1.2.1 Transition à endommagement ultime ... 60 1.2.2 Transition avant rupture : transfert local d’énergie ... 62 1.3 Bilan ... 64 2 Etude semi-analytique unidimensionnelle... 66 2.1 Description du problème continu ... 66 2.2 Solution pour la formulation à gradient de variable interne... 68 2.3 Solution pour la formulation à gradient implicite ... 71 2.3.1 Mise en équations... 71 2.3.2 Résolution dans la partie linéaire ... 72 2.3.3 Résolution dans la partie non linéaire ... 73 2.3.4 Bilan ... 75 2.3.5 Intégration numérique ... 76 2.3.6 Choix du facteur de rigidité... 78 2.3.7 Influence des paramètres du facteur rigidité ... 79 2.3.8 Récapitulatif de la méthode de résolution ... 82 2.4 Choix de la formulation non locale ... 83 2.5 Passage du modèle continu au modèle discontinu ... 86 2.5.1 Identification d’une loi d’interface équivalente ... 86 2.5.2 Passage du modèle non local au modèle cohésif... 88 2.5.3 Récapitulatif de la méthode d’identification de lois cohésives de transition... 92 3 Extension au cadre éléments finis en dimension deux et trois ... 94 3.1 Discrétisation spatiale ... 94 3.1.1 Élément fini mixte non local à gradient d’endommagement... 94 3.1.2 Élément fini mixte d’interface pour les modèles de zones cohésives ... 95 3.2 Algorithme de couplage explicite... 97 3.2.1 Hypothèses ... 97 3.2.2 Algorithme ... 99 3.2.3 Pilotage du chargement ... 102
Ce chapitre présente tout d’abord une revue bibliographique des approches impliquant à la fois des modèles continus d’endommagement et des modèles discontinus de fissuration pour des simulations de propagation de fissures par éléments finis.
Ensuite, nous étudions dans un contexte unidimensionnel la transition entre un modèle d’endommagement continu régularisé et un modèle cohésif. Plus précisément, on établit dans un premier temps une comparaison entre deux techniques de régularisation (formulation à gradient d’endommagement et formulation à gradient implicite portant sur la déformation) sur la base d’une étude semi analytique, afin de sélectionner celle qui nous paraît la plus adaptée pour mener à bien notre étude. Disposant de la solution du problème continu, on montre qu’il est alors possible d’identifier analytiquement une famille de lois d’interface permettant de basculer du modèle continu non local vers un modèle cohésif quelque soit le niveau de dégradation atteint par le matériau, et ce tout en assurant l’équivalence énergétique entre les deux modèles.
Enfin, on propose une extension de cette stratégie au cadre 2D (et 3D) éléments finis dans le cas de la propagation de fissures rectilignes (et planes) en mode I.
1 Approches continues - discontinues dans la
littérature
Cette partie bibliographique a pour but de rappeler les différents travaux dans lesquels l’amorçage et la propagation de fissures sont simulés en faisant intervenir à la fois des modèles d’endommagement volumiques et des modèles discontinus de fissuration. Ce passage d’un modèle continu à un modèle discontinu est activement étudié depuis les quinze dernières années et a fait l’objet de nombreuses publications. Loin de vouloir être exhaustif, on se propose ici de revenir sur les contributions qui paraissent les plus pertinentes dans le cadre de notre étude.
Dans ces travaux, le modèle d’endommagement est mis en œuvre afin de décrire l’initiation de la fissuration ainsi que les mécanismes de dégradation qui ont lieu en amont de la pointe de fissure (au niveau de la process zone). De plus, la capacité à détecter le trajet de fissuration étant inhérente à ce type de modèle, il sert donc également à identifier le lieu où les surfaces de discontinuité du champ de déplacement doivent être insérées. Aussi, si le modèle continu doit être en mesure de répondre avec fiabilité à ce cahier des charges, on a vu au chapitre 1, § 1.4, qu’il était indispensable de le régulariser pour s’affranchir des problèmes de dépendance au maillage (localisation et orientation). Le recours à un modèle d’endommagement régularisé nous parait donc indispensable pour décrire la partie continue du problème, d’autant plus que le cadre de notre étude se borne à l’endommagement quasi-fragile pour lequel l’utilisation d’un modèle local conduirait immédiatement au régime de localisation (pas de phase d’endommagement diffus)
On distinguera par la suite deux grandes catégories d’approches parmi les travaux disponibles dans la littérature.
