Dans cette section, nous allons montrer une propri´et´e essentielle du calcul : lorsqu’un calcul {44I}i∈I s’arrˆete, l’´etat final GI∞du graphe de calcul ne d´epend
D´efinitions :
Soit un calcul {44I}i∈I, nous appellerons transition une transformation du graphe de calcul GIt identifi´ee par :
– une r`egle :START,STEPouSTOP
– son contexte d’application form´e d’un pentominˆo et des param`etres ´eventuels xj
et k
Bien que les r`egles ne soient pas ”consommatrices” des termes du graphe de calcul qui les d´eclenchent, chaque transition aura lieu une seule fois, lorsqu’un change- ment d’´etat du graphe de calcul fait apparaˆıtre une pr´emisse graphique pour le couple (r`egle, contexte).
D’apr`es Lemme 2, ces pr´emisses sont conserv´ees une fois qu’elles apparaissent ; nous n’avons donc pas `a imposer a priori un ordre pour les transitions.
Nous reprendrons pour les transitions les notations utilis´ees pr´ec´edemment : – start (44i, 0, xj)
– step (44i, k, xj)
– stop (44i)
Une transition fait passer le graphe de calcul d’un ´etat GIavant `a l’´etat GIapr`es. Nous noterons step (44i, k, xj) = GIt1→t2 pour exprimer que l’application de la
r`egleSTEPau pentominˆo 44ipour l’´etape k de son invocation due `a xj fait passer
le graphe de calcul de l’´etat Gt1
I `a l’´etat G t2
I .
Un calcul {44I}i∈I qui s’arrˆete a pour journal une suite finie de transitions reliant G0
I `a GI∞.
Par d´efinition des m´ecanismes de r´e´ecriture, les transitions de typeSTARTou STEPrelatives `a une mˆeme invocation de pentominˆo sont naturellement ordonn´ees chronologiquement par l’exposant du r´educteur qui est appliqu´e ; par contre ces m´ecanismes ne disent rien a priori sur l’ordre d’apparition de transitions corres- pondant `a des invocations diff´erentes. Nous allons pourtant d´egager des ”points de rendez-vous” oblig´es qui vont garantir la confluence du calcul.
Dans la suite de ce paragraphe, nous prenons les notations suivantes : – ∀i : 44i = (δi, Yi0, (fin)n∈Ni)
– start (44i, 0, xj) = GIt1→t2 produit 44i ENTER(Yi1(xj)) qui contient les
requˆetes r´eelles Ri1(xj) ; cette transition est d´eclench´ee par xj ∈ ΦReal(δi, GIt1)
– step (44i, k, xj) = GIt1→t2 produit 44i ENTER(Yik+1(xj)) qui contient
les requˆetes r´eelles Rk+1i (xj) et 44i EXIT (Yik(xj)) ; cette transition est
d´eclench´ee par ΨReal(Rki(xj), GIt1) = Ψ(Rik(xj), GIt1)
– stop (44i) = Gt1→t2
I produit 44i EXIT(Yi0) ; cette transition est d´eclench´ee
Lemme 3 :
Soit {44I}i∈I un calcul d’´etat initial GI0qui s’ach`eve sur l’´etat final GI∞.
Il est possible d’attribuer un rang aux diff´erentes transitions pr´esentes dans le jour- nal de ce calcul en proc´edant de la fac¸on suivante :
– les transitions start (44i, 0, xj) telles que xj ∈ GI0ont le rang ”0”
– les transitions stop (44i) telles que Φ(δi, GI0) ∩ V irtual = ∅ ont le rang ”0”
– les start (44i, 0, xj) dont la pr´emisse graphique est apparue au rang ”0” ont le
rang ”1”
– les stop (44i) et les step (44i, j, xk) dont la pr´emisse graphique est r´ealis´ee
lorsque toutes les transitions de rang ”0” ont eu lieu, tout en ´etant n´ecessairement post´erieure `a l’une d’entre elles au moins, ont le rang ”1”
– ...
– les start (44i, 0, xj) dont la pr´emisse graphique est apparue au rang ”k” ont le
rang ”k + 1”
– les stop (44i) et les step (44i, j, xk) dont la pr´emisse graphique est r´ealis´ee
lorsque toutes les transitions de rang ”k” ont eu lieu, tout en ´etant n´ecessairement post´erieure `a l’une d’entre elles au moins, ont le rang ”k + 1”
– ...a
De plus chaque transition ainsi class´ee applique son r´educteur `a des syntagmes tous issus de transitions de rang inf´erieur.
ail est sous-entendu que deux ´etapes correspondant `a deux r´eductions successives au sein d’un
mˆeme pentominˆo auront des rangs diff´erents ; en effet la pr´emisse de la seconde n’existe qu’`a partir du moment o`u la premi`ere est achev´ee.
