Produits orientés
1. Construction des produits orientés La construction suivante est due à Deligne [Laumon, 1983] :
1.1. Soientf:X→S,g:Y →Sdes morphismes de topos. On suppose queX,Y,Sont des sites de définitionC1,C2,D, admettant des limites projectives finies, et quef?,g?prolongent des foncteurs continus entre sites, et commutant aux limites projectives finies. SoitCle site suivant :
(i)C est la catégorie des couples de morphismesU → V ← W au-dessus de X → S ← Y, où U→ V(resp.V ←W) désigne un morphismeU→f?V(resp.g?V ←W) deC1(resp.C2) etVest un objet deD.
(ii)Cest muni de la topologie engendrée (cf. [SGA 4 II1.1.6]) par les familles couvrantes(Ui → Vi←Wi)→(U→V←W) (i∈I)du type suivant :
(a)Vi=V,Wi =Wpour touti, et la famille(Ui→U)est couvrante ; (b)Ui=U,Vi=Vpour touti, et la famille(Wi →W)est couvrante ;
(c)(U0 → V0 ← W0) → (U → V ← W), oùU0 = UetW0 → W est déduit par changement de base d’un morphismeV0 →VdeD.
Remarquons que les limites projectives finies sont représentables dansC. On noteCele topos des faisceaux surC.
LEMME 1.2. Soit F un préfaisceau sur C. Pour que F soit un faisceau il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient vérifiées :
(i) pour toute famille couvrante (Zi → Z) de C du type (a) ou (b), la suite F(Z) → Q
i∈IF(Zi) ⇒ Q
(i,j)∈I×IF(Zi×ZZj)est exacte ;
(ii) pour toute famille couvrante(U0→V0←W0)→(U→V ←W)du type (c), l’application F(U→V←W)→F(U0 →V0 ←W0)
est bijective.
En particulier, si l’on note(−)a le foncteur faisceau associé, pour toute famille couvrante (Z0 → Z) du type (c), le morphisme de faisceaux associésZ0a →Zaest un isomorphisme.
La nécessité est triviale pour (i), et pour (ii), il suffit d’observer que le morphisme diagonal (U→V0←W0)→(U→V0×VV0←W0×WW0)
est un morphisme couvrant (du type (c)), qui égalise la double flèche (U→V0×VV0 ←W0×WW0)⇒(U→V0 ←W0).
Pour la suffisance, on note que les familles couvrantes(Zi → Z)de type (a), (b), ou (c) sont stables par changement de baseZ0→Z, et on applique [SGA 4II2.3].
143
144 XI. PRODUITS ORIENTÉS
1.3. NotonseX(resp.eY,eS) l’objet final deC1(resp.C2,D). On a des projections naturelles p1:Ce→X, p2:Ce→Y
données par
p?1(U) = (U→eS←eY), p?2(W) = (eX→eS←W).
On a par ailleurs un morphisme canonique
τ:gp2→fp1
donné par le morphisme de foncteurs τ : (gp2)? → (fp1)? défini de la façon suivante : pour un faisceauFsurC, et un objetVdeS,
τ: ((gp2)?F)(V)→((fp1)?F)(V) est le composé
F(eX →eS←g?V)→F(f?V →V←g?V)→F(f?V→eS←eY),
où la première flèche est induite par la localisation (f?V → V ← g?V) → (eX → eS ← g?V), et la seconde est l’inverse de l’isomorphisme donné par 1.2, relativement au morphisme de type (c) (f?V →V←g?V→(f?V →eS←eY).
THÉORÈME 1.4. Soit T un topos muni de morphismesa : T → X, b : T → Y et d’un morphisme t:gb→fa. Il existe alors un triplet(h:T →C, αe :p1h→∼ a, β:p2h→∼ b), unique à isomorphisme unique près, tel que le composé
gb β
−1//gp2h τ //fp1h α //fa soit égal àt.
Nous aurons besoin, pour la démonstration, du lemme suivant :
LEMME 1.5. Soit Z = (U → V ← W) un objet de C. Avec la notation de 1.2, le carré suivant est cartésien :
(1.5.1) Za
//(p?2W)a
v
(p?1U)a u //((gp?2)V)a .
