Consistent with model’s results - Mise en oeuvre de détecteurs à avalanche pour l’interférométr

Figureiv.1– Courbe moyenne-variance de la caméra C-RED ONE de MIRC-X àGav =1. L’axe des abscisses

montre le flux moyen en ADU/trame/pixel alors que l’axe des ordonnées donne la moyenne sur les pixels de la variance temporelle. Les points bleus représentent les données. La droite noire est l’ajustement linéaire sur les données.

iv.2 t r a n s m i s s i o n 51

La Fig.iv.1est la courbe moyenne-variance effectuée sur la caméra C-RED ONE de l’instrument MIRC-X. Sur cette figure, je mesure un gain systèmeGsys =0.49ADU/e.

iv.1.2

Bruit total par méthode moyenne-variance

En plus du gain système, la méthode moyenne-variance permet d’estimer le bruit total d’une trame. Le bruit total est déduit de l’ordonnée à l’origine de l’ajustement linéaire,293ADU². Cela correspond à un bruit de total

'

17ADU STD, où STD est la déviation standard du signal. En utilisantGsys, cela correspond à

'

35e, ce qui est comparable au45électrons mesurés sans gain d’avalanche par Finger

et al.,2016, sur un détecteur et avec une méthode similaires.

À cause du signal parasite décrit Sect.iii.2.1, le bruit du détecteur est en fait partiellement corrélé. En filtrant le signal de ce parasite avec la méthode de filtrage fréquentiel, nous trouvons un bruit de lecture typique de

'

12ADU STD, équivalent à24e.

iv.1.3

Gain d’avalanche

Le gain d’avalancheGavest le nombre moyen d’électrons à la fin du processus d’avalanche pour un photo-électron incident. Cela représente l’amplification du signal accumulé dans la diode avant la lecture du détecteur.

iv.1.3.1 Protocole de la mesure du gain d’avalanche

Pour calibrerGav je mesure le flux enregistré par la caméra à différents gains d’avalanche pour un même flux incident et je le divise par le flux mesuré àGav=1. À la longueur d’ondeλ=1.55µm, l’efficacité quantique de la caméra est constante avecGsys (voir Fig.iii.10). J’utilise alors un laser àλ=

1.55µmpour éclairer uniformément la caméra. J’ai vérifié la stabilité du flux sortant de la fibre relié au laser à l’aide d’une photo-diode calibrée. Au cours de la prise de mesures la photométrie calibrée de ma source était stable à quelques pourcents.

iv.1.3.2 Résultats de la mesure du gain d’avalanche

La Fig. iv.2 montre le gain d’avalanche mesuré comparé à la calibration du fabricant. Le gain unitaire est utilisé comme référence pour calculer le gain d’avalanche et se situe donc par définition sur la ligne rouge de cette figure. Ma mesure du gain d’avalanche est de façon consistante0.93fois le gain d’avalanche calibré par le fabricant. Ce n’est pas représenté sur cette figure mais j’ai vérifié que cette relation s’appliquait jusqu’à un gain d’avalanche de150.

La calibration par le fabricant pour notre caméra était basée sur une autre méthode ; il s’agit d’une méthode de moyenne-variance (décrite en Sect. iv.1.1) pour chaque gain d’avalanche. Ma mesure indépendante confirme cette calibration. La différence de quelques pourcents sur le gain total n’est pas un problème en opération. Ni les algorithmes de suivi de frange en temps réel ni les algorithmes de réduction de données des instruments ne dépendent de notre connaissance du gain absolu.

iv.2 t r a n s m i s s i o n

Maintenant que j’ai une mesure du gain, je peux effectuer une mesure de la transmission totale de la caméra. En effet une étape de cette mesure a besoin de la connaissance du gain total de la caméraG

(equ.iv.2). Comme il est difficile de séparer la mesure de l’efficacité quantique de la transmission de la caméra, la mesure présentée dans cette section est en fait une combinaison des deux.

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5

Requested Avalanche Gain

0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

15.0

17.5 Observed Avalanche Gain

Gcal = 0.927304781773133 * G +0.029133864901955776

Gcal = G

Figureiv.2– Gain d’avalanche mesuré en fonction du gain calibré par le fabricant. Les points bleus représentent les données mesurées. La droite rouge est la relation1:1. La ligne noire est l’ajustement linéaire, excluant le gain. unitaire

iv.2.1

Configuration expérimentale

La difficulté pour mesurer la transmission de la caméra C-RED ONE est sa sensibilité, car il n’existe aucune diode calibrée sensible au même régime de flux en proche infrarouge que notre caméra. J’ai donc mis au point une procédure expérimentale permettant de faire cette mesure avec une diode calibrée moins sensible. La procédure expérimentale repose sur la dilution du flux prévisible selon la distance à la source du flux.

