Constructions de syst`emes dynamiques ergodiques lin´eaires

Cas H₁(Z) Lorsque les phases (θ_k)_k∈Z et (υ_k)_k∈Z v´erifient les hypoth`eses H1(Z), le repr´esentant de l’op´erateur UZest une fonction faiblement mesurable de la variable al´eatoire (θ<sub>k</sub>,υ<sub>k</sub>)<sub>k∈Z</sub>d´efinie sur l’espace probabilis´e (Ω<sub>1</sub>,F1,P<sub>1</sub>). Cette application sera not´ee (UZ(ω))<sub>ω∈Ω1</sub>. La fonction caract´eristique d’un N-uplet de variables al´eatoires (X1, . . . ,XN) `a valeurs dans T est d´efinie par :∀u ∈ Z^N,

φ_X1,...,XN(u₁, . . . ,u_N) = E(e^−i(PNj=1ujXj)) .

Si par exemple X est une variable al´eatoire `a valeurs sur T distribu´ee selon la loi uniforme, ∀u ∈ Z,

φ_X(u) = E(e^−iuX) = δ_u,0 . (4.12)

Deux variables al´eatoires r´eelles X, Y ont mˆeme fonction caract´eristique si et seulement si elles ont mˆeme loi. Il est ´egalement possible de formuler l’ind´ependance d’une suite de variables al´eatoires en termes de fonctions caract´eristiques ([Boul], proposition 5.12) : une suite de variables al´eatoires `a valeurs r´eelles (X_i)_i∈N est ind´ependante si et seulement si pour tout choix d’indices (i₁, . . . ,i_N) et pour tout (u₁, . . . ,u_N)∈ ZN,

φ_Xi1,...,XiN(u₁, . . . ,u_N) =

N

Y

j=1

φ_Xij(u_j) .

Lemme 4.3.1 Si les suites (θ_k)_k∈Z et (υ_k)_k∈Z v´erifient les hypoth`eses H₁(Z), alors les variables al´eatoires (η_k)_k∈Z d´efinies par (3.26) sont aussi ind´ependantes et distribu´ees selon la loi uniforme.

Preuve : La fonction caract´eristique des phases (θ_k) et (υ_k) est donn´ee par (4.12). Pour tout choix d’indices k₁, . . . ,k_N deux `a deux distincts et pour tout (u₁, . . . ,u_N)∈ ZN,

Φ_{ηk1,ηk2,··· ,ηkN}(u₁,u₂,· · · ,uN) = E(e^−i(u1η_k1+u2η_k2+...+uNη_kN))

= E(e^−i(u1θ_k1+u1θ_k1−1+...+uNθ_kN+uNθ_{kN −1}))× E(e−i(u1υ_k1−u1υ_k1−1+...+uNυ_kN−uNυ_{kN −1}))

o`u l’ind´ependance relative des variables (θ_k) et (υ_k) est utilis´ee pour factoriser les fonctions caract´eristiques. Les indices (k_j) sont suppos´es ordonn´es. L’ind´ependance des variables permet de factoriser E(e^−i(ujθ_kj)

) (ou bien E(e^−i(ujυ_kj)

) d`es que : |kj − kj±1| > 1. Ce facteur est ´egal `a δ_uj,0δ_uj−1,0. Nous dirons qu’un tel k_j est isol´e. Il reste `a calculer des quantit´es de la forme :

E(e^−i(uj+1θ_kj+1+uj+1θ_kj+1−1+...+uj+m−1θ_kj+m−1+uj+m−1θ_kj+m−1−1)

) et E(e^−i(uj+1υ_kj+1−uj+1υ_kj+1−1+...+uj+m−1υ_kj+m−1−uj+m−1υ_kj+m−1−1)

) (4.14)

o`u pour tout l∈ {1, . . . ,m − 1}, kj+l± 1 = kj+l±1, entre deux indices isol´es cons´ecutifs u<sub>j</sub> et u<sub>j+m</sub>. Compte tenu de l’ind´ependance des variables al´eatoires consid´er´ees, la premi`ere de ces deux quantit´es se factorisera comme suit :

E(e−i(uj+1θ_kj)

)E(e^−i(uj+1+uj+2)θ_kj+1

) . . . E(e^−i(uj+m−2+uj+m−1)θ_kj+m−2

)E(e^−i(uj+m−1θ_kj+m−1)

) et sera ´egale `a 0 sauf si :

           u_j+1= 0 u_j+1+ u_j+2= 0 . . . uj+m−1+ uj+m−2 = 0 u_j+m−1= 0

On obtient alors : ∀l ∈ {1, . . . ,m − 1}, uj+l= 0. Dans ce cas, tous les facteurs de la forme (4.14) valent 1. Les facteurs bˆatis autour des variables al´eatoires (υ_k) m`enent aux mˆemes conclusions. En regroupant les contributions apport´ees par chaque facteur, on obtient :

Φ_{ηk1,ηk2,··· ,ηkN}(u₁,u₂,· · · ,uN) = N Y l=1 δ_ul,0= N Y l=1 Φ_ηkl(u_l) .