Dans ce carré,vet les flèches issues deZasont les flèches évidentes, etuest la flèche composée (p?1U)a //((fp1)?V)a τ //((gp2)?V)a ,
oùτest le composé
(f?V →eS←eY)a r−1 //(f?V →V ←g?V)a //(eX→eS←g?V)a, rdésignant l’isomorphisme(f?V →V←g?V)a→∼ (f?V→eS←eY)ade1.2.
Soitz:Z→Z0= (f?V →V←g?V)la projection canonique. Le composéZ→p?1U→(fp1)?Vse factorise à traversz. Par suite, et par définition deτ, le diagramme
Za z //
Z0a
r ''
(p?1U)a //((fp?1)V)a τ //((gp2)?V)a
1. CONSTRUCTION DES PRODUITS ORIENTÉS 145
est commutatif. Comme le composéZ→p?2W → (gp2)?Vse factorise aussi à traversz, le carré1.5.1 est donc commutatif. Celui-ci est le pourtour du diagramme suivant, où les flèches autres queτsont les flèches évidentes :
Chacun des carrés qui le composent est cartésien. Il en est donc de même de1.5.1.
1.6. Prouvons 1.4. On peut supposer que a et b sont donnés par des morphismes de sites ([SGA 4IV4.9.4]). Par1.5l’unicité est claire : pourZ= (U→V ←W)dansC, on doit avoir
(1.6.1) h?Z=a?U×(gb)?Vb?W,
oùa?U → (gb)?V est le composé a?U //(fa)?V t //(gb)?V . Les isomorphismesαet βsont alors tautologiques, nous les négligerons dans le reste de la démonstration. Vérifions que le foncteur h?donné par1.6.1définit un morphisme de toposhvérifiant la propriété énoncée en1.4. Commeh? commute aux limites projectives finies, pour vérifier queh?induit un morphisme de topos, il suffit de vérifier queh?est continu ([SGA 4IV4.9.1, 4.9.2]). Il est trivial queh?transforme familles couvrantes du type (a) ou (b) en familles couvrantes. Par ailleurs, si(U0 → V0 ←W0)→ (U→V ←W)est une
est un isomorphisme. Il reste à vérifier queτinduitt. Mais par définition, le morphisme de faisceaux défini parh?(τ)appliqué àVest le composé
((fa)?V)a r−1 //((fa)?V×(gb)?V(gb)?V)a //((gb)?V)a , donc est égal à celui défini partappliqué à(fa)?V, ce qui achève la démonstration.
DÉFINITION1.7. Le toposCeconstruit en 1.1s’appelle leproduit orienté (gauche) deXetY au-dessus deS, et se noteX←×SY. Les morphismes du diagramme indépendant (à isomorphisme unique près) du choix des sites de définitionC1,C2,D.
146 XI. PRODUITS ORIENTÉS
Pour un objetZ= (U→V←W)deC, on notera parfoisU←×VWl’objetZadeX←×SY.
On définit de même leproduit orienté droitX →×S Y, avec ses projections canoniquesp1 : X →×S Y →X,p2 :X→×SY→Yet la2-flècheτ0 :fp1→gp2, qui possède la propriété universelle de1.4, avec XetYéchangés.
1.8. Désignons par pt un topos ponctuel (catégorie des faisceaux d’ensembles sur un espace réduit à un point). Soientx:pt→ X,y:pt →Y des points deXetYrespectivement, etu:gy →fx
On a une compatibilité évidente pour un composé de deux données1.9.1.
1.10. Voici quelques exemples.
(a) Dans la situation de1.4, le triplet(a, b, t)définit un diagramme de type1.9.1 T
1. CONSTRUCTION DES PRODUITS ORIENTÉS 147
Par ailleurs, d’après1.4, les flèches identiques deTdéfinissent un morphisme canonique, ditdiagonal
∆:T →T←×TT.
La1-flèchehde1.4est la composée
h= (a←×fab)∆:T →X←×SY.
En particulier, prenant pourT un topos ponctuel, de sorte que∆est un isomorphisme, on a, avec les notations de1.8
(x, y, u) =x←×fxy:pt→X←×SY.