Comme le montre la Fig.iv.3, j’utilise un laser monochromatique àλ=1550nm. Le choix de cette longueur d’onde se justifie par la constance de l’efficacité quantique apparente à cette longueur d’onde avec le gain d’avalanche (Fig.iii.10). Pour mesurer le flux émis par le laser j’ai utilisé une diode calibrée (modèle S132C) couplée à un appareil de mesure de puissance optique PM100A de THORLAB. Cette photodiode est sensible jusqu’à5nW. La sensibilité typique de la caméra C-RED ONE est de l’ordre de 10⁻⁶nW/pixel. Il nous faut donc bien une dilution entre la photo diode calibrée et la caméra, qui se fait à la fois par les rapports de surface de la diode et du pixel, et par la dilution du flux avec la distance.

La sortie de fibre est donc placée à une distance relativement importante de la caméra ( Lp>1m, la distance laser-pixel). La diode calibrée quant à elle est placée assez proche de la sortie de fibre, mais à une distance suffisante pour que la dilution du flux soit linéaire avec le carré de la distance (L_d= quelques dizaines de centimètres, la distance laser-diode).

De cette façon, le facteur de dilution (FD) entre la diode et le pixel de la caméra est

=

^A^p

·

L²_d A_d

·

(iv.1)

avecApl’aire d’un pixel (24µm²) et Adl’aire de la diode calibrée ( ^9.5₂ 2

·

πmm²).

Pour avoir un contrôle partiel du flux du laser, on utilise un connecteur entre2fibres qui conduit la lumière du laser vers la sortie de fibre. En branchant plus ou moins les fibres au connecteur, on injecte plus ou moins de flux dans la fibre. Ce système ne permet pas de choisir avec précision le flux émis

iv.2 t r a n s m i s s i o n 53 1 2 3 4 5 ⁶ ⁷

Figureiv.3– à gauche, schéma de principe de la procédure expérimentale de mesure de la transmission.1:

Laser monochromatiqueλ=1.55µm.2: fibre optique mono-mode.3: connecteur de fibre optique permettant un contrôle relatif du flux de sortie.4: porte fibre sans collimateur.5: Photo diode calibrée.6: Faisceau laser non collimaté.7: caméra C-RED ONE À droite, photo du montage.

par la fibre, mais ce même flux reste stable temporellement et peut donc être utilisé pour la mesure de transmission. De plus cela permet de prendre des mesures à des flux différents et également d’obtenir un flux assez faible pour ne pas saturer la caméra.

Pour mesurer la transmission, on mesure d’abord le flux du laser reçu sur la diode calibréeF_den Watt. Puis on mesure le flux reçu par un pixelFpen ADU/trame/pixel. Il faut ensuite convertir le flux

Fpen Watt. FpW

=

^F^p G

·

FPS

·

E (iv.2) avec E

=

·

c λ (iv.3)

oùh

=

6.68

·

10⁻34 J.s,c

=

3.0

·

108m.s⁻1, etG

=

Gav

·

Gsysest le gain total de la caméra en ADU/e. Ensuite, pour calculer la transmission, on a

FpW

=

F_d

·

T (iv.4)

où T est la transmission. Nous obtenons donc

=

^F^pW

·

F_d^. ^(iv.⁵⁾

iv.2.2

Vérification du facteur de dilution

J’ai d’abord vérifié que le facteur de dilution était correctement calculé en comparant le flux reçu par la diode à sa position pour la mesure de transmission et en la positionnant juste avant l’entrée de la caméra. Pour ces mesures,L_d

=

0.250

±

0.005metL_de

=

1.37

±

0.01mla distance entre la sortie de fibre du laser et la diode calibrée à l’entrée de la caméra. Pour ce test, le facteur de dilution théorique

estFDt

=

^Ad A_d

·

^Ld

L_de 2

=

0.0333. En effet, comme la surface de la diode calibrée de change pas, il ne s’agit que de la dilution induite par la position différente.

