Construction d’un symbole de Farey d’un sous-groupe

{C(F₁),Per(F₂)}_Γ,F +n C(F₁),Per(F₂)o Γ,F+n C(F₁),Per(F₂)o Γ,F +n C(F₁),Per(F₂)o Γ,F  =1 4 n C(F1),Per(F2)o Γ+n C(F1),Per(F2)o Γ  = (2i)^{k−2hF1, F2iΓ− hF1, F2iΓ} 2i ^{= (2i)} k−2Im (hF1, F2iΓ) .

Corollaire 2.11. La forme bilinéaire{·, ·}_Γ= {·, ·}_Γ,F définie sur H¹(Γ,Vk) × HomΓ(∆0,Vk) est indépendante du symbole de Farey utilisé pour la définir.

2.3 Construction d’un symbole de Farey d’un sous-groupe

Soit

F

= (

V

, ∗, µ) un symbole de Farey étendu pour Γ. Des algorithmes pour construire un symbole de Farey

F

′pour un sous-groupe Γ′de Γ sont bien connus depuis longtemps. Cependant, ils sont en général écrits pour Γ = PSL₂(Z). En cherchant à démontrer le comportement de la forme bilinéaire sous les opérateurs de Hecke, nous avons été amenés à reprendre ces algorithmes et à observer un phénomène particulier lorsque la courbe modulaire associée à Γ a plusieurs points elliptiques d’ordre 3. Ce paragraphe reprend donc cette construction.

Avant de passer à l’algorithme de construction de

F

^′, donnons quelques notations. Soit

C

un système de représentants de Γ′\Γ. Soit

W

=

C

×

V

. Notons eγ le représentant dans

C

de la classe Γ′γ. On a feγγ′= fγγ′. L’application qui à (ξ, a) ∈

W

associe l’arc géodésique ξa est injective car un arc de

V

ne peut être le transformé par un élément de Γ d’un autre arc de

V

et le stabilisateur d’un arc est réduit à ±Id. Nous identifions dans la suite (ξ, a) à ξa pour ξ ∈

C

et a ∈

V

. Pour ξa ∈

W

, posons

γ^′_ξa= ξγa_ξγf_a⁻¹_{∈ Γ}′

appelée donnée de recollement de

W

associée à ξa et τγ_a la permutation de

C

donnée par τγ_a(ξ) = f

ξγa. On a donc

ξγa= γ_ξaτγa(ξ) .

L’ensemble

W

est muni d’une bijection Ast induite par l’involution ∗ de

F

de la manière suivante : Ast(ξa) = τγa(ξ)a^∗.

Lorsque a n’est pas un arc elliptique, Ast ◦ Ast(ξa) = ξa car Ast( fξγaa^∗) = ^ξγaγa∗a= eξa = ξa puisque γa∗ = γ⁻¹_a et ξ ∈

C

. On a de plus

ξa = ξγaa^∗−= γ_ξaτγa(ξ)a^∗−= γ_ξaAst(ξa)⁻. Lorsque a est un arc elliptique d’ordre 2, on a a = a∗et Ast ◦ Ast(ξa) = ]_f

ξγaγaa= ξa. Lorsque a est un arc elliptique d’ordre 3, γ3

aest ±Id et on a

Ast³(ξa) = Ast( ^τγa(ξ)γaa) = Ast(τ_γ2

a(ξ)a) = τ_γ3

a(ξ)a = ξa .

Ainsi, les orbites des éléments de

W

par Ast sont d’ordre 1, 2 ou 3. Remarquons que lorsque Ast(ξa) = ξa, on a a = a^∗, τγa(ξ) = ξ, γ^′_ξa = ξγa_γf_aξ⁻¹_{= ξγaξ}−1 appartient à Γ′ et est de même ordre µ_ell(a) que γa.

Proposition 2.12. On garde les notations précédentes. Il existe un système de représentants

C

de Γ^′\Γ tel que

F

^′= (

V

^′, Ast^′, µ^′) décrit comme suit soit un symbole de Farey : les arcs de

V

^′sont

1. les élémentsξa ∈

C

× (

V

−

V

_ell,3) avec γ^′_ξa6= 1 ; on a alors µ^′(ξa) = µ(a) et Ast^′(ξa) = Ast(ξa) ;

2. les points fixesξa dans

C

×

V

_{ell,3pour Ast, on a alors}τγa(ξ) = ξ, γ^′_ξa= ξγaξ⁻¹, µ^′(ξa) = µ(a) = 3 et Ast^′(ξa) = Ast(ξa) = ξa ;

