Construction de l’équation d’utilisation

c_Rχ B ” ␣Φ_fpRq⁽`␣Φ<sub>b</sub>pRq<sup>(</sup> ı Bx ȷ Bx <sup>pt, xq</sup> ` rR␣Φ_fpRq⁽pt, xq ´ fR␣F pRq(pxq␣ΦbpRq⁽pt, xq , (4.2.4) Dans les équations (4.2.1), (4.2.2), (4.2.3) et (4.2.4), les paramètres ωA et ωR corres-pondent à la vitesse de convection des informations relatives à l’ingestion de l’additif (A) et de la ration de base (R). Les paramètres cAet cRsont les coefficients de diffusion,

r_A et rR, les paramètres quantifiant le retard qu’elles subissent et enfin fA et fR sont les paramètres qui déterminent la fixation de ces deux informations.

La fonction χ est la même fonction que celle présentée dans la section 2.1. Les fonctions d’injection, ␣QpAq( et ␣QpRq(, et les fonctions de localisation, ␣F pAq( et ␣F pRq(, sont également les mêmes que celles associées à l’information (d) et introduites dans la section 2.1 mais cette fois respectivement associée à l’additif et à la ration de base.

Comme expliqué dans la section 2.5.4, à chaque pas de temps ∆t “ 0.16, nous injectons dans le modèle une information relative à la quantité d’aliment consommée par les animaux. Dans ce modèle "B", à partir de la part d’additif indiquée en entrée, nous divisons cette information globale en deux afin d’avoir une quantité d’information allouée à l’additif et le reste alloué à la ration de base. La fonction␣QpAq( permet d’injec-ter dans le modèle l’information relative à l’ingestion de l’additif et ␣QpRq( celle relative à l’ingestion de la ration de base. Nous avons donc :

␣QpAq( “ pApQtotq (4.2.5)

et

␣QpRq( “ p1 ´ pAqpQtotq (4.2.6)

où Q_tot est l’information relative à la consommation totale d’aliment et p_Acorrespond à la part d’additif dans la ration distribuée.

4.2. Construction d’un modèle simulant la circulation et l’action de deux informations en interaction : le modèle «B»

Deux équations décrivent ensuite la fixation de l’information relative à l’additif,␣ΨpAq(, et celle relative à la ration de base ,␣ΨpRq(.

␣ΨpAq(, est donc solution de :

B␣ΨpAq( Bt ^{pt, xq “ fA}␣F pAq(pxq „ ␣Φ_bpAq⁽pt, xq`␣Φ<sub>f</sub>pAq<sup>(</sup>pt, xq ȷ ´U ´ ␣ΨpAq(, ␣ΨpRq(<sup>¯</sup>␣ΨpAq(pt, xq, (4.2.7) et␣ΨpRq( est solution de : B␣ΨpRq( Bt <sup>pt, xq “ fR</sup>␣F pRq(pxq „ ␣ΦbpRq<sup>(</sup>pt, xq`␣ΦfpRq⁽pt, xq ȷ ´U ´ ␣ΨpAq(, ␣ΨpRq(^¯␣ΨpRq(pt, xq. (4.2.8) La fonction U est une fonction déterminant la quantité d’information utilisée en fonction de la quantité d’information relative à l’additif et à la ration de base, fixée. La construc-tion de cette foncconstruc-tion sera présentée dans la secconstruc-tion 4.2.4.

Ensuite une équation décrit l’utilisation de l’information fixée relative à la ration de base, en fonction de l’information fixée. Ainsi, Ξ est solution de :

BΞ

Bt^{pt, xq “ U} ´

␣ΨpAq(, ␣ΨpRq(^¯␣ΨpRq(pt, xq^{ˆ P}max´ Optq

P_max

˙

. (4.2.9)

Le dernier terme de cette équation correspond à un limiteur permettant de modéliser une croissance logistique bornée par le paramètre PM ax.

Finalement, la variable de sortie est donnée par l’équation suivante :

Optq “

ż

Ω

Ξpt, xq dx. (4.2.10)

4.2.3 Les données utilisées

Pour ajuster ce modèle "B" nous avons utilisé la base de données, associée au groupe "B" (voir Section 1.7.1). Cette base de données a été divisée en deux parties, de façon à avoir une base d’apprentissage et une base de test. La base d’apprentis-sage contient 13 individus : 4 individus du groupe "Témoin B", 3 individus du groupe "Dose1 B", 3 individus du groupe "Dose2 B" et 3 individus du groupe "Dose3 B". Et la base de test contient 7 individus : 2 individus du groupe "Témoin B", 2 individus du groupe "Dose₁ B", 2 individus du groupe "Dose₂ B" et 1 individu du groupe "Dose₃ B".

4.2.4 Construction de l’équation d’utilisation

L’additif correspond à un ensemble de molécules permettant d’améliorer la diges-tibilité et l’assimilation des nutriments de la ration de base. L’additif n’agit donc pas directement sur le poids des animaux mais il influence l’impact de la ration sur celui-ci. Dans notre approche, ce phénomène peut être modélisé en faisant varier l’utilisation de l’information liée à l’ingestion de la ration de base, en fonction de la quantité d’in-formation fixée liée à lingestion de l’additif. Nous avons donc construit une équation d’utilisation contenant une fonction U déterminant l’impact de la ration de base sur le poids des animaux en fonction de la dose d’additif ajoutée.

Le profil de la fonction d’utilisation, U

Nous avons déterminé l’expression mathématique de la fonction U en partant de la représentation graphique du Gain de poids Moyen Quotidien (GMQ) de chaque groupe de l’élevage "B" (Figure 4.4).

La figure 4.4 montre que jusqu’à la dose "Dose₂", le GMQ moyen augmente lorsque la dose d’additif augmente. Au-delà de cette dose, le GMQ moyen diminue lorsque la dose dadditif continue d’augmenter. L’additif utilisé améliore donc la croissance des animaux lorsqu’il est distribué jusqu’à une certaine dose (DOpt) puis il devient néfaste pour celle-ci lorsqu’il est donné en trop grande quantité. Á partir de ce constat nous avons fait l’hypothèse que l’utilisation de l’information relative à la ration de base devait elle aussi augmenter lorsque la dose d’additif augmente jusqu’à cette dose D_Opt, puis diminuer lorsque la dose d’additif distribuée continue d’augmenter. Nous avons donc fait l’hypothèse que la fonction, U , devait suivre la même tendance que le GMQ.

4.2. Construction d’un modèle simulant la circulation et l’action de deux informations en interaction : le modèle «B»

FIGURE4.4 – Le Gain Quotidien Moyen de chaque groupe de l’élevage B.

L’équation mathématique de la fonction d’utilisation, U :

Nous avons déterminé l’équation mathématique capable de modéliser une gaus-sienne asymétrique dépendante de la part d’additif. En s’inspirant de la loi Log-Normale nous avons établi cette équation :

U ppAq “ Amp expp´k₁²qr1 ` pαk2´ βqs ` B, (4.2.11) Où, k₁ “ˆ p_{A´ C} σ₁ ˙ , (4.2.12) k₂ “ˆ p_{A´ C} σ₂ ˙ , (4.2.13)

erfpxq “ ?² π żx 0 expp´t²q ¨ dt, (4.2.14) et, p_A“ ^ΨA Ψ_A` ΨR . (4.2.15)

Cette équation de U contient 7 paramètres à ajuster : Amp, B, C, α, β, σ₁ et σ₂. Le paramètre B est la valeur de la fonction U lorsque la part d’additif tend vers 1. Dans un premier temps nous avons fixé ce paramètre à 0.