Construction d’une structure de vari´et´e sur X j +

K

+(i)

: n

⁺₁

×n

⁻₁

×n

⁺_i

→ n

⁺_i

.

(x, y, Y) 7→ pr

_n+

i

e

−ad(x)

e

ad(y)

Y

]

K

+(i)

est polynomiale et continue par l’hypoth`ese (H1) donc de classeC

∞

et par suite le

noyau canonique est lisse.

Dans la partie suivante, nous allons consid´erer d’autres espaces homog`enes, d´efinis

grˆace `a des sous-groupes de U

+

et U

−

et adapter la d´emonstration du th´eor`eme IV.1.1

pour construire une structure de vari´et´e sur ces nouveaux espaces.

IV.2 Construction d’une structure de vari´et´e sur X_j⁺

De mani`ere plus g´en´erale, on peut consid´erer d’autres espaces homog`enes X

_j^±

, d´efinis

de mani`ere analogue `a X

+

et X

−

. En effet, pour tout j ≥ 2, le j

i`eme

espace de n

⁺

:

n

⁺_j

=g

_k

⊕ · · · ⊕g

_j

est une sous-alg`ebre de Lie nilpotente deg. On peut donc d´efinir :

U

_j⁺

:=

Comme pr´ec´edemment, les ´el´ements de H normalisent U

+

j

donc P

+

j

est un sous-groupe

de G. On pose ´egalement P

_k⁺₊₁

:= H. On d´efinit de mani`ere analogue des sous-groupes

U

_j⁻

et P

_j⁻

. Alors P

_j^±₊₁

⊂P

_j^±

et on poseX

_j^±

:=G/P

∓

, de sorte qu’on a

X

_k⁺₊₁

=G/H =X

_k⁻₊₁ p⁺_k

u

u

u

u

lll^lll

lll^lll

lll^l

p⁻_k

)

)))

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

X

_k⁺ p⁺_k−1

X

_k⁻ p⁻_k−1

...

p⁺₂

...

p⁻₂

X

₂⁺ p⁺₁

X

₂⁻ p⁻₁

X

+

=X

+ 1

X

− 1

=X

−

o`u p

^±_i

est la projection de X

_i^±₊₁

sur X

_i^±

donn´ee par p

^±_i

: gP

_i^∓₊₁

7→ gP

_i^∓

. On se souvient

qu’on avait P

+

∩P

−

=H; plus g´en´eralement, on a de mˆeme P

_j⁺

∩P

_j⁻

=H.

Soit 2 ≤ j ≤ k+ 1. Le but de ce qui suit est, comme pour X

+

, de construire une

structure de vari´et´e diff´erentielle sur X

_j⁺

, mais cette fois model´ee sur

m

⁺_j

:=n

⁺₁

×(g

₋₁

⊕ · · · ⊕g

_−j+1) = (

g

_k

⊕ · · · ⊕g

1)

×(g

₋₁

⊕ · · · ⊕g

_−j+1).

Dans la suite, on noteraq

⁻_j

:=g

₋₁

⊕ · · · ⊕g

_−j+1, de sorte que

m

⁺_j

=n

⁺₁

⊕q

⁻_j

. La premi`ere

´etape est de montrer qu’on peut consid´erer m

⁺_j

comme un sous-ensemble de X

_j⁺

.

Proposition IV.2.1. L’application m

⁺_j

→ X

_j⁺

(x, w) 7→ e

ad(x)

e

ad(w)

P

_j⁻

est injective.

D´emonstration.

Soit (x1, x2) ∈ n

⁺₁

, (w1, w2) ∈ q

⁻_j

tels que e

ad(x1)

e

ad(w1)

P

_j⁻

= e

ad(x2)

e

ad(w2)

P

_j⁻

. En

particulier, on a e

ad(x1)

P

−

= e

ad(x2)

P

−

et donc comme n

⁺₁

s’injecte dans X

+

d’apr`es

le th´eor`eme II.3.2, on a x

₁

= x

₂

=: x. On a alors e

ad(x)

e

ad(w1)

P

_j⁻

= e

ad(x)

e

ad(w2)

P

_j⁻

donc e

ad(−w2)

e

ad(w1)

∈ P

_j⁻

. Or w1 et w2 sont des ´el´ements de q

⁻_j

et donc n´ecessairement

w1 =w2.

Le point central pour construire la structure de vari´et´e est de comprendre l’action de

e

ad(y)

surm

⁺_j

, siy ∈n

⁻₁

. Pour cela, soit (x, w)∈m

⁺_j

ety∈n

⁻₁

tel quee

ad(y)

·x∈n

⁺₁

⊂X

+

.

On a e

ad(y)

·x ∈ n

⁺₁

i.e il existe p

−

= e

ad(t)

h ∈ P

−

tel que e

ad(y)

e

ad(x)

= e

ad(z)

p

−

avec

t∈n

⁻₁

, h∈H etz :=e

ad(y)

·x∈n

⁺₁

.

