Si le nombre de participants au programme (ηt) est fonction de la subvention offerte à chaque
période (αt), il est possible de maximiser les profits de l’entreprise à l’aide de l’équation (2.4) dévelop-
pée plus haut. Toutefois, pour ce faire, il importe de mieux caractériser trois éléments fondamentaux : la participation aux programmes d’EÉ, la dynamique de pointe et la détermination du temps d’arrêt optimal.
2.3.1 Participation aux programmes d’EÉ
D’abord, nous définissons le nombre de participants ηt comme étant une portion d’une clientèle
admissible à un programme d’EÉ. Nous supposons que cette clientèle admissible, représentée par la variable N, ne varie pas avec le temps, tout comme la plupart des autres paramètres utilisés jusqu’à maintenant. La participation au temps t peut dès lors s’écrire
ηt = NΓt,
où Γt représente le taux de participation observé au courant de l’année t, soit l’année qui est comprise
entre la pointe observée au début de la période t − 1 (pt−1) et la pointe observée au début de la période t
(pt).
Si nous définissons la saturation d’une mesure d’EÉ comme étant le pourcentage de clients ayant déjà implanté ladite mesure par le passé, le taux de participation peut aussi s’exprimer comme étant la différence entre la saturation observée à la période t et celle observée à la période t − 1. Autrement dit, la participation peut s’écrire ainsi :
ηt= NΓt = N(St(αt) − St−1(αt−1)), (2.5)
où les termes St(αt) et St−1(αt−1) représentent les taux de saturation de la mesure à la période t et à la
période t − 1 respectivement. Ces taux peuvent être définis par une fonction de répartition quelconque, ce sur quoi nous reviendrons un peu plus tard.
Pour l’instant, nous définissons simplement la saturation comme étant une fonction croissante du niveau de subvention αi, ce qui signifie que∂ S∂ αi(αi)
i = S
0
i(αi) ≥ 0. Considérant le fait que Sicorrespond
à une fonction de répartition, cela implique nécessairement que la saturation se rapprochera de l’unité si la subvention αi est augmentée de façon importante. La mesure d’EÉ sera donc implantée chez la
quasi-totalité de la clientèle admissible à partir de la période i si αiest très élevé comparativement aux
subventions offertes en dehors de la période i.
Une fois la mesure d’EÉ implantée, les clients n’ont aucune raison apparente afin de retirer cette mesure, peu importe les subventions futures. Nous supposons alors que la saturation, dans le contexte d’une clientèle admissible N constante, ne peut pas diminuer au fil du temps ; elle ne peut que stagner ou augmenter. Autrement dit, la suite {S0, S1, ..., ST} est une suite monotone croissante. Il est possible
négative pour tout t entre t = 0 et t = T . La saturation, elle aussi, ne peut jamais être négative : une saturation négative impliquerait qu’un nombre négatif de clients aurait alors déjà implanté la mesure, ce qui n’a pas de sens. En tant que pourcentage, la saturation ne peut pas être inférieure à zéro et ne peut pas être supérieure à 1 non plus.
De plus, il importe de préciser que le montant de subvention offert par le distributeur lors de chaque période constitue notre seule variable de contrôle. Chaque programme d’EÉ offre des subven- tions qui leur sont attitrés et qui peuvent évoluer librement au fil du temps. D’ailleurs, ces montants ne sont pas limités par une contrainte autre que celle de la volonté de payer du distributeur ; nous n’imposerons donc aucune limite supérieure aux montants offerts par le distributeur, la maximisation des profits du distributeur permettant justement de déterminer les montants optimaux de subvention à offrir sans que nous ayons besoin de contraindre ces derniers.
2.3.2 Dynamique de la demande de pointe
Il y a deux conditions importantes que nous n’avons pas encore définies, soit une condition de réalisabilité physique, qui tient compte de la limite de capacité du réseau de distribution, et une autre condition « d’arrêt » qui permet de déterminer le temps d’arrêt optimal (T∗). Attardons-nous cependant à la condition de réalisabilité physique en premier lieu.
