Cette thèse contient 2 parties et une annexe. Certains chapitres de ce manuscrit sont issus d’articles soumis ou publiés. Ils correspondent donc à l’origine à des travaux indépendants les uns des autres, écrits en langue anglaise. L’auteur s’excuse des quelques répétitions et changements de notation qui en résultent.
1.5.1 Production scientifique
Articles parus ou à paraître dans des revues à comité de lecture
[Ar1] F.C., Accurate a posteriori error evaluation in the reduced basis method, Comptes Rendus Mathematique, 350(9-10):539 - 542, 2012.
[Ar2] F.C., M. Ghattassi et R. Joubaud, A multiscale problem in thermal science, ESAIM: PROCEEDINGS, décembre 2012, Vol. 38, p. 202-219.
[Ar3] F.C., A. Ern et T. Lelièvre, Accurate and online-efficient evaluation of the a posteriori error bound in the reduced basis method, accepté pour publication dans Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 2013.
[Ar4] F.C., A. Ern et G. Sylvand, Coupled BEM-FEM for the convected Helmholtz equation with non-uniform flow in a bounded domain, Journal of Computational Physics 257-A (2014), 627-644.
Prépublications
[Pr1] F.C., A. Ern, T. Lelièvre et G. Sylvand, A nonintrusive method to approximate linear systems with nonlinear parameter dependence.
[Pr2] N. Balin, F.C., F. Dubois, E. Duceau, S. Duprey, I. Terrasse, Boundary element and finite element coupling for aeroacoustic simulations.
[Pr3] F.C., A. Ern et T. Lelièvre, A nonintrusive Reduced Basis Method applied to aeroacoustic simulations
1.5 Contenu de la thèse 21
1.5.2 Plan de la thèse
La partie I regroupe les travaux effectués en acoustique.
Le chapitre 2 présente la formulation intégrale utilisée par EADS-IW pour résoudre les problèmes de diffraction d’ondes acoustiques dans l’air au repos par un objet dit impédant (les ondes sont partiellement absorbées à la surface de l’objet), voir la figure 1.6. L’équation étudiée
monopole acoustique
surface impédante Γ
Ω+
Ω−
n
Fig. 1.6.Géométrie du cas test pour le problème impédant
est l’équation d’Helmholtz classique (1.28) et la méthodologie présentée dans la section 1.3 est utilisée. En particulier, la condition de Robin modélisant le caractère impédant de l’objet complète les équations (1.32) pour donner un système d’équations bien posé sur les potentiels acoustiques. La preuve d’existence et unicité du problème obtenu est présentée et la preuve de la stabilité inf-sup de l’approximation en dimension finie par éléments de frontière est rappelée en suivant les travaux de [55]. La propriété de stabilité inf-sup est essentielle pour pouvoir utiliser la méthode des bases réduites : elle généralise l’hypothèse de coercivité faite dans la présentation des bases réduites dans la section 1.4.3. Enfin, les problèmes liés à l’existence de fréquences de résonance dans l’utilisation de certaines formulations intégrales sont rappelés et une solution à ce problème, inspirée des travaux de [23], est présentée. Le contenu de ce chapitre n’est pas nouveau, mais sert à poser les bases des raisonnements présentés dans le chapitre suivant.
Le chapitre 3 reprend l’article [Ar4] et traite le problème de diffraction d’onde acous- tique par un objet solide dans un écoulement potentiel dans un domaine borné Ω−de l’espace
et uniforme à l’extérieur de ce domaine, voir la figure 1.7. L’équation étudiée est l’équation d’Helmholtz convectée (1.27). La transformation de Prandtl–Glauert consiste en un changement de variable et un changement de fonction inconnue. Lorsque l’équation d’Helmholtz est convectée par un écoulement uniforme, il est connu qu’une transformation de Prandtl–Glauert particulière
1.5 Contenu de la thèse 23
Enfin, le chapitre 4 présente plusieurs expériences numériques à vocation de validation des formulations obtenues dans le chapitre 3 et d’illustration sur des cas tests industriels. En particulier, une application industrielle de la prépublication [Pr2] est présentée.
La partie II regroupe les travaux effectués sur la méthode des bases réduites.