On a donc e

ad(y)

·(x, w) = e

ad(z)

p

−

e

ad(w)

P

_j⁻

=e

ad(z)

e

ad(t)

e

ad(hw)

P

_j⁻

.

On a alors besoin du lemme suivant pour expliciter e

ad(z)

e

ad(t)

e

ad(hw)

P

_j⁻

.

Lemme IV.2.1. SoitX ∈n

⁻₁

. Pour tout n ∈ {1, . . . , k+ 1−j}, il existe Z

n

∈n

⁻_j

tel que

X

q

∗Z

ⁿ

=X+R

^j+n

, avec R

^j+n

∈n

⁻_n+j

et X

q

est la projection sur q

⁻_j

de X.

Pourn =k+ 1−j, on aR

j+n

∈n

⁻_k+1

= 0 et alors X

q

∗Z

n

=X i.ee

ad(X)

=e

ad(Xq)

e

ad(Zn)

D´emonstration.

On ´ecrit X =

−k

X

i=−1

X

i

, avec X

i

∈g

_i

, si bien que X

q

=

−

X

j+1 i=−1

X

i

. On pose

Z

¹

:=

−k

X

i=−j

X

i

∈n

⁻_j

.

Alors, on a X

q

∗Z

1

= X

q

+Z

1

+R

j+1

= X +R

j+1

. Le premier terme dans R

j+1

est

1

2^[X

q

, Z

1

]∈n

⁻_j+1

donc R

j+1

∈n

⁻_j+1

.

Soit n ∈ {1, k−j} tel qu’il existe Z

n

∈ n

⁻_j

avec X

q

∗Z

n

= X+R

j+n

et R

j+n

∈ n

⁻_j+n

.

Alors on peut ´ecrire R

j+n

=

−k

X

i=−j−n

R

^j_i⁺ⁿ

et on pose

Z

ⁿ⁺¹

:=Z

ⁿ

−R

^j₋⁺_j−ⁿ_n

∈n

⁻_j

.

D’o`uX

q

∗Z

n+1

=X

q

∗Z

n

−R

^j₋⁺_jⁿ_−n

+Re

j+n+1

. Le premier terme deRe

j+n+1

est−¹

2

X

q

, R

^j₋⁺¹_j−n

donc _Re

j+n+1

∈n

⁻_j+n+1

et alors

X

q

∗Z

ⁿ⁺¹

=X+R

^j+n

−R

^j₋⁺_jⁿ_−n

+Re

^j+n+1

=X+

−k

X

i=−j−n−1

R

^j_i⁺ⁿ

+Re

^j+n+1

| {z }

Rj+n+1

.

DoncR

j+n+1

∈n

⁻_j+n+1

, l’hypoth`ese de r´ecurrence est v´erifi´ee au rangn+ 1 et finalement,

il existe Z :=Z

k+1−j

∈n

⁻_j

tel que X

q

∗Z =X.

En particulier, comme e

ad(t)

e

ad(w)

=e

t∗w

, on poseX :=t∗w∈n

⁻₁

etX

q

la projection

deX surq

⁻_j

. Alors d’apr`es le lemme pr´ec´edent, il existeZ ∈n

⁻_j

tel queX

q

∗Z =X =t∗w

i.e e

ad(t)

e

ad(w)

= e

ad(X)

= e

ad(Xq)

e| {z }

^ad(Z)

∈P_j⁻

. On peut alors ´enoncer la proposition suivante,

analogue de la proposition IV.1.1

Proposition IV.2.2. L’application (n

⁺

×n

⁻

)

×

×q

⁻_j

→ m

⁺_j

((x, y), w) 7→ e

ad(y)

·(x, w)

est de classe

C

∞

.

D´emonstration.

Soit (x, w)∈m

⁺_j

et y∈n

⁻₁

tel que e

ad(y)

·x∈n

⁺₁

. On a vu que dans ce cas, il existe

t ∈ n

⁻₁

, h ∈ H tels que e

ad(y)

·(x, w) = e

ad(z)

e

ad(t)

e

ad(hw)

P

_j⁻

. Donc par le lemme IV.2.1,

e

ad(y)

· (x, w) = e

ad(z)

e

ad(t∗(hw)q)

P

_j⁻

= (z, t ∗ (hw)

q

). D’apr`es la proposition IV.1.1,

(x, y) 7→ z est de classe C

∞

. En outre, (t, w) 7→ t ∗ w est polynomiale et continue

donc de classe C

∞

par l’hypoth`ese (H1). Donc il reste `a montrer que l’application

((x, y), w)7→(t, hw) est de classe C

∞

.

pour tout x∈g

_n

, on a nhx=h[E, x] = [hE, hx] donc hE est un op´erateur d’Euler de la

d´erivation caract´eristique asoci´ee `a la graduation de g. Donc, on a

pr

_n−

1

(e

^ad(−z)

e

^ad(y)

e

^ad(x)

E) = e

^ad(t)

hE−hE =−

−k

X

i=−1

it

_i

+ψ

_i

(t

₋₁

, . . . , t

_i−1

)

en utilisant les mˆemes notations que pour la proposition IV.1.1. Le membre de gauche est

une fonction de classe C

∞

par la proposition IV.1.1 donc par un raisonnement analogue

`a celui de la proposition IV.1.1, l’application (x, y)7→t est de classeC

∞

.

