1.SUITES PRESQU'INCONDITIONNELLES ET MODELES ETALES D'UN DUAL
2. CONSTRUCTIONS UTILISANT DES ENSEMBLES ADMISSIBLES
Tous les espaces de suites classiques, que nous avons passés en revue au paragraphe précédent, ont une norme invariante par étalement sur la base canonique. Cela rend particulièrement simple 1Tétude de leurs modèles étalés, mais elle est bien peu significative de ce que l'on peut rencontrer en général. Tout en restant dans le cadre des espaces de suites, nous allons introduire de nouvelles normes, qui ne seront plus invariantes par
éta-lement sur la base canonique de IK^^ , et qui nous permettront de mieux apprécier certains phénomènes.
La construction de ces normes utilise toujours, sous une forme plus ou moins élaborée, une notion introduite pour la première fois (à notre connaissance) par J. Schreier I 6 2 ] , qui est celle de sous-ensemble admissible de (N :
DEFINITION :
Un sous-ensemble fini de (N, A = {n^<n2<. . .<n^} , est dit admissible si k ^ n 4.
Nous noterons Jf la classe des sous-ensembles admissibles de ( N .
Nous avons déjà rencontré cette condition à plusieurs reprises.
Par exemple, le théorème III . 1.1 donne, si (x ) c ... est basique,
fai-r y ' n n c IN
blement convergente vers 0, une sous-suite ( xT) c „ pour laquelle on peut
° n n c IN
estimer la norme de la projection sur span ^xj^j £ A ' Pour tout ensemble A admissible.
91
Dans d'autres cas, la condition était k ><C nA<...<n v ; on pourrait
1 2K
définir les ensembles admissibles de cette façon. Cela ne ferait aucune différence pour la suite : l'important est qu'il y ait une corrélation entre la longueur de l'ensemble et son premier élément.
Nous noterons x = (xCk)), ,XT une suite de scalaires.
k G (N
Nous aurons besoin de trois lemmes techniques, inspirés de [11]
A ) . TROIS LEMMES.
LEMME 1
Soit || . || une norme sur telle que || X a_^ e^ || = || £ |aj_ |ei || Q*
° i (et donc M I a.e.|| 4- \\ X a. e.ll , si A c B ) , et l| e || =1
I I . , i îilo M . n i ill o Il nil o
i e A i e B
pour tout n. On considère la norme || x|| = sup || P^x|| Q >e t o n
(iN) A e J r
note E le complété de K pour cette norme.
Soit (u ) ^ une suite étalante de blocs consécutifs normalisés n n E (N
la suite (e ) Si 11 u 11 0 .il existe pour tout p > 0 , n + oo
une sous-suite (u') ^ â A 7 telle que, pour tout n, || u!+...+u'|| < 1 + e.
n n £ iN ' 1 1 1 nil DEMONSTRATION
Supposons au contraire que, pour un certain e > 0, pour toute sous-suite (u^ )n £ ^ > il existe un n ) 1 tel que || u]j + ...+u^|| } 1 + e.
Puisque || u || -> 0 on peut extraire une sous-suite faite de n oo
n "> + 0 0
blocs décroissants, en ce sens que, pour tout n, min{ u (k) : u (k)| > 0 } > max u A ( k ) .
n n 1 n+1 '
On note encore cette sous-suite (u ) ^ _. Soit n, tel que || u„+...+u || > 1+e n n 6 IN 1 ^ " 1 n^"
Il existe un ensemble A admissible tel que H PA(V. . .+un i) | | o + e.
92
Notons A = {k^,,..,k } ; k^ se trouve sur le.support d'un certain bloc u (m. ^ n , ) . Définissons A' de la façon suivante : A' a le même premier
m^ 1 1
élément que A, le même nombre d'éléments, mais sature les blocs u , u m • n^ + 1
A' rencontre au moins deux (u.) consécutifs : on a donc trouvé un indice
J
Notons (f ) la suite fondamentale du modèle étalé construit n n G IN
sur la suite (u ) _ „,T. On a : n n € IN
|| f 1+ f2| | = Lim || u. +u. || > 1 + e/2 . p -> + oo ^p+1
Mais pour chaque j, lim ||u.+u,|| = 1. Ceci est contradictoire, k + + oo J R
puisqu'on se trouve sur une suite étalante. Le lemme est ainsi démontré.
LEMME 2
a) || x|| ^ | |x| |0 pour tout x £ K
Observons tout dTabord que la condition c) (avec b) ) implique
|| e +. . .+e || oo il 1 nll o
n + oo
Soit maintenant (u ) .une suite de blocs consécutifs normalisés, n n GIN
La norme ne dépendant que du module des coefficients, nous supposerons ceux-ci positifs pour simplifier les notations.