d´emonstration de ”Lemme 3” :
La relation n´ecessairement post´erieure a une d´efinition syntaxique sur la base suivante : soit Gt1→t2
I = stop (44i1) , stop (44i2) et step (44i3, k, xj) : k > 0 trois transitions :
stop(44i2) est n´ecessairement post´erieure `a stop(44i1) si et seulement si il existe un syntagme non
r´eel σ2dans Φ(δi, GtI1) ∩ Y 0
i1; en effet 44i1 EXIT(σ2) devra n´ecessairement pr´ec´eder stop (44i2)
pour que la pr´emisse ΦReal(δi, GIt) = Φ(δi, GIt) apparaisse.
step (44i3, k, xj) est n´ecessairement post´erieure `a stop (44i1) si et seulement si il existe un syn-
tagme non r´eel σ3dans Ψ(Rk−1i3 (xj), G
t1
I ) ∩ Y 0
i1; en effet 44i1 EXIT(σ3) devra n´ecessairement
pr´ec´eder step (44i3, k, xj) pour que la pr´emisse ΨReal(Rki3(xj), G
t I) = Ψ(R k i3(xj), G t I) appa- raisse. Soit Gt1→t2
I = step (44i1, k1, xj1); k1 > 0 , stop (44i2) et step (44i3, k3, xj3) : k3 > 0 trois
transitions :
stop (44i2) est n´ecessairement post´erieure `a step (44i1, j1, xk1) si et seulement si il existe un
syntagme non r´eel σ2 dans Ψ(δi, GIt1) ∩ Yik11; en effet 44i1 EXIT(σ2) devra n´ecessairement
pr´ec´eder stop (44i2) pour que la pr´emisse ΦReal(δi, GIt) = Φ(δi, GIt) apparaisse.
step (44i3, k3, xj3) est n´ecessairement post´erieure `a step (44i1, k1, xj1) si et seulement si il
existe un syntagme non r´eel σ3 dans Ψ(Rk−1i3 (xj3), G
t1
I ) ∩ Y k1
i1 ; en effet 44i1 EXIT(σ3) de-
vra n´ecessairement pr´ec´eder step (44i3, k3, xj3) pour que la pr´emisse ΨReal(R
k3 i3(xj3), G t I) = Ψ(Rk3 i3(xj3), G t I) apparaisse.
Examinons maintenant le fonctionnement des r´educteurs :
dans le cas d’une transition start (44i, 0, xj), la d´efinition des rangs impose que xj ait ´et´e
produit par une transition de rang inf´erieur (peut importe que d’autres transitions le produisent ult´erieurement)
dans le cas d’une transition step (44i, k, xj); k > 0, dont la pr´emisse graphique est
ΨReal(Rki(xj), GIt) = Ψ(R k
i(xj), GIt) ; prenons une assertion r´eelle quelconque α dans
ΨReal(Rki(xj), GIt) et supposons que toutes les transitions productrices de α soient de rang ¿=
”p”, alors il y avait `a l’issue du rang ”p − 1” un syntagme non r´eel α0qui a produit α par r´eduction,
et qui empˆechait la r´ealisation de la pr´emisse ; le rang de step (44i, k, xj); k > 0 est donc ¿ ”p”.
Th´eor`eme 2 :
Soit un calcul {44I}i∈I qui s’arrˆete, l’´etat final GI∞est fonction du seul ´etat initial G0
d´emonstration de ”Th´eor`eme 2” :
Supposons qu’un mˆeme calcul {44I}i∈Ipuisse produire deux journaux finis diff´erents, l’un conte-
nant les GItai→taj , l’autre contenant les GItbi→tbj. Et appliquons `a chaque journal le classement des transitions par rang ; nous allons montrer par r´ecurrence sur ”n” : [ les transitions de rang ”<= n” sont les mˆemes dans les deux journaux. ]
La propri´et´e est ´evidente au rang ”0”.
Supposons la propri´et´e vraie au rang ”n” et soit une transition GItai→taj de rang ”n+1”, appartenant au premier journal.
S’il s’agit d’une start (44i, 0, xj), xja ´et´e produit par une transition de rang ”n” dans les deux
journaux, et donc start (44i, 0, xj) est ´egalement de rang ”n + 1” dans le second journal.
S’il s’agit d’une stop (44i), la pr´emisse (ind´ependante du journal) a ´et´e r´ealis´ee lorsque toutes les
transitions de rang ”n” ont eu lieu, tout en ´etant n´ecessairement post´erieure `a l’une d’entre elles ; et ceci est vrai dans les deux journaux.
S’il s’agit d’une step (44i, j, xk), la pr´emisse est issue d’une transition de rang inf´erieur ; elle est
donc identique dans les deux journaux. Par ailleurs le r´educteur s’applique `a des syntagmes issus de transitions de rang ”<= n” qui sont les mˆemes dans les deux journaux.