Ensuite, hw =e

−ad(t)

e

−ad(z)

e

ad(y)

e

ad(x)

w donc d’apr`es ce qui pr´ec`ede, l’application qui `a

((x, y), w) associe le membre de droite est de classe C

∞

car polynomiale et continue en

(x, y, z, t, w) et donc l’application ((x, y), w) 7→ hw est de classe C

∞

. Donc finalement,

l’application

(n

⁺

×n

⁻

)

×

×q

⁻_j

→ m

⁺_j

((x, y), w) 7→ e

ad(y)

·(x, w)

est de classe C

∞

.

Nous avons `a pr´esent tous les outils n´ecessaires pour construire la structure de vari´et´e

diff´erentielle sur X

_j⁺

.

Th´eor`eme IV.2.1 (Structure de vari´et´e diff´erentielle sur X

_j⁺

).

Il existe sur X

_j⁺

une structure de vari´et´e diff´erentielle model´ee sur m

⁺_j

, d´efinie par le

fait que A

_j

={(g(m

⁺_j

), ϕ

j

g

), g ∈G} est un atlas de X

_j⁺

, o`u

ϕ

^j_g

:g(m

⁺_j

)→m

⁺_j

, g·(x, w)7→(x, w), pour g ∈G.

D´emonstration.

La d´emonstration est assez semblable `a celle pourX

+

. En effet,X

_j⁺

est recouvert par

{g(m

⁺_j

), g ∈G}et pour g ∈G, on consid`ere

ϕ

^j_g

:g(m

⁺_j

)→m

⁺_j

, g·(x, w)7→(x, w).

On munit alors X

_j⁺

de la topologie finale pour les applications

Ψ

^j_g

:m

⁺_j

→X

_j⁺

, (x, w)7→g·(x, w) = ge

^ad(x)

e

^ad(w)

P

_j⁻

i.e O ⊂ X

_j⁺

est un ouvert si et seulement si pour tout g ∈G, Ψ

j

g

−1

(O) est un ouvert

dem

⁺_j

, c’est-`a-direg

−1

(O)∩m

⁺_j

est un ouvert dem

⁺_j

pour toutg ∈G. Par d´efinition de

la topologie, les applications Ψ

j

g

sont continues et donc Gagit par hom´eomorphismes sur

X

_j⁺

.

L’´etape suivante, comme dans le cas de X

+

, est de montrer que la topologie induite sur

m

⁺_j

par celle de X

_j⁺

est en fait la topologie de d´epart de m

⁺_j

. Si O est un ouvert de X

_j⁺

,

alors O ⊂m

⁺_j

est un ouvert de m

⁺_j

pour la topologie de d´epart.

R´eciproquement, si U est un ouvert de m

⁺_j

, il suffit de montrer que pour tout g ∈ G,

g

−1

(U)∩m

⁺_j

est un ouvert dem

⁺_j

; le point important ici est la proposition IV.2.2 (comme

dans le cas deX

+

, la propri´et´e cl´e ´etait la proposition IV.1.1.) Sig

−1

(U)∩m

⁺_j

=∅, alors le

r´esultat est vrai. Sinon, soit (x, w)∈g

−1

(U)∩m

⁺_j

. Alors,ge

ad(x)

e

ad(w)

P

−

j

∈ U ⊂m

⁺_j

, donc

en particulier, ge

ad(x)

o

+

∈ n

⁺₁

; donc quitte `a remplacer g par ge

ad(x)

, on peut supposer

quex= 0. Alorsg ∈Ω

+

et donc d’apr`es le point iv) du th´eor`eme II.3.2, g =e

ad(v)

he

ad(y)

,

avec v ∈n

⁺₁

, h∈H et y∈n

⁻₁

. Or

e

^ad(v)

·(x, w) =e

^ad(v)

e

^ad(x)

e

^ad(w)

P

_j⁻

=e

^ad(v∗x)

e

^ad(w)

P

_j⁻

= (v∗x, w)∈m

⁺_j

donc l’action de e

ad(v)

sur m

⁺_j

est de classe C

∞

donc en particulier continue et par suite

e

−ad(v)

(U) est un ouvert dem

⁺_j

.

