0 200 400 600 800 1,000 1,200
−80
−60
−40
−20
0
20
Fr´equence [Hz]
Magnitude
[dB]
Voie secondaire
FIGURE 1.9. Caractéristique fréquentielle de la voie secondaire identifiée pour la première configuration du banc d’essai.
1.4 Configuration en Feedback
Le développement d’un contrôleur feedback (de rétroaction) adaptatif a été choisi pour le rejet des perturbations à bande étroite en commençant par un simple contrôleur fixe pour les perturbations tonales, puis en passant par un contrôleur fixe plus robuste en ce qui concerne les caractéristiques de la perturbation, pour finalement obtenir le contrôleur feedback adaptatif auto-réglable avec un paramétrage Youla-Kuˇcera.
De la section précédente nous avons vu que le modèle à temps discret linéaire et invariant dans le temps (LTI) de la voie secondaire utilisée pour concevoir le contrôleur sera décrit comme:
(1.16) G(q−1) =q
−dGBG(q−1) AG(q−1) ,
où les polynômes AG(q−1) et BG(q−1) sont définis comme:
AG(q−1) = 1 + a1q−1+ · · · + anAGq−nAG, (1.17)
BG(q−1) = b1q−1+ · · · + bnBGq−nBG, (1.18)
1.4.1 Contrôleurs linéaires
Nous avons aussi défini le contrôleur de feedback K (q−1) comme K (q−1) =RK(q−1)
SK(q−1), de sorte que (1.19) K (q−1) =RK SK = r1q−1+ · · · + rnRKq−nRK 1 + s1q−1+ · · · + snSKq−nSK.
+ +
-FIGURE1.10. Schéma de régulation en Feedback.
La figure 1.4.1 montre le schéma de régulation en boucle fermée décrit par ces équations. La sortie du système y(t) et l’entrée u(t) sont décrites par y(t) = G(q−1)u(t)+p(t) et u(t) = −K(q−1) y(t), qui peuvent être écrites comme :
y(t) =q −dGBG(q−1) AG(q−1) u(t) + p(t), (1.20) u(t) = −RK(q −1) SK(q−1)y(t), (1.21)
où p(t) représente l’effet des perturbations sur la sortie mesurée. En développant ces équations, nous obtenons:
y(t) = AGSK
AGSK+ q−dGBGRKp(t) = AGSK PFB p(t), (1.22)
avec PFB(q−1) comme polynôme caractéristique du système en feedback, qui spécifie les pôles en boucle fermée souhaités du système.
La fonction de transfert en boucle fermée entre la perturbation p(t) et la sortie du système y(t), est appelée fonction de sensibilité de sortie (Syp) et est donnée par
(1.23) Syp= y(t)
p(t)= AG(q
−1)SK(q−1) PFB(q−1) .
De la même manière, la fonction de transfert entre la perturbation p(t) et l’entrée u(t) du système est appelée fonction de sensibilité d’entrée (Su p) et est donnée par
1.4. CONFIGURATION EN FEEDBACK
(1.24) Su p= u(t)
p(t)= −AG(q
−1)RK(q−1) PFB(q−1) .
Quelques contrôleurs linéaires fixes ont d’abord été conçus à l’aide de la technique de place-ment des pôles et de calibrage des fonctions de sensibilité. Premièreplace-ment, afin d’atténuer forte-ment les perturbations tonales, le principe du modèle interne (IMP) a été utilisé [Landau et al., 2016, Francis and Wonham, 1976]. En bref, le IMP indique que pour rejeter complètement une perturbation asymptotiquement (c’est-à-dire en état stationnaire), le contrôleur doit inclure le modèle de la perturbation.
Comme la fréquence des perturbations tonales peut varier ou n’est pas parfaitement connue dans un système ANC, un contrôleur robuste fixe a également été conçu pour prendre en compte les caractéristiques possibles de la perturbation. Pour réaliser cette fonction, des filtres à réjection de bande (band-stop filters) (BSF) ont été utilisés. La théorie de la conception des contrôleurs linéaires feedback est le sujet principal de l’annexe E [Meléndez et al., 2017].