Pour le flux, j’ai effectué7mesures pour chacune des deux positions ; les résultats sont présentés dans le tableauiv.1. J’ai alors pris la moyenne des flux à ces deux positions pour en déterminer le facteur de dilution mesuréFDm

=

^Fde

F_d

=

0.0348. La différence entre le facteur de dilution calculé et le facteur de dilution mesuré est inférieur à5% (4.3%). Cela est tout à fait acceptable pour la précision finale que nous souhaitons sur le calcul de la transmission ('10%). Dans la suite, j’utilise le facteur de dilution théorique pour les nouvelles distances mesurées.

Tableiv.1– Mesure du flux pour la vérification du facteur de dilutionFD

F_d

(

)

F_de (nW) 330.7 11.8 327.2 11.3 327.3 11.1 329.6 11.4 330.0 11.4 326.3 11.3 319,0 11.4

Le tableauiv.1présente les mesures de flux effectuées lors de la vérification de calcul du facteur de dilution. L’erreur sur chacune de ces mesures est de

±

0.5 nW. Nous avons une moyenne de

=

327.26 avec une variance V

(

) =

13.41. Nous avons une moyenne surFde

=

11.39 avec une varianceV

(

Fde

) =

0.04.

iv.2.3

Résultats de la mesure de transmission

Après cette vérification j’ai effectué les mesures de flux avec la caméra. Connaissant l’emplacement du détecteur de la caméra, j’ai mesuré qu’il y avait une distance de 6.5

±

0.5 cm entre le détecteur et l’emplacement la diode calibrée, à l’entrée de la caméra, pour la mesure de dilution. Nous avons donc

L_d

=

0.250

±

0.005metLp

=

L_de

+

0.055

=

1.435

±

0.015mce qui nous fait un facteur de dilution réel

=

0.030.

J’ai mesuré le flux pour différents gains. Les36mesures ainsi que le résultat du calcul de transmis-sion pour chaque mesure sont résumés dans le tableauiv.2.

iv.2 t r a n s m i s s i o n 55

Tableiv.2– Mesure du flux pour la mesure de la transmission de la caméra MIRC-X

Gav F_d(nW) Fp

(

ADU/trame/pixel

)

Var(Fp) Err(Fp) T (%)

1 329.1 522.9 540.2 23.2 49.0 1 327.4 520.6 520.6 23.4 49.1 1 325.2 518.5 536.8 23.2 49.2 1 323.3 518.4 543.0 23.3 49.5 1 323.0 518.7 559.7 23.7 49.6 1 324.2 519.2 530.1 23.0 49.4 2 324.8 1072.9 1486.7 38.6 51.0 2 324.3 1068.2 1485.2 38.5 50.8 2 322.3 1058.2 1476.2 38,4 50.7 3 320.0 1372.6 2597.8 51.0 44.1 3 310.0 1355.1 2561.2 50.6 45.0 3 307.5 1379.5 3874.0 62.2 46.1 4 320.1 1889.7 8422.3 91.8 45.5 4 330.0 1855.4 7324.3 85.6 43.4 4 333.3 1890.3 7917.9 89.0 43.8 5 335.5 2427.8 8082.4 89.9 44.7 5 331.6 2445.2 7141.4 84.5 45.5 5 334.8 2453.3 6658.6 81.6 45.2 7 329.4 3395.7 12369.7 111.2 45.4 7 330.8 3399.6 12444.0 111.6 45.3 7 324.8 3397.7 12403.7 111.4 46.1 10 321.4 4777.9 24349.2 156.0 45.9 10 321.5 4781.4 24349.0 156.0 45.9 10 320.8 4779.7 24299.8 155.9 46.0 15 320.2 7092.9 53445.3 231.2 45.6 15 322.0 7114.1 53575.8 231.5 45.5 15 320.7 7124.5 53664.1 231.7 45.7 20 50.6 1629.7 16918.4 130.1 49.7 20 50.2 1628.8 17016.5 130.4 50.1 20 49.3 1614.7 16792.8 129.6 50.5 60 46.7 4770.1 159278.7 399.1 52.5 60 46.5 4823.6 158062.7 397.6 53.4 60 48.3 4780.7 152930.7 391.1 50.9 40 49.0 3249.6 68521.3 261.8 51.1 40 45.2 3106.6 68156.4 261.1 53.0 40 47.5 3277.9 69571.1 263.8 53.2

Si on prend la moyenne de la transmission calculée, nous obtenons une transmissionT