Ensuite h·(x, w) =he

ad(x)

e

ad(w)

P

_j⁻

=e

ad(hx)

he

ad(w)

P

_j⁻

=e

ad(hx)

e

ad(hw)

P

_j⁻

. Donc

h·(x, w) = (hx, hw) = (d

h−1

(0)1x, c

h

(0)1w)∈m

⁺_j

.

Or par la proposition IV.1.2, l’action de d

g

(z)1 est continue sur n

⁺₁

pour tout g ∈ G et

z ∈n

⁺₁

et de mani`ere duale, l’action de c

g

(u)1 surn

⁻₁

est aussi continue donc finalement,

l’action de h sur m

⁺_j

est continue et donc h

−1

e

−ad(v)

(U) est un ouvert de m

⁺_j

. Enfin,

on a vu dans la proposition IV.2.2 que l’action de e

ad(y)

sur m

⁺_j

est de classe C

∞

donc

finalementg

−1

(U)∩m

⁺_j

est bien un ouvert de m

⁺_j

pour toutg ∈G i.eU est un ouvert de

X

_j⁺

. Donc la topologie induite par celle deX

_j⁺

sur m

⁺_j

est la topologie de d´epart de m

⁺_j

.

En particulier, m

⁺_j

est un ouvert deX

_j⁺

.

Enfin, montrons que les changements de cartes sont de classeC

∞

. D’abord, par d´efinition

de la topologie de X

_j⁺

, les cartes sont des hom´eomorphismes. Soitg1, g2 ∈G. On pose

Ψ

^j_g1,g2

:= Ψ

^j_g2

−1

◦Ψ

^j_g1

: Ψ

^j_g1

−1

Ψ

^j_g2

(m

⁺_j

)

∩m

⁺_j

→ Ψ

^j_g2

−1

Ψ

^j_g1

(m

⁺_j

)

∩m

⁺_j

et on suppose que Ψ

j g1

(m

⁺_j

)∩Ψ

j

g2

(m

⁺_j

) 6= ∅. On pose alors g := g

₂⁻¹

◦g1 et on consid`ere

(x, w) ∈ Ψ

j

g1

−1

Ψ

j

g2

(m

⁺_j

)

; comme pr´ec´edemment, on peut supposer x = 0 et alors,

on ´ecrit g = e

ad(v)

he

ad(y)

avec v ∈ n

⁺₁

, h ∈ H et y ∈ n

⁻₁

. Or on a vu que e

ad(v)

et e

ad(y)

agissent de mani`ere C

∞

sur m

⁺_j

et h agit par (d

h−1

(0)1, c

h

(0)1) sur m

⁺_j

donc ´egalement

de mani`ere lisse. Donc Ψ

j

g1,g2

est bien de classe C

∞

.

Donc pour tout j, X

_j⁺

(et de mani`ere duale X

_j⁻

) poss`ede une structure de vari´et´e

diff´erentielle model´ee sur m

⁺_j

. Il reste alors `a montrer que p

j

: X

_j⁺₊₁

→ X

_j⁺

est une

submersion. Mais grˆace au lemme IV.2.1, dans une carte, p

⁺_j

s’´ecrit comme la projection

m

⁺_j+1

=n

⁺₁

×q

⁻_j+1

→ m

⁺_j

=n

⁺₁

×q

⁻_j

(x, y

−1

+· · ·+y

−j

) 7→ (x, y

−1

+· · ·+y

−j+1)

.

Donc pour tout j, l’application p

⁺_j

est bien une submersion.

Conclusion

Nous allons pr´esenter ici quelques probl`emes ouverts li´es `a cette th`ese.

Une approche axiomatique des g´eom´etries de drapeaux g´en´eralis´ees.Une

axio-matique des g´eom´etries projectives g´en´eralis´ees (i.e dans le cadre des 3-graduations) a ´et´e

d´evelopp´ee dans [Ber02b]. On peut se demander si on peut faire de mˆeme dans le cas des

(2k+ 1)-graduations, aveck > 1. Voici quelques structures qui pourraient nous permettre

de d´efinir une telle axiomatique. Si on consid`ere g une alg`ebre de Lie(2k + 1)-gradu´ee,

(X

+

, X

−

,⊤) sa g´eom´etrie de drapeaux g´en´eralis´ee, et si on fixe a∈X

+

ety ∈a

⊤

, alors

pour tout (x, z)∈a

⊤

, on peut ´ecrire

x=e

^ad(u)

y et z =e

^ad(v)

y, avec (u, v)∈a1

car d’apr`es le th´eor`eme II.3.1, e

ad(a1)

agit simplement transitivement sur a

⊤

. On peut

donc poser

x·

y

z :=e

^ad(u)

e

^ad(v)

y=e

^ad(u∗v)

y∈a

^⊤

,

o`uu∗v est donn´e par la formule de Campbell-Hausdorff. Alors ce produit munita

⊤

d’une

structure de groupe de neutre y. On obtient donc une application

a

⊤

×a

⊤

×a

⊤

→ a

⊤

.