• La première consiste à construire, en post-traitement d’un calcul d’endommagement non local, un modèle discontinu équivalent (de type Griffith ou cohésif) en s’appuyant soit sur des équivalences énergétiques, soit sur le concept de discontinuité forte (« strong discontinuity approach » dont le formalisme a été développé dans [Simo et
al., 1993] et [Oliver, 1996]).
• La seconde catégorie concerne l’utilisation conjointe du modèle continu et du modèle discontinu dans un même calcul éléments finis, que l’on qualifiera « d’approches couplées ». Dans ce cas le changement de modèle se fait graduellement au niveau des zones endommagées, ce qui soulève plusieurs questions : quelle modélisation des
discontinuités employer, où faut-il les placer, et quand faut-il les insérer ? Le recours à
des méthodes de discrétisation comme X-FEM ou à des méthodes de remaillage, ainsi que le choix d’un critère de propagation fournissent, dans les publications traitant ce problème, des réponses aux deux premières questions. En revanche, la réponse à la question quand conduit à distinguer deux sous-catégories d’approches couplées, qui se résument soit à l’insertion de fissure (libre de tout effort surfacique) au niveau des points matériels qui voient un endommagement total, soit à l’insertion de fissure avant que l’endommagement n’ait atteint sa valeur ultime. Dans ce dernier cas, le modèle discontinu doit nécessairement être de type cohésif puisqu’il doit permettre de dissiper l’énergie qui aurait été localement dissipée par le modèle d’endommagement volumique jusqu’à rupture.
1.1 Construction de modèles discontinus équivalents
Dans [Dufour et al., 2008], une méthode est développée afin d’estimer l’ouverture de fissure équivalente à la localisation d’un endommagement volumique régularisé. Elle est construite sur le cas unidimensionnel d’une barre soumise à un chargement de traction monotone croissant : la barre est encastrée en x = 0, un déplacement est imposé en x = L, et la fissure ponctuelle est localisée en x = x0. Lorsque le barreau est complètement rompu, le champ de déplacement présente une discontinuité en x = x0. En s’appuyant sur le formalisme de la discontinuité forte, il peut s’écrire de la manière suivante (l’indice sd signifiant strong discontinuity), et le champ de déformation est alors obtenu par dérivation :
0
( )
(
)
sd
u
x
=
u H x−x
⇒ε
sd( )x
=
u
D(x−x
0)
(2 - 1)avec u le saut de déplacement en x = x0, et H et D respectivement la fonction de Heaviside et la distribution de Dirac. Si
ε
désigne la déformation locale sous un niveau de chargement quelconque, on rappelle l’expression de la déformation régulariséeε
correspondante pour un modèle non local de type intégral, oùω
désigne la fonction poids caractérisant l’opérateur de délocalisation : 1 ( ) ( ) ( )d ( ) x x y y y V xε
ω
ε
Ω =∫
− , oùV x( )
ω(x
y y)d
Ω=∫
−
(2 - 2)L’application de cet opérateur au champ local
ε
sd conduit à l’expression ci-dessous pour son pendant non localε
sd. Ces deux champs sont représentés à la Figure 2 - 1.0 ( ) ( ) ( ) sd x x x u V x
ω
ε
= − (2 - 3)La méthode s’appuie alors sur le raisonnement suivant : si le modèle continu permet de décrire avec précision le stade ultime de la rupture, l’erreur entre
ε
etε
sd devrait tendre vers 0 lorsque l’endommagement tend vers 1 en x = x0, et on devrait idéalement avoir l’égalitéε ε
= sd à rupture. Dans ce cas, on a d’après (2 - 3) l’expression du saut de déplacement connaissant le champ de déformation régularisé obtenu avec le modèle non local :0 0 ( ) ( ) (0) V x u
ε
xω
= (2 - 4)En pratique l’expression (2 - 4) fournit un outil de post-traitement qui, à partir du résultat d’un calcul d’endommagement non local, permet d’estimer une ouverture de fissure équivalente. L’erreur observable entre
ε
etε
sd procure de plus un indicateur permettant de quantifier la qualité de cetteestimation. Enfin, cette approche est développée sur un exemple unidimensionnel mais peut être étendue aux dimensions supérieures pour des propagations de fissures en mode I, ce qui suppose de
détecter le lieu où l’endommagement est maximal (ligne en 2D, surface en 3D) et d’y réaliser en tout point la même opération. Ce type d’approche a été développée en dimension deux par Bottoni et Dufour [Bottoni et Dufour, 2010].