=

±

3%. L’incertitude donnée ici est l’incertitude statistique calculée à partir de la variance sur les 36

transmissions calculées. Ce résultat est en accord avec la transmission de56% théorique fourni par le fabricant (Transmission des filtres (81%) x efficacité quantique (70%))

iv.3 m o d é l i s at i o n d e l a d i s t r i b u t i o n d u s i g na l

La sectioniv.1présentait mon analyse du gain système et du gain d’amplification, basée sur une analyse classique. Cette analyse classique ne donne pas accès au facteur d’excès de bruit. Dans cette section, j’explore une autre méthode d’analyse, plus fondamentale, et basée sur une modélisation des histogrammes obtenus lors de la tentative de comptage de photons.

iv.3.1

Principe du modèle

Ces histogrammes (appelés H) sont caractérisés par quatre paramètres. Ces quatre paramètres sont le flux photonique (F), le gain total (G), l’ENFet la distribution du signal du courant d’obscurité. Les trois premiers (F,G,ENF) sont des paramètres libres de mon modèle. Le dernier est obtenu grâce à l’histogramme du signal sans illumination, dont la courbe verte de la Fig.iii.11est un exemple.

Ce qui justifie l’utilisation de ce modèle est qu’à bas flux la proportion d’évènements à zéro photon soit suffisante pour pouvoir la distinguer, et ainsi contraindre la valeur du flux grâce à la distribution de Poisson associée. Si le flux est contraint, alors le gain total l’est aussi par l’équationiii.19. Finalement, avec deux des trois paramètres contraints, le dernier (ENF) devrait l’être aussi, grâce à la forme générale de la distribution.

iv.3.2

Modèle du signal

Ce modèle peut être résumé par la formule

=

(3) z }| { BKG

(

ADU,G

) ∗

(2) z }| {

∑

p P

(

p,F

) ·

(1) z }| { MC

(

ENF,^ADU G

)

, (iv.6)

où l’astérisque représente une convolution, BKG(ADU,G) est la distribution mesurée sans illumination,

(

p,F

)

est la proportion d’évènements à pphotons pour un flux moyenFet

=

p−1 convolutions

z }| {

(

ENF,ADU/G

)∗

(

ENF,ADU/G

)∗

... (iv.7)

est l’auto-convolution itérative de la distribution de gain M due au fait que chaque photon d’un évènement àpphotons génère sa propre avalanche.

Le modèle est basé sur les hypothèses réalistes et suit les étapes suivantes :

1. Les gains d’amplification des photons individuels accumulés dans une trame avecpphotons sont décorrélés. Par conséquent la distribution d’une trame àp photons est représentée par

−

1 convolutions de la distribution de gainsM.

2. Ces trames àpphotons sont décorrélées, donc la distribution combinée est une somme pondérée par la distribution de Poisson pour le flux désiré.

3. Le flux du courant d’obscurité est additif et décorrélé du signal photonique avec illumination. Par conséquent la distribution donnée par l’étape précédente est convoluée par la distribution mesurée sans illumination.

Le point clé de ce modèle est la distribution de gainsM. Celle utilisée pour cette étude est décrite dans la section suivante.

iv.3 m o d é l i s at i o n d e l a d i s t r i b u t i o n d u s i g na l 57

iv.3.3

Recommandation pour le gain de distribution M

Comme montré dans la Sect.ii.2.2, le gain et l’ENF sont des propriétés intrinsèques de la distribution

M. Dans mon modèle, Mest la distribution du gain totalG, et non uniquement la distribution du gain d’avalancheGav, mais comme G

=

Gsys

·

Gav, et queGsys n’est qu’une constante, les équationsii.1et ii.2s’appliquent de la même manière pourGque pourGav.

Dans la littérature, deux distributions sont principalement utilisées, la distribution Gaussienne et la distribution exponentielle décroissante. Une distribution purement Gaussienne (Kardynał,

Yuan et Shields, 2008) ne peut modéliser des distributions qu’à bas ENF (<1.2). Autrement la

fraction d’amplification "négative" devient significative, ce qui n’est pas physique. Une distribution exponentielle décroissante (Tsujino, Akibaet Sasaki,2009) possède quant à elle un ENF constant de

2.0, ce qui n’est pas approprié pour modéliser notre ENF de1.25.