(x, y, z) 7→ (xyz)

a

:=x·

_y

z

Cette application v´erifie pour tout (x, y, z, u, v)∈a

⊤

,

(G1) (xy(zuv)

a

)

a

= ((xyz)

a

uv)

a

,

(G2) (xxy)

a

=y= (yxx)

a

.

Autrement dit,a

⊤

poss`ede une structure d’espace homog`ene principal outorseur [Cer43],

[Sch79] ou [BK09a]. Donc finalement, on a une application

Σ : D → X

−

,

(a, x, y, z) 7→ (xyz)

a

o`uD:={(a, x, y, z), a∈X

+

,(x, y, z)∈a

⊤

} ⊂X

+

×X

−

×X

−

×X

−

. On peut se demander

s’il est possible de prolonger Σ `a F

4

tout entier et caract´eriser la g´eom´etrie de drapeaux

g´en´eralis´ee (X

+

, X

−

,⊤) grˆace aux propri´et´es de Σ. Ceci nous permettrait de d´efinir de

mani`ere plus axiomatique ce qu’est une telle g´eom´etrie, sans qu’il n’y ait une alg`ebre de

Lie gradu´ee associ´ee. On peut citer les travaux de W. Bertram et M. Kinyon [BK09a]

et [BK09b], o`u ils donnent la d´efinition d’une g´eom´etrie associative, qui correspond `a

une g´eom´etrie de drapeaux g´en´eralis´ee de type 1-gradu´e, autrement dit une g´eom´etrie

projective g´en´eralis´ee, associ´ee `a une alg`ebre de Lie 3-gradu´ee, de type A

n

, B

n

, C

n

ou

D

_n

.

Une d´efinition axiomatique d’une g´eom´etrie de drapeaux g´en´eralis´ee permettrait d’avoir

une approche cat´egorielle de ces objets et il serait alors l´egitime de se demander si on

a une ´equivalence de cat´egories entre les g´eom´etries de drapeaux g´en´eralis´ees de type

k-gradu´e et l’objet infinit´esimal associ´e.

Objet infinit´esimal ou tangent d’une g´eom´etrie de drapeaux g´en´eralis´ee.Ce

probl`eme est la version “infinit´esimal” de la question pr´ec´edente. On sait que dans le cas

3-gradu´e, les g´eom´etries projectives g´en´eralis´ees sont essentiellement en bijection avec les

paires de Jordan. Mais quel sera l’objet correspondant dans le cas des graduations plus

longues ? Dans le cas g´en´eral d’une alg`ebre de Lie (2k+ 1)-gradu´ee, g=g

_k

⊕ · · · ⊕g

_−k

,

on obtient une g´eom´etrie de drapeaux g´en´eralis´ee de typek-gradu´e et si o

−

eto

+

sont les

filtrations positive et n´egative associ´ee `a la graduation deg, (T

_o−

X

−

, T

_o+

X

+

) va poss´eder

une structure de ce qu’on pourrait appeler, par exemple, unepaire de Jordan g´en´eralis´ee

de type k-gradu´e. Mais la d´efinition axiomatique d’un tel objet n’est pas si claire. Dans le

chapitre IV, nous avons introduits dans l’hypoth`ese (H1) plusieurs applicationsR

^±_i,j

, F

±

m,n

et T

±

p,q,r

, mais nous ne nous sommes pas int´eress´es aux diff´erentes propri´et´es qu’elles

peuvent avoir. Par exemple, (g

₁

,g

₋₁

) poss`ede une structure de paire de Jordan g´en´eralis´ee

(de typek) doncT

₁^±_,1,1

v´erifient (PJ2), qui traduit l’identit´e de Jacobi mais aussi d’autres

identit´es plus difficiles `a d´eterminer. Ensuite (g

_k

,g

_−k

) poss`ede une structure de paire de

Jordan ; de mˆeme que les paires (g

_j

,g

_−j

) lorsque [g

_j

,g

_j

] ⊂ g

_2j

= 0, autrement dit pour

2j > k. En revanche, les structures des autres paires, “au milieu”, sont plus difficiles `a

d´eterminer. Par exemple, dans le cas o`u g est 5-gradu´ee, (g

₁

,g

₋1) poss`ede une structure

de paire de Freudenthal-Kantor et (g

₂

,g

₋₂

) est une paire de Jordan. De mˆeme, sigest

7-gradu´ee, alors (g

3,

g

₋3) et (

g

2,

g

₋2) sont des paires de Jordan et (

g

1,

g

₋1) est une paire de

Jordan g´en´eralis´ee de type 3 doncT

₁^±_,1,1

v´erifient une propri´et´e analogue de (PJ1) pour les

paires de Jordan ou (PFK1) pour les paires de Freudenthal-Kantor, et qui caract´erise le

fait que [g

2,

g

1]

6= 0 mais [g

2,

g

2] = 0. Par ailleurs, il faut aussi s’int´eresser aux propri´et´es

qui peuvent lier les diff´erents op´erateurs R

±

, F

±

et T

±

entre eux.

