i, xl

i). Une agr´egation de ces indices de pr´ef´erence partielle d´etermine par la suite la pr´ef´erence (º) deAl^qpar rapport `aAl^l. Formellement, cette approche s’´ecrit :

º(Al^q, Al^l) =H(φ₁(x^q₁, x^l₁), ..., φ_n(x^q_n, x^l_n)) avecHun op´erateur d’agr´egation etφ_iun op´erateur de comparaison.

Dans cette approche, on n’agr`ege plus les scores mais les pr´ef´erences, donc le probl`eme de commensurabilit´e de l’´echelle ne se pose plus. Toutefois le probl`eme r´eside dans le choix final de la meilleure alternative.

Dans le cadre de nos travaux et en rapport avec notre chapitre d’application, nous ne nous int´eresserons qu’au cas o`u la strat´egie d’agr´egation porte sur les degr´es de satisfaction des alterna-tives que l’on cherche `a comparer relativement `a un degr´e de satisfaction agr´eg´e. Par cons´equent, l’approche 1 est celle que nous adopterons par la suite. En effet, un ´evaluateur dans notre appli-cation n’est pas suppos´e connaˆıtre d’autres alternatives que celle qu’il ´evalue.

L’objectif est donc de construire une fonction, un op´erateur d’agr´egation,H : [a, b]ⁿ → [a, b] telle que, pour chaque alternativeAl^q, on ait :

o`uH(Al<sup>q</sup>)repr´esente l’´evaluation globale de la solutionAl<sup>q</sup>relativement `a tous les crit`eres,H ´etant l’op´erateur d’agr´egation `a d´eterminer. Les solutionsAlqpeuvent donc ensuite ˆetre class´ees relativement `a leur score agr´eg´eH(Alq).