Puisque les blocs sont normalisés, on a u n( k ) ^ 1 pour tous n,k £ (N
cas pour une infinité de u., on extrait la sous-suite correspondante (u. ) .
i F 1 i i £IN
Pour chaque u de cette sous-suite, on met dans u' la coordonnée > -r- , ou (1) v . l'une d'elles s'il y en a plusieurs. On note v. le bloc obtenu à partir de
(1) 1
u. en remplaçant par 0 la coordonnée mise dans u'.
(1) . 1
On regarde à nouveau dans chaque v. s'il y a une coordonnée > -y.
( 1 )1 . .
Si c'est le cas pour une infinité de v. , on extrait la sous-suite
(2) 1 , 1 (2)
u^ correspondante, on met dans u' la coordonnée > et on appelle v^
le bloc obtenu en remplaçant par 0 les deux coordonnées > .
Soit n tel que II e„+...+e II > 2 . Il ne peut y avoir plus de n
o ^ H 1 n I I o ' r o
1 . . . ?
coordonnées > dans une infinité de blocs u.• En effet, s'il y en avait
2 i 5 J
n > n , on aurait, d'après 3 ) , tt 11 e,+ . ..+e II ^ 1 , ce qui est
contradic-o 2 M 1 nMo ^
1
toire. L'opération ci-dessus, pour les coordonnées> y , sera donc terminée . \
au bout d'un nombre fini d'étapes . On passe aux coordonnées > : sur u^
. 1 (1) (2)
s'il n'y avait qu'un nombre fini de coordonnées < y >sur v^ ou v^
etc., si l'on avait déjà extrait des sous-suites. On répète l'opération 1
pour -r un certain nombre de fois si nécessaire, (ce nombre est nécessairement . 3
Pour chaque i , si une coordonnée se trouve dans uî avec
o i o
1 1
—;—- ^ uï (k) ^ — - , on retrouve dans u'. , i > i , une coordonnée
2J+ 1 2J 1 o
vérifiant la même estimation. Le nombre de ces coordonnées est le même dans u! et u! , i > i
Mais, par construction, les coordonnées de chaque u^ se retrouvent dans tous les suivants, avec le même ordre de grandeur. Pour chaque n ^ 1 , on peut donc trouver i(n) tel que u!, x "contienne" uî |x ,...,u! |r et o n
i ( n ) i ^ ô , inlôn
peut le prendre assez loin pour que (dfaprès 3))
» ||
u|(
n) Il
=l l
ui ( n ) l l o "
On aura alors, dans E , une suite de blocs (W ) _ *T avec II W || >£ et
o n n M n " o
||w.+...+W II ^ 1 . Ceci implique que E contient c , contredisant c ) .
" 1 n M o v F M H o o9
Ceci achève la démonstration du lemme.
LEMME 3
Les hypothèses sont les mêmes qu'au lemme 2 ; on suppose en outre d) la base (e )n n C N ^ ^ r-,T est symétrique dans E , c'est-à-dire Q'
N i a . e;i ,. N || = 1 1 Z a - e. || ,
M i 7î(i) 11 o 1 1 i i" o * pour toute permutation TT des entiers.
Alors le modèle étalé construit sur la suite (u|)^ ^ ^ définie au lemme précédent est isométrique au modèle étalé engendré dans E^
par une suite de translatés ( t U ) , - -, , pour un u € E et une
* % k t IN r o
suite (n. )t r strictement croissante.
k k e IN DEMONSTRATION
Quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que pour chaque k ^ 0, les coordonnées des uf comprises entre ~1 1 1 et —r- admettent une
n 2k+i 2k
limite. Notons 1 ^ HA ^ • • • les limites ainsi obtenues. Définissons u par u(i) = (l1ordre des coefficients nTa pas d'importance, puisque la base est symétrique dans Eq) . Montrons dT abord que u (î E q . On sait que pour tout i, ||uî|| ^ 1 , donc, a fortiori || u! - (uï | , 1 ) 11 ^ 1 •
i i i 1 / 2Jc+l
Mais le "morceau" uî - (u! | , se retrouve dans tous les uî , j > i.
i i 1 / 2k+ 1 j
Ce morceau contient un nombre borné de termes (dépendant seulement de k, et non de i) et donc, pour j assez grand, dfaprès la propriété $ ) ,
2 > H « i - ( . l | ) / 2 k + 1 ) l l - I U ! - ( « i l i / 2 k + 1 ) H 0
et donc llull ^ 2 , si l'on considère seulement les termes £. >, 1/ 2 ^+^ *
0 i Mais ceci est vrai pour tout k, et donc N u 11 o N < ^
Déterminons maintenant le modèle étalé construit sur la suite (u!).
1 1
par un nombre qui ne dépend que de ô. Il en résulte que pour n^ assez grand k k
X a. v = E a. v
" A i n. 1 1 i n. 11 o
1 i 1 i
Puisque la norme || ,|| est invariante par permutation des coordonnées, on peut ranger chaque v^ par ordre décroissant des coordonnées, admettant les limites ^ > > ••• • Si l'on note nu l'indice du premier terme non
et appelons S la complétion d e K pour cette norme.