(b) Dans la situation de1.7, soientX0,S0,Y0 des objets deX,S,Y respectivement, etf0 :X0 → S0, (resp.g0 :Y0 →S0) une flèche au-dessus def(resp.g),i.e.une flèchef0 :X0 → f?(S0), (resp.g0 :Y0 → g?(S0)). Notons X0←×S0Y0 l’objet (X0 → S0 ← Y0)a = p?1(X0)×(gp2)?(S0)p?2Y0 deX←×SY, cf. 1.5. On en déduit un diagramme2-commutatif de1-flèches naturelles
(1.10.1) (X←×SY)
/(X0←×S0Y0) p10
xx
p20
&&
X/X0
f/S0
//
S/S0
Y/Y0
g/S0
oo
X //Soo Y
,
où la notation (−)/− désigne un topos localisé, et la 2-flèche τ0 : g/S0p20 → f/S0p10 est déduite par localisation de la 2-flècheτ:gp2→fp1. D’après1.4,τ0définit donc un 1-morphisme
(1.10.2) m: (X←×SY)
/(X0←×S0Y0)→X/X0←×S
/S0Y/Y0.
On montre (cf. ([Abbes & Gros, 2011b, 3.15]) quemest une équivalence, par laquelle, dans la suite, nous identifierons les deux membres. D’autre part, les carrés 2-commutatifs de 1.10.1 définissent, d’après1.9, une flèche de fonctorialité
X/X0←×S
/S0Y/Y0 →X←×SY, Celle-ci, ou son composé avecm,
(1.10.3) (X×←SY)
/(X0←×S0Y0)→X←×SY s’appelleflèche de localisation.
PROPOSITION 1.11. Supposons queX0 soit l’objet final deXet queg0 soit cartésien au-dessus deg,i.e.
g0:Y0 →∼ g?(S0). Alors la flèche1.10.3est une équivalence.
En effet, avec les notations de1.10.1, il résulte de1.2que la flècheeX←×S0Y0 → eX←×eSeYdeX←×SY est un isomorphisme.
1.12. Considérons en particulier le cas oùS=Yest un schéma muni de la topologie étale,g=Id etf :X → S = Y est l’inclusion d’un sous-schéma fermé deY. Le toposT = X←×YY joue le rôle d’un voisinage tubulaire étaledeXdansY. Les points deTsont les triplets(x, y, t), oùx(resp.y) est un point géométrique deX(resp.Y) ett:y→xune flèche de spécialisation (cf. [SGA 4VIII7.9]). En d’autres termes,(x, y, t)est la donnée d’un point géométriquexdeX, d’une générisationy0 du point fermé (noté encore par abusx) du localisé strictX(x)deXenxet d’un point géométrique deY(x)localisé en
148 XI. PRODUITS ORIENTÉS
y0, ou encore d’une extension séparablement closey→y0du point générique de{y0}. Par ailleurs, si v:Y0 →Yest un voisinage étale deXdansY,i.e.un diagramme commutatif
Y0
v
X
??//Y
,
oùvest étale, alors, d’après1.11le morphisme canonique X←×Y0Y0 →X←×YY
est une équivalence. Ainsi, T ne dépend que du hensélisé de Y le long de X (lorsque celui-ci est défini, en particulier, pourY affine, cf. [Raynaud, 1970]). Nous verrons au numéro suivant et dans l’exposéXIIAd’autres propriétés deT précisant cette analogie avec un voisinage tubulaire.
1.13. Voici un dernier exemple de fonctorialité de produits orientés, qui ne sera utilisé qu’en2.7.
SoitIune petite catégorie cofiltrante et soient
(Xi→fi Si ←gi Yi)i∈I
des morphismes de topos fibrés au-dessus deI. On en déduit un diagramme de topos limites projec-tives ([SGA 4VI8.1.3])
Limproj(Xi←×SiYi)
p1
vv
p2
((LimprojXi
f
((
LimprojYi
g
vv
LimprojSi
,
oùf=Limprojfi,g=Limprojgi, avec une 2-flècheτ:gp2→fp1déduite des flèchesτi:gip1 →fip2, et par suite, un morphisme
(1.13.1) Limproj(Xi←×SiYi)→LimprojXi←×LimprojSiLimprojYi. Il résulte des définitions que1.13.1est une équivalence.