La condition de réalisabilité physique est obtenue à partir de l’équation de la dynamique de la demande de pointe :
pt = pt−1+ g − ∆pt,
où pt correspond à la demande de pointe au début de la période t, g à la croissance linéaire prévue de
la demande de pointe (identique à celle définie plus haut) et ∆pt à la réduction de la demande de pointe
induite par les mesures d’EÉ implantées lors de l’année t. Ces mesures peuvent avoir été implantées à n’importe quel moment entre la pointe observée en t − 1 et celle observée en t. Compte tenu des exigences réglementaires en matière de sécurité d’approvisionnement, la demande de pointe ne doit jamais dépasser la limite de capacité du réseau c, ce qui se traduit par l’inégalité c − pt≥ 0. En insérant
la dynamique de la demande de pointe dans cette condition, nous obtenons l’inégalité suivante : c− (pt−1+ g − ∆pt) ≥ 0,
que nous réécrivons en isolant la croissance de la demande de pointe g : c− pt−1+ ∆pt≥ g.
Il est aussi possible d’exprimer la réduction de la demande de pointe (∆pt) en utilisant le nombre
de participants au programme (ηt) et les économies d’énergie (e). En effet, la réduction de la demande
de pointe dépend essentiellement de la quantité d’énergie économisée annuellement, quantité à la- quelle nous appliquons un facteur de conversion f permettant de transformer le total des économies
annuelles en économies de pointe. La réduction de la demande de pointe peut être définie par ∆ pt= ηt e f.
Cette formulation de ∆ptimplique que la réduction de la demande de pointe ne peut être négative,
soit qu’une hausse de la participation au programme d’EÉ implique nécessairement une réduction de la demande de pointe. Cela renforce l’idée que la croissance de la demande de pointe (g) est une croissance brute excluant toute réduction de pointe potentiellement permise par les programmes d’EÉ. En remplaçant l’expression de ∆pt dans l’inégalité précédente, nous obtenons :
c− pt−1+ ηt e f ≥ g.
En isolant ηt dans cette expression, nous obtenons la condition de réalisabilité physique suivante :
ηt≥
g+ pt−1− c
e f . (2.6)
Nous pouvons maintenant développer une condition d’arrêt optimal, dernier élément nécessaire afin d’obtenir un programme d’optimisation complet.
2.3.3 Temps d’arrêt optimal
Pour obtenir une condition d’arrêt optimal, nous utilisons la fonction de profit π(T ) que nous avons définie en (2.4) : π∗(T ) = Λ bRQ− bRT+ T
∑
t=1 [Rtηt∗(ez ˜R− α ∗ t − k)] ! ,où π∗(T ) correspond à la trajectoire de profit optimal évaluée en αt∗ et en ηt∗, ces deux variables
correspondant respectivement au montant optimal de subvention offert à chaque période t et à la participation annuelle associée à cette subvention optimale. Comme le temps est représenté de façon discrète et non de façon continue, nous ne pouvons pas directement appliquer une règle de dérivation en T afin d’obtenir le temps d’arrêt optimal ; nous devons plutôt trouver le temps d’arrêt T qui permet de satisfaire les deux inégalités suivantes :
π∗(T ) ≥ π∗(T − 1), π∗(T ) ≥ π∗(T + 1).
Ces deux inégalités peuvent se réécrire sous la forme d’une seule condition : π∗(T + 1)
π∗(T ) ≤ 1 ≤
π∗(T )
π∗(T − 1), (2.7)
dans quel cas le temps d’arrêt T qui respecte cette double inégalité correspond au temps d’arrêt T∗ qui permet de maximiser globalement les profits du distributeur.