Une fois pos´ee la d´efinition d’un tel objet, on pourra se demander si on a une ´equivalence

de cat´egories entre les g´eom´etries de drapeaux g´en´eralis´ees de typek-gradu´e et les paires

de Jordan g´en´eralis´ees de type k-gradu´e. Autrement dit, la question est de savoir si une

g´eom´etrie de drapeaux g´en´eralis´ee est caract´eris´ee par sa paire de Jordan g´en´eralis´ee de

type k-gradu´e associ´ee.

Lien avec les structures de (multi-)contact de [CDMKR05]. La diff´erence

fondamentale entre le cas 3-gradu´e et le cas des graduations plus longues r´eside dans le

fait que, dans le cas g´en´eral,n

⁺₁

etn

⁻₁

ne sont plus ab´eliennes. Ceci se traduit d’une part,

par la non-commutativit´e des groupesU

+

etU

−

(qui sont les noyaux des repr´esentations

d’isotropie lin´eaire de G sur X

+

et X

−

), et d’autre part, par l’existence d’une structure

(multi-)contact invariante sur X

±

(voir [CDMKR05] pour le cas semi-simple r´eel de

dimension finie). Consid´eronsgune alg`ebre de Lie (2k+1)-gradu´ee ainsi que sa g´eom´etrie

de drapeaux g´en´eralis´ee associ´ee (X

+

, X

−

,⊤). Par d´efinition,T

o+

X

+

∼_=g

k

⊕· · ·⊕g

₁

=n

⁺₁

.

En outre, n

⁺₁

est filtr´e par

et cette filtration de n

⁺₁

est invariante sous l’action de P

−

i.e invariante sous l’action

du stabilisateur de o

+

. On peut donc identifier chaque sous-espace g

₁

⊕ · · · ⊕g

_i

avec un

sous-espace f

_i,o+

de T

o+

X

+

. On obtient donc une filtration de T

o+

X

+

qui se prolonge

en une distribution G-invariante sur X

+

. Autrement dit, par l’action de G, on peut

identifier tous les T

_go+

X

+

, pour go

+

∈ X

+

, avec n

⁺₁

et donc pour chaque point go

+

∈

X

+

, g

₁

⊕ · · · ⊕g

_i

s’identifie avec un sous-espace f

_i,go+

de T

go+

X

+

. On obtient ainsi une

filtration de T

_go+

X

+

. Autrement dit, on a une filtration de distributions sur X

+

(et

de mˆeme sur X

−

, o`u T

_o−

X

−

∼_{= n}

−

1

) i.e X

+

(et donc X

−

) est muni d’une structure

contact g´en´eralis´ee [CDMKR05]. Il est alors naturel de consid´erer les applications qui

pr´eservent cette structure, appel´ees applications contact et ensuite de se demander si

on a un analogue du th´eor`eme de Liouville dans ce cas tr`es g´en´eral ; `a savoir qu’une

application contact f, de classe C

2

d’un ouvert U ⊂ X

±

dans son image f(U) ⊂ X

±

est la restriction `a U de l’action d’un ´el´ement g ∈ G sur X

^±

. M. Cowling, F. De Mari,

A. Kor´anyi et H. M. Reimann ont montr´e dans [CDMKR05] un tel r´esultat dans le cas

o`u un groupe de Lie G semi-simple r´eel et de dimension finie agit sur l’espace quotient

G/P, o`u P est un sous-groupe parabolique minimal de G. Mais qu’en est-il dans le cas

g´en´eral ?

Annexe A

Construction de Chevalley

On a d´ej`a dit qu’`a un groupe de Lie, on associe une alg`ebre de Lie. Mais qu’en est-il

de la r´eciproque ? A une alg`ebre de Lie quelconque, peut-on associer un groupe “de Lie” ?

C’est le troisi`eme th´eor`eme de Lie qui r´epond `a cette question pour une alg`ebre de Lie

r´eelle ou complexe de dimension finie. Dans ce cas, il existe un unique groupe de Lie

connexe et simplement connexe, `a isomorphisme pr`es, dont l’alg`ebre de Lie associ´ee est

celle de d´epart. Dans le cas o`u l’alg`ebre de Lie g est r´eelle ou complexe et semi-simple, il

suffit de consid´erer le groupes des automorphismes de g, not´e Aut(g). En effet, dans ce

cas, l’alg`ebre de Lie de Aut(g) est Der(g) = g. Nous allons voir dans la suite comment

on construit certains sous-groupes de Aut(g) lorsque g est une alg`ebre de Lie simple et

de dimension finie, `a l’aide des syst`emes de racines dont il a ´et´e question pr´ec´edemment.

