Conservation de la quantité de mouvement

Formulation macroscopique

On applique le théorème de transport (4.6) à la fonction vectorielle représentant la quantité de mouvement localef =̺u:

Il existe d’autres variantes permettant d’exprimer la dérivée matérielle de̺u. En utilisant le théorème de la divergence, on tire :

d ou bien en servant en plus de l’équation de continuité

d

4.1 Théorèmes de transport 65 Attention dans ces deux équations, le termeuureprésente un tenseur d’ordre 2.



Le principe fondamental de la dynamique veut que toute variation (temporelle) de quantité de mouvement résulte de l’application de forces. Donc, on peut écrire une relation générale de la forme

d dt

Z

V

̺udV = forces appliquées au volumeV.

Les forces appliquées comprennent les forces de volume (poids) et les forces de surface agissant à la surface du volume. Il s’ensuit que la forme macroscopique complète des équations de conservation de la quantité de mouvement s’écrit :

d

où σ = Σ·n désigne la contrainte, Σ le tenseur des contraintes. On rappelle que le tenseur des contraintes se décompose en tenseur des pressions−p1et un tenseur des extra-contraintesT:

Σ=−p1+T.

Le tenseurT dépend de la nature du fluide étudié ou du niveau d’approximation :

– T = 0 correspond au cas des fluides parfaits (ou non visqueux) et les équations du mouvement qui en résultent sont appeléeséquations d’Euler;

– T = 2µD correspond au cas des fluides newtoniens et les équations du mouvement qui en résultent sont appeléeséquations de Navier-Stokes. Elles sont examinées en détail au chapitre6; – T = F(D) correspond au cas des fluides non newtoniens, avec F la loi de comportement du

fluide. Les équations du mouvement résultantes sont appeléeséquations de Cauchy⁶.

Formulation locale

Une application du théorème de Green-Ostrogradski permet d’aboutir à laformulation locale des équations de la quantité de mouvement :

̺du macroscopique à la forme locale que les différents champs (vitesse et masse volumique) étaient continus.

L’équation locale n’est pas valable pour une onde de choc ou bien un ressaut hydraulique ; dans un tel cas, il faut appliquer

– soit les formulations intégrales de la conservation de quantité de mouvement pour éviter d’avoir à traiter la discontinuité ;

– soit ajouter des conditions supplémentaires qui viennent compléter les équations locales qui restent valables de part et d’autre de la discontinuité. De telles relations sont appeléesrelations de Rankine-Hugoniot ou bien conditions de choc.

On peut encore écrire cette équation sous une forme raccourcie :

̺du

dt =−∇p∗+∇ ·T,

6. Il n’y a pas de consensus sur l’appellation de cette équation dans la littérature technique.

66 4. Équations de bilan où l’on associe le terme gravitaire̺g au terme du gradient de pression et, ce faisant, on a introduit la pression généralisée p∗ =p+ψ et ψle potentiel gravitaire tel que̺g=−∇ψ. Cette formulation est par exemple utilisée en hydraulique en charge pour traiter les effets de la gravité en termes de pression généralisée.

Les équations locales peuvent s’écrire :

∂̺u

∂t +∇ ·(̺uu) =̺g− ∇p+∇ ·T, (4.10)

ou bien :

̺∂u

∂t +̺u∇u=̺g− ∇p+∇ ·T, (4.11)

où l’on prendra bien garde à la position de la masse volumique̺dans les termes différentiels. La der-nière équation (4.11) est la plus employée. La principale différence entre les équations (4.11) et (4.10) est liée à la place de la masse volumique̺. Si l’écoulement est isochore ou le matériau incompressible, ces deux équations sont trivialement obtenues puisque ̺est constante. L’équation (4.11) ou ses va-riantes s’appelle l’équation de conservation de la quantité de mouvement ou bien l’équation de Newton ou bien encore l’équation fondamentale de la dynamique. Le cas particulier où T = 0 correspond aux équations d’Euler, qui comme on l’a précisé plus haut, constituent le jeu d’équations du mouvement le plus simple qu’on puisse imaginer et qui permettent de résoudre un grand nombre de problèmes pratiques en ingénierie (dynamique des gaz, écoulements à grande vitesse, etc.) :

̺∂u

∂t +̺u∇u=̺g− ∇p, (4.12)

En dimension 2, l’équation de conservation (4.11) peut être projetée de la façon suivante dans un repère cartésien

̺∂u

∂t +̺u∂u

∂x +̺v∂u

∂y =̺gx−∂p

∂x+∂Txx

∂x +∂Txy

∂y ,

̺∂v

∂t +̺u∂v

∂x +̺v∂v

∂y =̺gy−∂p

∂y +∂Txy

∂x +∂Tyy

∂y ,

avecu= (u, v) les composantes du vecteur vitesse, (gx,gy) les composantes du vecteur gravité.

Attention à la notationu∇u. Cela ne signifie pas qu’il s’agit du produit entre le vecteuru et le



tenseur (matrice) ∇u. En fait, en toute rigueur, il faudrait écrire : (u∇)u, les parenthèses servant à indiquer que l’opérateur différentielu∇est appliqué au vecteuru.

Une autre formulation vectorielle de l’équation de conservation de quantité de mouvement est obtenue en faisant remarquer que∇upeut s’écrireu∇u=∇|u|²/2 + (∇ ×u)×u. On a alors :

̺∂u

∂t +1

2̺∇|u|²+̺(∇ ×u)×u=̺g− ∇p+∇ ·T,

̺∂u

∂t +1

2̺∇|u|²+̺ω×u=̺g− ∇p+∇ ·T,

avec ω=∇ ×ula vorticité. Cette équation est parfois appelée équation de Gromeka-Lamb. Elle est utile quand on veut étudier la vorticité du fluide, c’est-à-dire les tourbillons et structures similaires qui se créent dans un fluide.

Interprétation du terme de divergence des contraintes

On peut interpréter le termes−∇p+∇·Tqui apparaît dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement (4.11) en considérant un « volume » infinitésimal, ce qui permet notamment d’expliquer pourquoi les contraintes apparaissent sous la forme d’une divergence. Le raisonnement est classique et

4.1 Théorèmes de transport 67 a déjà été appliqué au §A.2.2pour expliquer le sens physique de l’opérateur divergence. Tout d’abord, il faut se demander quelles sont les forces appliquées à un volume de contrôle infinitésimal, dont le

« volume » (il s’agit d’une surface) par unité de largeur est dxdy (voir figure4.3).

– force de volume : action de la pesanteur̺g;

– forces à la surface du volume de contrôle : elles sont calculées à l’aide deΣ.

n n

Figure 4.3 : projection de la relation d’équilibre des contraintes sur un volume élémentaire.

Considérons un repère cartésien en dimension 2. La représentation deΣdans ce repère est donnée par la matrice symétrique :

Σ= tandis que sur la facette opposée orientée par la normalen= (1,0)

σ1=Σ·n= sur l’axe xs’écrit donc (contrainte×surface par unité de largeur) :

De même, sur l’axey, on trouve que la projection des efforts s’exprime comme : ∂Σxy

∂x +∂Σyy

∂y

dxdy.

Ces petits calculs montrent que les efforts exercés sur la surface de contrôle d’un volume infinitésimal peuvent se calculer de façon générique à l’aide de l’expression∇ ·Σ.