Cairns et Davis(2007) font état de deux règles distinctes qui permettent de déterminer le moment optimal d’investissement dans les projets coûteux qui augmentent la capacité d’exploitation de cer- taines ressources naturelles. La première règle est bien connue : si le chemin d’extraction est toujours optimal, le moment d’investissement optimal est celui qui permet d’annuler la dérivée première (par rapport au temps) de la valeur présente nette des bénéfices futurs. La deuxième règle, analogue à la première, tient compte du fait que le taux d’intérêt sur le capital (souvent utilisé comme taux d’actua- lisation) est une variable stochastique ayant un impact significatif sur le coût d’opportunité des choix d’investissement. En effet, les auteurs montrent qu’il est bénéfique d’investir dans un projet qui aug- mente la « capacité d’extraction » de la ressource seulement lorsque la valeur à terme du projet (aussi appelé forward value) croît au taux d’intérêt r. La valeur à terme du projet (notée W (T )) correspond à la valeur présente du projet au moment de l’investissement, ce qui correspond à la période t dans notre situation particulière. Nous pouvons dès lors représenter la valeur à terme du projet de report actif comme étant la valeur présente des profits du distributeur au moment T , ce qui est représenté par W(T ) = π∗(T ) × (1 + r)T. (2.8)
La deuxième règle stipule que le temps d’investissement optimal T∗est celui qui permet de faire croître cette valeur W (T ) au taux d’intérêt r. Comme T ne peut prendre que des valeurs discrètes dans la situation qui nous intéresse, nous développons une règle d’arrêt optimal analogue à celle établie par les auteurs en stipulant que le temps d’arrêt optimal T∗ correspond au temps d’arrêt T qui respecte cette condition :
W(T + 1) −W (T ) W(T ) ≤ r ≤
W(T ) −W (T − 1) W(T − 1) ,
où les termes de gauche et de droite correspondent respectivement au pourcentage de croissance de la valeur à terme du projet lors des périodes T + 1 et T . En utilisant la définition de la valeur à terme présentée en (2.8), nous pouvons développer cette condition et obtenir le résultat suivant :
π∗(T + 1) π∗(T ) ≤ 1 ≤
π∗(T ) π∗(T − 1),
ce qui est exactement la même condition que nous avons développée en (2.7) de façon heuristique. En ce sens, nous venons de démontrer que la règle d’arrêt optimal deCairns et Davis(2007) est aussi valide lorsque le temps est modélisé de façon discrète. Cela confirme la justesse de la règle d’arrêt décrite par la double inégalité présentée en (2.7).
2.3.4 Programme d’optimisation final
À l’aide des équations (2.5), (2.6) et (2.7), nous pouvons maintenant construire un programme d’optimisation dit « complet » qui inclut l’ensemble des conditions que doit satisfaire la solution
optimale : max {αt}t=1T Λ bRQ− bRT+ T
∑
t=1 [Rtηt(ez ˜R− αt− k)] ! , sous contraintes : 0 ≤ St(αt) ≤ 1, ηt≥ 0, ηt= N(St(αt) − St−1(αt−1)), ηt≥ g+ pt−1− c e f , π∗(T∗+ 1) π∗(T∗) ≤ 1 ≤ π∗(T∗) π∗(T∗− 1).Nous pouvons simplifier ce problème de deux façons, soit en éliminant le taux de retour Λ de l’objectif (car ce dernier est strictement positif et constant ; il n’influence donc pas la solution) et en insérant la définition de la participation ηtdans l’objectif et dans la deuxième et la quatrième inégalité,
ce qui élimine la troisième contrainte du problème. Pour alléger la notation, nous remplaçons aussi les saturations St(αt) et St−1(αt−1) par St et St−1 respectivement. En effectuant ces modifications, nous
obtenons le programme d’optimisation « simplifié » suivant : max {αt}Tt=1 bRQ− bRT+ T
∑
t=1 [RtN(St− St−1)(ez ˜R− αt− k)], sous contraintes : 0 ≤ St ≤ 1, St− St−1≥ 0, N(St− St−1) ≥ g+ pt−1− c e f , π∗(T∗+ 1) π∗(T∗) ≤ 1 ≤ π∗(T∗) π∗(T∗− 1).Pour simplifier ce problème davantage, il est nécessaire d’analyser les différentes contraintes individuellement. Toutefois, avant de procéder, nous devons approfondir les notions de participation et de saturation des programmes d’EÉ.