3. pour chaque orbite{ξ₁a, ξ₂a, ξ₃a} d’ordre 3 par Ast, les chemins ξ₁a^′, ξ₁a^′′, ξ₂a, ξ₃a où ξ1a^′etξ1a^′′ sont définis par (

ξ1a^′ = γ^′_ξ 1aξ2a⁻ ξ₁a^′′ = γ^′−1_ξ3aξ₃a⁻ ; on a alors γ^′_ξ 1a= ξ1γ_aξ⁻¹₂ , γ^′_ξ 2a= ξ2γ_aξ⁻¹₃ , γ^′_ξ 3a= ξ3γ_aξ⁻¹₁ , τγa(ξ₁) = ξ₂, τγa(ξ₂) = ξ₃, τγa(ξ₃) = ξ₁, γ^′_ξ1a′ = γ_ξ1a, γ^′_ξ1a′′= γ⁻¹_ξ 3a, γ^′_ξ2a= γ⁻¹_ξ 1a, γ^′_ξ3a= γ_ξ3a,

Ast^′(ξ₁a^′) = ξ₂a, Ast^′(ξ₁a^′′) = ξ₃a, Ast^′(ξ₂a) = ξ₁a^′, Ast^′(ξ₃a) = ξ₂a^′, µ^′(ξ₁a^′) = µ^′(ξ₁a^′′) = µ^′(ξ₂a) = µ^′(ξ₃a) = 1 .

Démonstration. Soit un symbole de Farey

F

= (

V

, ∗, µell). À chaque étape de l’algorithme, les éléments de L et L3sont par construction dans

W

et les éléments de

C

ont des classes distinctes dans Γ′\Γ.

On note ˙

C

la réunion des classes Γ′ξ pour ξ ∈

C

et + l’addition d’un élément à la fin d’une liste.

Entrée: un symbole de Farey de groupe Γ : (

V

, ∗, µell) et un critère d’appartenance à Γ^′. Sortie: Un symbole de Farey (

V

^′, Ast^′, µ^′_ell) de Γ^′et un système de représentants

C

de Γ′\Γ.

1: Calculer les données de recollement γ_apour a ∈

V

.

2:

C

← {Id} ; L ← {Id} × (

V

−

V

_ell,3) ; L3← {Id} ×

V

_ell,3;

W

← {id} ×

V

;

V

^′← {id} ×

V

;

3: tant que L∪ L36= /0 faire

4: si L36= /0 alors

5: Prendre le premier élément ξa de L₃(on a donc a∗= a) et l’enlever de L3.

6: siξγa∈ ˙/

C

alors

7:

C

←

C

∪ {ξγa, ξγ²_a} ;

W

←

C

×

V

.

8: pour b∈

V

_ell,3faire

9: L₃← L3+ ξγab.

10: pour b∈

V

_ell,3faire

11: L₃← L₃+ ξγ²_ab.

12: pour b∈

V

−

V

_ell,3faire

13: L← L + ξγab.

14: pour b∈

V

−

V

_ell,3faire

15: L← L + ξγ²_ab.

16: Insérer dans

V

′à la place de ξa la suite des ξγ_avpour v parcourant

V

− {a} à partir du successeur de a de manière circulaire puis la suite des ξγ²_avpour v parcourant

V

− {a} à partir du successeur de a de manière circulaire.

17: sinon

18: Prendre le premier élément ξa de L et l’enlever de L.

19: siξγa∈ ˙/

C

alors

20:

C

←

C

∪ {ξγa} ;

W

←

C

×

V

.

21: pour b∈

V

_ell,3faire

22: L₃← L3+ ξγab.

23: pour b∈

V

−

V

_ell,3faire

24: L← L + ξγab.

25: Insérer dans

V

^′à la place de ξa la suite des ξγavpour v parcourant

V

− {a^∗} à partir du successeur de a∗de manière circulaire.

26: pourξa ∈

V

^′avec ξ ∈

C

et a ∈

V

faire

27: Ast^′(ξa) ← fξγaa^∗; γ′

ξa← ξγa_ξγf_a⁻¹

28: si Ast^′(ξa) = ξa alors

29: µ^′_ell(ξa) ← µell(a).

30: sinon

31: µ^′_ell(ξa) ← 1.

32: pour chaque orbite d’ordre 3 pour Ast′faire

33: Choisir un élément A = ξa de l’orbite ; B ← Ast′(A), C ← Ast^′(B).

34: Dans

V

^′, remplacer A par A′= γaA⁻suivi de A′′= γ²_aA⁻.

35: Ast^′(A^′) ← B ; Ast^′(A^′′) ← C ; Ast^′(B) ← A^′; Ast′(C) ← A^′′.

36: µ^′_ell(A^′) ← 1, µ^′_ell(A^′′) ← 1.