sd ε x sd ε u 0 x 0 L x 0 x 0 L sd ε x sd ε u 0 x 0 L x 0 x 0 L Figure 2 - 1
Déformation locale à discontinuité forte
ε
sd, et déformation régulariséeε
sd associée.Dans [Planas et al., 1993], le même type de méthode est employé pour construire une loi cohésive équivalente à un modèle non local. Il faut alors ajouter dans l’expression de la déformation (2 - 1) un terme constant dépendant du chargement et qui correspond à l’état de déformation homogène dans [0,L] \ x0. La construction de la loi cohésive revient donc à trouver, à chaque pas de chargement, le saut u qui assure l’égalité
ε ε
= sd.Dans [Mazars et Pijaudier-Cabot, 1996], des équivalences énergétiques entre un modèle de Griffith et un modèle d’endommagement non local intégral sont construites en s’appuyant sur le concept de fissure équivalente, pour lequel est imposée l’égalité entre l’énergie de surface nécessaire à la création d’une aire fissurée, et l’énergie volumique dissipée avec le modèle non local pour former la zone endommagée considérée. Au cours de l’évolution, cette égalité doit également être vérifiée par les incréments d’énergie dissipée, ce qui traduit par la relation suivante :
d
d d
cG
Y a
Ω=∫
Ω
A
(2 - 5)où Gc désigne le taux de restitution d’énergie élastique critique, dAl’incrément d’aire fissurée, Y
la force thermodynamique associée à la variable d’endommagement
a
, et da l’incrément de champ d’endommagement. La relation (2 - 5) peut alors être intégrée sur toute la durée de l’évolution afin d’obtenir l’aire de la fissure équivalente sous un niveau de chargement donné. A l’inverse, une méthode est développée pour construire analytiquement la distribution spatiale d’endommagement équivalente à une fissure rectiligne donnée dans un milieu infini au sein duquel la fissure s’est propagée sous un chargement en mode I. Cette construction s’appuie sur l’hypothèse que l’influence de la process zone (définie comme la portion de la zone endommagée où l’endommagement maximal vérifie 0< <a 1) sur la dissipation d’énergie reste faible, et que par conséquent, il suffit de reconstruire le profil du champ d’endommagement dans la direction normale au trajet de fissuration lorsque sa valeur ultime a=1 a été atteinte en son centre. Ces deux méthodes sont testées pour un calcul élément fini 2D simulant la rupture d’une éprouvette CTsoumise à un chargement de traction : dans le premier cas on passe du modèle non local à une fissure équivalente et le calcul est poursuivi en mécanique linéaire de la rupture, dans le second on part d’une fissure préexistante pour déterminer le champ d’endommagement équivalent et le calcul est poursuivi avec le modèle non local.