J’ai opté pour l’utilisation de la fonction Gamma. Cette distribution est classiquement utilisée pour modéliser les EMCCD (Hirschet al.,2013) et commence à être utilisée pour les e-APD. Elle décrit le processus de multiplication d’un photon à l’intérieur d’un pixel. La distribution Gamma est une distribution intrinsèquement asymétrique et définie sur R+. Elle est définie par deux paramètres positifs,ket θ (voir annexeA.1). Le premier paramètre décrit la forme de la fonction alors que le deuxième décrit son étalement. Ces deux paramètres ont un lien direct avec l’ENF etG.

Pour cette distribution nous avons

=h

i=

kθ (iv.8)

Var

(

) =

kθ². (iv.9)

De l’éq.ii.2, nous obtenons

ENF

=

+

^Var

⁽

⁾

(

) ⁼

⁺

k^. ^(iv.¹⁰⁾

Donc, de l’éq.iv.8et iv.10, nous avons

=

ENF

−

1 ^(iv.¹¹⁾

=

(

ENF

−

)

. (iv.12)

La distribution Gamma permet de couvrir l’intervalle des valeurs d’ENF entre1et

+

∞. La figureiv.4

montre quatre exemples de distributions Gamma. Il est intéressant de remarquer que la distribution Gaussienne (en haut à gauche) et exponentielle décroissante (en bas à gauche) sont des cas particuliers de la distribution Gamma. En utilisant cette distribution j’inclus ainsi ces deux situations dans mon espace de paramètres.

iv.3.4

Stratégie de minimisation

Mon modèle utilise trois paramètres libres F,G,ENF pour reproduire la distribution observée

(

ADU

)

. Comme la dégénérescence de ce modèle est inconnue, j’ai opté pour débuter par une minimisation par force brute en calculant le chi-carré réduitχ²_r entre les données et le modèle pour chaque point dans le cube (F,G,ENF). À la fin de la méthode de brute force, je lance une méthode de descente de gradient classique à partir des paramètres qui minimisent leχ²_r pour trouver les paramètres qui ajustent le mieux le modèle aux données.

Le processus entier sur25fichiers de données (différents flux et gains d’avalanche) prend environ3

heures en prenant25points pour chaque paramètre sur la grille de minimisation de la méthode force brute. J’ai vérifié que cet échantillonnage est suffisant pour sonder la dégénérescence en procédant à la réduction sur certains fichiers de données avec50et100points pour chaque paramètre.

Figureiv.4– Différents exemples de distributions de gains modélisées par la distribution Gamma. En haut à gauche : ENF =1.05,G=40. En haut à droite : ENF =1.3,G=40. En bad à gauche : ENF =1.9,G=40. En bas à droite : ENF =1.3,G=80

iv.3.5

Résultats de la minimisation

La figureiv.5est un exemple des résultats de la minimisation pour un jeu de données à bas flux. La forme globale des données est reproduite de manière convaincante par la solution du meilleur ajustement. La solution est non dégénérée et il n’existe qu’un seul minimum de χ²_r pour chaque paramètre. Cela est dû à la proportion d’évènements à zéro photon qui est bien contrainte par le pic à zéro. Cela contraint donc le flux, ce qui contraint les deux autres paramètres, comme expliqué dans la sectioniv.3.

La figureiv.6est un exemple des résultats de la minimisation pour un jeu de données à haut flux. Comme attendu, pourF>3e/trame/pixel, on voit que la dégénérescence du modèle augmente significativement. Nous voyons sur la carte desχ²_r que nous n’avons qu’une limite basse surF. Par conséquent, nous n’avons qu’une limite haute pourGet l’ENF est mal contraint. Les relations entre les différents paramètres suivent le comportement attendu. Le flux est proportionel à _G¹ afin de retrouver le flux moyen en ADU,

· =h

ADU

i,

(iv.13)

et le flux est proportionnel à l’ENFafin de retrouver la variance totale,

ENF

=

^Var

⁽

^ADU

⁾

h

ADU

i

2 . (iv.14)

L’annexe A.2montre des exemples de résultats des ajustements pour des données à faibles et forts gains, et pour des faible et forts flux. Le meilleur ajustement du modèle aux données reproduit ces données pour tous les flux et les gains. Cela confirme que la distribution Gamma est un modèle adéquat du processus d’amplification.

iv.3 m o d é l i s at i o n d e l a d i s t r i b u t i o n d u s i g na l 59 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 ENF 10 4 6 × 10 5 2 × 10 4 ch i 2 50 0 50 100 0.00 0.02 0.04 0.06

data

model

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