37: renvoyer

V

^′, Ast^′, µ^′_ell
.

L’algorithme termine si et seulement si Γ′est d’indice fini dans Γ. En effet, une fois que

C

est de cardinal l’indice de Γ′dans Γ,

C

est un système de représentants de Γ′\Γ et on va directement à la ligne 32.

A la ligne 16, ξ est dans

C

et ξγa et ξγ²_a viennent d’être rajoutés à

C

. On enlève l’élément ξa de

V

^′et on met dans

V

^′tous les éléments de la forme ξγabet de la forme ξγ²_abpour b différent de a. Ainsi, l’orbite d’ordre 3 sous Ast formée des trois éléments ξa, ξγ_aaet ξγ2

aadu

W

réactualisé n’est pas dans

V

^′. Tous les autres éléments de ξγa

V

et ξγ²_a

V

que l’on vient de rajouter à

W

sont dans

V

^′.

A la ligne 25, ξ est dans

C

et ξγ_a vient d’être rajouté à

C

. On enlève ξa de

V

′ et on met dans

V

^′tous les éléments de la forme ξγabpour b différent de a∗. Ainsi, l’orbite (ξa, ξγaa) sous Ast qui est d’ordre 2 n’est pas dans

V

^′et γ′

ξa= Id puisque ξ et ξγasont tous deux dans

C

. Tous les autres éléments de ξγ_a

V

que l’on vient de rajouter à

W

sont dans

V

^′.

À la ligne 32, γ_best égal à l’identité pour b ∈

W

−

V

^′. La manière dont les arcs géodésiques ont été insérés dans

V

^′assure que la suite des extrémités des éléments de

V

^′est dans l’ordre circulaire et définit bien un polygone hyperbolique convexe.

Si

V

^′ ne contient pas d’orbite d’ordre 3 pour Ast′, (

V

^′, Ast^′, µ^′) définit bien un symbole de Farey à la ligne 32. Sinon, on transforme chaque orbite d’ordre 3 en quatre chemins deux à deux échangés par Ast′. La bijection Ast′devient alors une involution. Remarquons que les données de recollement γ ′

A, γ ′ B, γ′

C ont été remplacées par γ ′ A et γ ′

C qui engendrent le même sous-groupe puisque γ′

Aγ^′_Bγ_C^′ = Id.

Le symbole (

V

^′, Ast^′, µ^′) définit bien alors un symbole de Farey. Montrons qu’il est associé au groupe Γ′. Pour cela, nous devons montrer d’après [12] que le groupe engendré par les données de recollement γ′

ξapour ξa ∈

V

^′est Γ′à la ligne 32. Tout élément γ de Γ est de la forme γ_a1· · · γai· · · γan

avec a_i∈

V

. Définissons par récurrence la suite d’éléments de

C

par δ₁= 1, δk+1= ]δkγaket posons b_k= δka_k. Par définition, γ′

b_k= δkγa_kδ_k+1⁻¹ appartient à Γ′. De plus, si bkn’appartient pas à

V

^′, γ′ b_k

est égal à 1 et peut être supprimé. On voit facilement que δ_k+1 est un représentant de γ_a1· · · γak. Comme γa₁· · · γan appartient à Γ′, on a δ_n+1 = 1. On a donc

γ = δ₁γa₁δ⁻¹₂ δ₂γa₁δ⁻¹₃ · · · δ_kγa_kδ⁻¹_k+1· · · δnγanδ⁻¹_n+1= γ_b^′₁· · · γ^′_bk· · · γ^′_bn . Donc, les γ′

b_k engendrent Γ′,

F

′est un symbole de Farey de groupe Γ′.

Remarque 2.13. Lorsqu’il existe un test effectif d’appartenance à Γ′ pour un élément de Γ, on peut ainsi construire effectivement un symbole de Farey et un polygone fondamental associé à un sous-groupe Γ d’indice fini de PSL2(Z) à partir d’un symbole de Farey associé à PSL2(Z).

Remarque 2.14. Si

D

est le domaine fondamental associé à

F

, la réunion des ξ

D

pour ξ ∈

C

est un domaine fondamental associé à Γ′. Malheureusement, l’application Ast′n’est pas toujours une involution sur

V

′ et à la ligne 32, on n’a pas toujours obtenu un symbole de Farey. Il faut donc faire une "rectification" pour obtenir un symbole de Farey. Ce cas ne peut pas se produire si

F

n’a qu’un seul chemin elliptique d’ordre 3, par exemple si

F

est un symbole de Farey associé à PSL₂(Z).

C= Ast(B) B= Ast(A) A= Ast(C) C B ^A′= B^∗ A^′′= C^∗ γ_A γ_C⁻¹

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