Le chapitre 5 reprend la publication [Ar3], qui propose une amélioration de la méthode in- troduite dans la publication [Ar1] (cette dernière n’est pas reproduite dans le présent manuscrit). Comme expliqué dans la section 1.4.3, le succès de la méthode des bases réduites repose sur la formule (1.54) pour l’estimateur a posteriori, car les termes de cette formule sont soit précal- culables dans la phase offline de l’algorithme, soit calculables en complexité indépendante de la taille du problème. Cependant, comme illustré dans [Ar1] et [Ar3], cette formule est très sensible aux erreurs d’arrondis machine : au fur et à mesure que la méthode des bases réduites converge, les valeurs prises par l’estimateur d’erreur évalué selon la formule (1.54) sont typiquement de plusieurs ordres de grandeur plus grandes que l’erreur réellement commise. La formule (1.54) devient alors inopérante pour calculer l’estimateur d’erreur de manière précise. Le problème rencontré est similaire à celui qui intervient lorsque l’on évalue un polynôme près de ses racines : le résultat renvoyé par l’ordinateur peut être très différent du résultat exact. Dans [Ar1], nous avons proposé une nouvelle formule pour l’estimateur d’erreur a posteriori, sous la forme d’une combinaison linéaire d’évaluations de l’estimateur à des valeurs données du paramètre, qui sont calculées avec la formule kGµˆuµkV pendant la phase offline. Cette dernière formule ne peut pas
être utilisée dans la phase online, mais ne rencontre pas les problèmes de précision machine évo- qués ci-dessus. Les coefficients de la combinaison linéaire dépendent de la valeur du paramètre en lequel nous souhaitons évaluer l’estimateur d’erreur et sont calculés en résolvant un système linéaire. La difficulté qui subsiste est que ce système linéaire peut être très mal conditionné dans certains cas. Dans [Ar3], nous résolvons ce problème en introduisant une nouvelle formule sur le même modèle que celle de [Ar1], mais dont le système linéaire à résoudre pour déterminer les coefficients de la combinaison linéaire est toujours bien conditionné. La stratégie utilisée est basée sur la méthode d’interpolation empirique. Un exemple numérique académique est proposé et la méthode est également testée sur le problème acoustique décrit dans le chapitre 2, avec comme paramètre le coefficient d’impédance des objets, et où la stabilité inf-sup a été prou- vée. Dans ce problème, la constante inf-sup n’est pas indépendante du paramètre et une borne inférieure de cette constante n’est pas connue a priori, contrairement à ce qui a été supposé dans la section 1.4.3 où la constante de coercivité a été supposée indépendante du paramètre. Une possibilité pour calculer une borne inférieure de la constante inf-sup consiste à utiliser la méthode des contraintes successives [56], qui est rappelée à la fin de ce chapitre.
Le chapitre 6 reprend la prépublication [Pr1]. Dans la section 1.4.3, nous avons insisté sur le fait que la dépendance de l’opérateur et du second membre en les paramètres doit être affine pour pouvoir utiliser la méthode des bases réduites. Lorsque ce n’est pas le cas, une possibilité consiste à utiliser la méthode d’interpolation empirique pour rétablir l’hypothèse de dépendance affine de façon approchée. Cependant, cette méthode est intrusive, car elle nécessite de modifier les routines d’assemblage élémentaire du code considéré. Dans ce chapitre, nous proposons une méthode qui permet de rétablir l’hypothèse de dépendance affine de manière non intrusive, dans le sens où les routines d’assemblage élémentaires du code ne sont pas modifiées. Notre solution est également basée sur la méthode d’interpolation empirique et ne repose que sur l’hypothèse très raisonnable que l’utilisateur puisse récupérer les matrices complètes assemblées en certaines
24 1 Introduction générale
valeurs du paramètre qu’il aura sélectionnées de manière judicieuse. Un exemple numérique académique est proposé,et la méthode est testée sur un problème intégral résolu sur un maillage d’avion complet, ainsi que sur la deuxième formulation du problème aéroacoustique décrit dans le chapitre 3.
Le chapitre 7 est basé sur la prépublication [Pr3]. Ce chapitre reprend l’idée de nonintrusiv- ité introduite dans le chapitre 6. En particulier, de nombreuses variantes possibles pour obtenir une procédure non intrusive sont présentées, et les choix du chapitre 6 sont motivés. Enfin, la procédure est appliquée à la réduction de modèle par bases réduites aux problèmes aéroacous- tiques présentés dans la partie I, et non simplement aux matrices du problème comme c’était le cas dans le chapitre 6. Les applications numériques de ce chapitre illustrent les contributions apportées par les deux parties de cette thèse.
Le chapitre 8 reprend la publication [Ar2]. Il décrit un travail réalisé à l’école d’été CEM- RACS 2011 à Luminy. Il est motivé par la problématique industrielle de simulation rapide du champ de température dans une cabine d’avion, en présence de sources thermiques situées dans la soute et produites par des composants électroniques. Dans un premier temps, nous écrivons un solveur 2D en FreeFem++ pour résoudre les équations de Navier–Stokes incompressibles puis l’approximation de Boussinesq. Ensuite, nous considérons l’équation de la chaleur sous convec- tion constante et appliquons la méthode des bases réduites en prenant comme paramètres la conductivité thermique de différents éléments des composants électroniques.
Enfin, le chapitre B en annexe élargit la perspective industrielle et présente l’étude d’un modèle d’incertitudes non paramétriques, dans un contexte de vibration de plaques, pour résoudre un problème d’optimisation sous contraintes en probabilité. Dans le contexte d’aéroacoustique en aviation civile, une fois que nous disposons d’une méthode pour simuler la propagation du bruit généré par le turboréacteur, nous pouvons étudier la puissance acous- tique transmise aux passagers à travers le fuselage. Nous déterminons une condition nécessaire à imposer au modèle des plaques du fuselage pour garantir que la probabilité que la puissance acoustique transmise ne dépasse pas un certain seuil soit inférieure à un seuil de tolérance donné.