Nous allons pr´esenter la construction de Chevalley, qui utilise des bases particuli`eres

de g, appel´ees bases de Chevalley, pour construire certains automorphismes de g. Cette

construction permet d’´elargir l’´etude des alg`ebres de Lie `a d’autres corps que ^R ou ^C

[Car72], [Hum78], [Ste68].

Soit g une alg`ebre de Lie simple sur <sup>C</sup> et de dimension finie, h une sous-alg`ebre de

Cartan et ∆ ⊂ h

^∗

le syst`eme de racines associ´e. Alors on a la d´ecomposition de g en

espaces radiciels :

g=h⊕M

α∈∆

g

^α

.

Par la forme de Killing, not´ee B, on identifie h et h

^∗

, de sorte que ∆ ⊂ h. Pour α ∈∆,

on note

h

α

:= ^2α

B(α, α) ^∈h,

appel´ee la co-racine correspondant `a α. Soit e

α

un ´el´ement non-nul de g

α

. Donc pour

tout h∈h, on a [h, e

α

] =α(h)e

α

. On note ´egalement Π une base de ∆ et ∆

+

l’ensemble

des racines positives pour l’ordre d´efini par Π. On suppose choisis les ´el´ements e

α

pour

α ∈∆

+

. Alors il existe un unique e

−α

∈g

^−α

tel que [e

α

, e

−α

] =h

α

. Par suite, la famille

{h

α

, α ∈ Π} ∪ {e

α

, α ∈ ∆} forme une base de g. On peut en fait choisir les e

α

∈ g

_α

de

mani`ere un peu plus pr´ecise, de sorte que

o`uN

_α,β

=p+ 1 avec ple plus grand entier tel que β−pα est une racine [Car72], [Ste68].

Dans ce cas, on a les relations suivantes :

[h

α

, h

β

] = 0,

[h

α

, e

β

] = ^{2B(α, β)}

B(α, α) ^e

^β

^,

[e

α

, e

−α

] =h

α

et [e

_α

, e

_β

] =

0 si α+β /∈∆

±N

α,β

e

α+β

sinon.

D´efinition A.0.1. Cette base de g est appel´ee une base de Chevalley.

Attardons nous quelques instants sur la question de l’unicit´e d’une telle base. Une

alg`ebre de Lie simple de dimension finie poss`ede plusieurs bases de Chevalley. Tout

d’abord, chaque base de Chevalley est d´efinie relativement `a une sous-alg`ebre de Cartan.

On rapelle que deux sous-alg`ebres de Cartan degsont conjugu´ees par un automorphisme

deg. Si une sous-alg`ebre de Cartanh est fix´ee, alors les espaces radiciels sont d´etermin´es

et la base deh d´epend du choix d’un syst`eme fondamental Π du syst`eme de racines ∆ de

g. Une fois fix´ee une base Π de ∆, les ´el´ementsh

α

sont d´etermin´es. Les diff´erents syst`emes

fondamentaux de ∆ sont conjugu´es sous le groupe de Weyl de ∆. Ensuite, une fois Π fix´e,

on peut choisir les ´el´ements e

β

, β ∈ Π de mani`ere arbitraire. Les autres e

β

, β ∈ ∆

+

\Π

sont alors d´etermin´es au signe pr`es, par la relation [e

α

, e

β

] =±(p+1)e

α+β

, puis la relation

[e

α

, e

β

] =h

α

d´etermine les e

β

, β ∈∆

−

.

Nous allons maintenant consid´erer des automorphismes particuliers de g.

L’applica-tion ad (e

α

) est une d´erivation de g qui est nilpotente. En effet, on a ad (e

α

)h ⊂ g

^α

et

ad (e

α

)g

^α

= 0 donc (ad (e

α

))

2

h = 0. On a aussi ad (e

α

)g

^−α

⊂h donc (ad (e

α

))

3

g

^−α

= 0.

Enfin, siα etβ sont deux racines lin´eairement ind´ependantes, comme ∆ est un ensemble

fini, il existe un entier q maximal, tel que β +qα ∈ ∆. Donc (ad (e

α

))

q+1

g

^β

= 0 donc

(ad (e

_α

))

n

= 0 pour n suffisamment grand i.e ad (e

_α

) est bien nilpotent. On peut donc

consid´erer

e

^ad(eα)

:=X

n≥0

(ad (e

α

))

n

n! ^∈Aut(g).

Comme on vient de le voir, ad (e

α

) est nilpotent donc la somme est en fait finie. Ensuite,

pourζ ∈C, on note

x

α

(ζ) := e

^ζad(eα)

.

Alors on a les relations suivantes :

x

_α

(ζ)e

_α

=e

_α

, x

_α

(ζ)e

_−α

=e

_−α

+ζh

_α

−ζ

²

e

_α

etx

_α

(ζ)h

_α

=h

_α

−2ζe

_α

.