En vertu du crit`ere d’ind´ependance rappel´e pr´ec´edemment, ceci revient `a dire que les variables al´eatoires (η_k)_k∈Z sont ind´ependantes et identiquement distribu´ees selon la loi

uniforme sur T. _✷

Autrement dit, la mesure image de P₁ par l’application mesurable : (Ω₁,F1) −→ (Ω₁,F1)

(θ_k,υ_k)_k∈Z 7→ (η_2k−1,η_2k)_k∈Z

est P₁ elle-mˆeme. Par abus de notation, le repr´esentant de l’op´erateur UZconsid´er´e comme fonction mesurable de la variable al´eatoire (η_2k−1,η_2k)_k∈Zd´efinie sur (Ω₁,F1,P₁) sera encore not´e (UZ(ω))_ω∈Ω1.

L’espace probabilis´e (Ω₁,F1,P₁) est naturellement muni d’une transformation inversible S₁ pr´eservant la mesure et d´efinie par : ∀k ∈ Z,

(S1ω)_k = ω_k+1

= (η_2k+1,η_2k+2) = ((S₊η)_2k−1,(S₊η)_2k) (4.17) o`u S₊ est une simple translation agissant sur l’espace probabilis´e (TZ

,B(T)⊗Z,ν⊗Z) :∀k ∈ Z, (S₊η)_k = η_k+1. Autrement dit, S₁= S₊× S+ [Wa]. La transformation S₊´etant faible-ment m´elangeante ([Wa], th´eor`eme 1.26), la transformation S<sub>1</sub> est ergodique relativement `

a l’espace (Ω₁,F1,P₁) ([Wa], th´eor`eme 1.24).

La suite de matrices de transfert (T_k,λ)_k∈Z d´efinie lors de la recherche de solutions propres g´en´eralis´ees pour la famille d’op´erateurs (UZ(ω))_ω∈Ω1 par les relations (3.25) peut ˆetre red´efinie `a l’aide de la transformation S<sub>1</sub> et du g´en´erateur T<sub>[1]λ</sub> d’un syst`eme lin´eaire ergodique discret sur (Ω₁,F1,P₁) par :∀k ∈ Z,

T_k,λ(S1ω) = T_k+1,λ(ω) = T_[1]λ(S₁^kω) (4.18) o`u (T_[1]λ)11(ω) = −e^−i(λ+η1) (T_[1]λ)22(ω) = −¹ t2e^i(λ+η2)+^r 2 t2  e^i(η2−η1)+ 1− e^−i(η2+λ) (T_[1]λ)12(ω) = i^r t  e^−i(λ+η1)− 1^ (T_[1]λ)21(ω) = i^r t  e^i(η2−η1)− e^−i(λ+η1) , et λ est fix´e dans T.

Remarque :Compte tenu du Lemme 4.3.1, la suite de matrices de transfert d´efinie par les relations (4.18) peut ´egalement ˆetre per¸cue comme la r´ealisation d’une suite de variables al´eatoires ind´ependantes `a valeurs dans GL<sub>2</sub>(C). Le choix de phases (θ<sub>k</sub>) ind´ependantes et uniform´ement distribu´ees est une condition n´ecessaire et suffisante `a l’ind´ependance de la suite des matrices de transfert [BHJ].

Cas H₂(Z) Lorsque l’op´erateur UZv´erifie les hypoth`eses H<sub>2</sub>(Z), seules les phases al´eatoires (θ<sub>k</sub>)<sub>k∈Z</sub> interviennent dans la construction des processus ergodiques. Le repr´esentant de l’op´erateur UZest une fonction faiblement mesurable de la variable al´eatoire (θ<sub>k</sub>)<sub>k∈Z</sub>d´efinie sur l’espace probabilis´e (Ω<sub>2</sub>,F2,P<sub>2</sub>). Cette application sera ´egalement not´ee (UZ(ω))<sub>ω∈Ω2</sub>. N´eanmoins, le repr´esentant de l’op´erateur UZ et ses matrices de transfert ne d´ependent des phases (υ<sub>k</sub>)<sub>k∈Z</sub> et (θ<sub>k</sub>)<sub>k∈Z</sub> que par le biais des variables al´eatoires (η<sub>k</sub>)<sub>k∈Z</sub> d´efinies par l’´equation (3.26). Une preuve semblable `a celle du lemme 4.3.1 permet de justifier l’ind´ependance de ces phases :

Lemme 4.3.2 Si les suites (θ_k)_k∈Z et (υ_k)_k∈Z v´erifient les hypoth`eses H2(Z), les variables al´eatoires (η_k)_k∈Z d´efinies par :∀k ∈ Z,

η_k= θ_k+1+ θ_k+ υ_k+1− υk= θ_k+1+ θ_k+ 2πα , sont aussi ind´ependantes et distribu´ees selon la loi uniforme.