Par ailleurs, si α et β sont deux racines lin´eairement ind´ependantes, on a

x

α

(ζ)h

β

=h

β

−2ζ^{B(α, β)}

B(β, β)^e

^α

^etx

^α

^(ζ)e

^β

⁼

q

X

n=0

M

α,β,n

ζ

ⁿ

e

β+nα

, o`u

M

α,β,n

= ¹

n!^N

^α,β

^N

^α,β+α

^{. . . N}

^{α,β+(n−1)α}

^.

Mais on a suppos´e que N

_α,β

=±(p+ 1), donc

M

α,β,n

=±^{(p+ 1). . .(p+n)}

n! ^=±

p+n

n

∈^Z.

Donc x

α

(ζ) transforme un ´el´ement de la base de Chevalley en une combinaison lin´eaire

sur^Zdes ´el´ements de cette base ; les coefficients ´etant des monˆomes `a coefficients entiers

enζ. Cette propri´et´e va nous permettre de d´efinir de tels automorphismes d’une alg`ebre

de Lie sur un autre corps que R ou C. On note g

Z

le sous-ensemble de g constitu´e des

combinaisons lin´eaires `a coefficents entiers de la base de Chevalley deg. Par construction,

g

Z

est stable par le crochet ; c’est donc une alg`ebre de Lie sur <sup>Z</sup>. On consid`ere alors un

corps K quelconque et on pose

g

K

:=^K⊗g

Z.

Les ´el´ements de g

K

s’´ecrivent alors

X

α∈Π

λ

_α

(1⊗h

_α

) +X

β∈∆

µ

_β

(1⊗e

_β

), avecλ

_α

, µ

_β

∈K.

Donc g

K

est un espace vectoriel sur ^K, de base

{fh

_α

:= 1⊗h

_α

, α ∈Π} ∪ {ee

_β

:= 1⊗e

_β

, β ∈∆}.

On peut alors d´efinir surg

K

un crochet de Lie en posant, pour (x, y) deux ´el´ements de la

base de Chevalley de g,

[1⊗x,1⊗y] = 1⊗[x, y],

puis en ´etendant par bilin´earit´e. Cette d´efinition a un sens car [x, y] est un multiple

entier d’un ´el´ement de la base de Chevalley donc on peut consid´erer le repr´esentant de ce

coefficient dans le corps premier de K. Alors g

K

est une K-alg`ebre de Lie simple associ´ee

au syst`eme de racines ∆.

On consid`ere `a pr´esentA

α

(ζ) la matrice dex

α

(ζ) dans la base de Chevalley deg. On a vu

que les coefficients deA

α

(ζ) sont de la formekζ

i

aveck∈Zeti≥0. Soit t∈Ket_Af

_α

_(t)

la matrice obtenue `a partir de A

_α

(ζ) en rempla¸cant kζ

i

par kt

i

, o`u k est l’´el´ement du

corps premier de^K correspondant `ak ∈<sup>Z</sup>. On consid`ere alorsxf

α

(t) l’endomorphisme de

g

K

ayant la matrice Af

α

(t) dans la base{_hf

_α

_{, α∈Π} ∪ {ee}

_β

_{, β ∈∆}. Alors d’apr`es [Car72],}

f

x

α

(t) est un automorphisme de g

K

pour toutα ∈∆ et t∈K.

D´efinition A.0.2. On d´efinit alors legroupe de Chevalley de type g sur le corps ^K, not´e

G(K), comme ´etant le sous-groupe des automorphismes de g

K

engendr´e par les ´el´ements

f

x

α

(t), pour tout α ∈∆, t∈^K.

On montre que G(^K) est, `a isomorphisme pr`es, ind´ependant de la base de Chevalley

choisie. Autrement dit, G(^K) ne d´epend que de g et^K [Car72].

Int´eressons-nous `a pr´esent `a certains sous-groupes de G(K). Soit α ∈ ∆ et X

α

le

sous-groupe engendr´e par les ´el´ements xf

α

(t), pour t ∈ K. Alors xf

α

(t1)fx

α

(t2) = xf

α

(t1 +t2)

donc X

α

est un sous-groupe deG(^K) isomorphe `a (^K,+).

D´efinition A.0.3. Les sous-groupes X

_α

, pour α ∈ ∆, sont appel´es les sous-groupes de

racines de G(^K).

On consid`ere ´egalement U

+

et U

−

les sous-groupes engendr´es par les ´el´ements xf

α

(t),

α ∈ ∆

+

, respectivement α ∈ ∆

−

:= −∆

+

et t ∈ K. Alors U

+

est engendr´e par les X

_α

,

α ∈∆

+

, U

−

est engendr´e par les X

α

,α ∈∆

−

et G(^K) est engendr´e par U

+

et U

−

.

On remarque bien sˆur que la construction des groupes U

+

, U

−

et G de la d´efinition

II.1.1 est analogue `a cette construction de Chevalley.

Dans le document Structures géométriques liées aux algèbres de Lie graduées (Page 91-112)