Par cons´equent, la mesure image de P₂ par l’application mesurable : (Ω2,F2)−→ (Ω1,F1)

(θ_k)_k∈Z7→ ((η2k−1,η_2k))_k∈Z

est `a nouveau la probabilit´e P₁. Le repr´esentant de l’op´erateur UZ n’´etant fonction que de la suite (η_k)_k∈Z est ´egalement une application mesurable d´efinie sur (Ω₁,F1,P₁) ´egalement not´ee (U (ω))_ω∈Ω1. L’espace probabilis´e (Ω₁,F1,P₁) est muni de la transformation inversible ergodique S₁, d´efinie au paragraphe pr´ec´edent par (4.17).

La suite de matrices de transfert (T_k,λ)_k∈Z d´efinie lors de la recherche de solutions propres g´en´eralis´ees pour la famille d’op´erateurs (UZ(ω))_ω∈Ω1 par les relations (3.25) se red´efinit ´egalement `a l’aide de la transformation S<sub>1</sub> et du g´en´erateur T<sub>[1]λ</sub> d’un syst`eme lin´eaire ergodique discret sur (Ω₁,F1,P₁) par les ´equations (4.18).

Remarque :Compte tenu du Lemme 4.3.2, la suite de matrices de transfert d´efinie par les relations (3.25) peut ´egalement ˆetre per¸cue comme la r´ealisation d’une suite de variables al´eatoires ind´ependantes `a valeurs dans GL₂(C).

Cas H3(Z) L’analyse spectrale d’un op´erateur UZ v´erifiant les hypoth`eses H3(Z) s’ap-puie ´egalement sur la construction d’un processus ergodique par le biais des phases (θ_k)_k∈Z. Le repr´esentant de l’op´erateur UZ et ses matrices de transfert ne d´ependent des phases (υ_k)_k∈Z et (θ_k)_k∈Z que par le biais des phases (η_k)_k∈Z d´efinies par (3.26) :∀k ∈ Z,

η_k= θ_k+1+ θ_k+ υ_k+1− υk= 4kπβ + 2π(β + α) + 2θ .

On posera : ω = 2θ. Le repr´esentant de l’op´erateur UZ est donc une fonction faiblement mesurable de la variable ω, d´efinie sur l’espace probabilis´e (Ω₃,F3,P₃). L’application UZ

sera aussi not´ee (UZ(ω))_ω∈Ω3.

Un calcul plus pr´ecis montre que les matrices de transfert du repr´esentant de l’op´erateur UZ, (T_k,λ)_k∈Z ne d´ependent en fait que d’une suite (ω_k)_k∈Z engendr´ee par l’action d’un flot S₃ sur l’espace probabilis´e (Ω₃,F3,P₃) = (T,B(T),ν) d´efini par :

S₃: T −→ T

ω 7→ 8πβ + ω ^.

∀k ∈ Z, ωk= S₃^kω o`u ω = 2θ. En effet, pour tout k∈ Z, les phases ηk se r´e´ecrivent: η_k= ω + 4πβk + 2π(β + α) .

L’expression (3.25) devient alors : ∀k ∈ Z, (T_k,λ)₁₁=−e^{−i(λ+8kβπ+ω+2π(α−β))} (T_k,λ)₂₂=−¹ t2e^{i(λ+8kπβ+ω+2π(β+α)))}+^r 2 t2  e^4iπβ + 1− e^{−i(8kπβ+2π(β+α)+ω)} (T_k,λ)₁₂= i^r t  e^{−i(λ+ω+2π(α−β)+8kπβ)}− 1^ (T_k,λ)₂₁= i^r t  e^i4πβ − e^{−i(λ+ω+2π(α−β)+8kπβ)} .

Comme β est irrationnel, le flot S₃ est une transformation ergodique inversible de l’espace probabilis´e (Ω₃,F3,P₃) ([Wa], th´eor`eme 1.8).

La suite de matrices de transfert (T_k,λ)_k∈Z permettant de reconstituer les coefficients des solutions propres g´en´eralis´ees de l’op´erateur UZ se red´efinit `a l’aide du flot S<sub>3</sub> et du g´en´erateur T<sub>[3]λ</sub>d’un syst`eme dynamique lin´eaire ergodique discret et d´efini sur (Ω₃,F3,P₃) par :∀ω ∈ Ω3,∀k ∈ Z, T_k,λ(S₃ω) = T_k+1,λ(ω) = T_[3]λ(S₃^kω) , (4.21) o`u (T_[3]λ(ω))11 = −e^{−i(λ+ω+2π(α−β))} (T_[3]λ(ω))22 = ^r 2 t2(e^4iπβ + 1− e^{−i(λ+ω+2π(β+α))})− ¹ t2e^{i(λ+ω+2π(β+α))} (T_[3]λ(ω))₂₁ = ^ir t^(e 4iπβ − e^{−i(λ+ω−6βπ+2π(α−β))}) (T_[3]λ(ω))₁₂ = ^ir t^(e −i(λ+ω+2π(α−β))− 1) , et λ est fix´e dans T.