1.4.2 Contrôleur adaptatif
L’approche adaptative utilise le paramétrage Youla-Kuˇcera du contrôleur, combiné avec le principe du modèle interne. La référence de base pour cette approche utilisée dans le contrôle actif des vibrations est [Landau et al., 2016]. La théorie du contrôleur FIR adaptatif en feedback est le sujet principal de l’annexe A. [Landau et al., 2019c].
Pour adapter directement les paramètres du contrôleur, le paramétrage Youla-Kuˇcera (YK) du contrôleur est utilisé. Dans ce contexte, on considère un filtre de réponse impulsionnelle finie (FIR) de la forme:
(1.25) Q(z−1) = q0+ q1z−1+ · · · + qnQz−nQ, à laquelle est associé le vecteur paramètresθ= [q0 q1. . . qnQ]T.
Sous le paramétrage Youla-Kuˇcera, les polynômes équivalents RK(z−1) et SK(z−1) du con-trôleur K (q−1) prennent la forme:
RK(q−1) = R0+ AGQHS0HR0 (1.26)
SK(q−1) = S0− q−dGBGQHS0HR0, (1.27)
où AG, BG et dGcorrespondent au modèle identifié de la voie secondaire, R0(z−1), S0(z−1) sont les polynômes du contrôleur central, et HS0, HR0 sont les éléments fixes du contrôleur. Il est remarquable de constater que sous le paramétrage YK utilisant une structure FIR pour le filtre Q(z−1), les pôles en boucle fermée définis par le contrôleur central restent inchangés, de sorte
que:
PFB(q−1) =AGSK+ q−dGBGRK,
=AG[S0− q−dGBGQHS0HR0] + q−dGBG[R0+ AGQHS0HR0], =AGS0+ q−dGBGR0.
(1.28)
L’objectif est d’estimer une valeur pour Q de sorte que y(t) soit ramené à zéro.
Le schéma adaptatif est représenté dans la Figure 1.11, où PAA signifie Algorithme d’adaptation paramétrique. + + -+
-FIGURE1.11. Schéma de paramétrage adaptatif Youla-Kuˇcera.
L’observateur de la perturbation w(t) est défini par
(1.29) w(t) = AG(q−1) y(t) − q−dGBG(q−1)u(t) = AG(q−1)p(t). L’estimation du polynôme Q au temps t est donnée par:
(1.30) Q(t, qˆ −1) = ˆq0(t) + ˆq1(t)q−1+ · · · + ˆqnQ(t)q−nQ, et est caractérisé par le vecteur de paramètres
(1.31) θˆT
(t) = [ ˆq0(t) ˆq1(t) . . . ˆqnQ(t)].
L’ordre nQ du polynôme ˆQ est lié à l’ordre du dénominateur du modèle de perturbation. Ce type de configuration permet de développer un algorithme d’adaptation de la forme:
1.4. CONFIGURATION EN FEEDBACK
où le vecteurϕ(t) est une fonction de l’observation w(t) de la perturbation, de telle sorte que
ϕ(t) = f {w(t), w(t − 1),...}, et
(1.33) ε(t + 1) =
S0(q−1)
PFB(q−1)w(t + 1) − ˆθT(t)ϕ(t) 1 +ϕT(t)F(t)ϕ(t) , et où la matrice de gain d’adaptation est définie comme:
(1.34) F(t + 1) = 1 λ1(t) F(t) − F(t)ϕ(t)ϕT(t)F(t) λ1(t) λ2(t)+ϕT(t)F(t)ϕ(t) ,
avec 0 <λ1(t) ≤ 1, 0 ≤λ2(t) < 2, F(0) > 0 ; oùλ1etλ2permettent d’obtenir différents profils pour l’ évolution du gain d’adaptation F(t). Finalement, le contrôle à appliquer est donné par:
(1.35) u(t + 1) =−1
S0£R0y(t + 1) + HR0HS0Q(t + 1)w(t + 1)ˆ ¤ . 1.4.3 Résultats Expérimentaux
De nombreux essais expérimentaux ont été effectués pour prouver l’efficacité des controlleurs conçus pour le banc d’essai. L’un de ces essais a été appelé essai d’interférence. Il est divisé en trois parties principales. Le phénomène d’interférence apparait quand 2 perturbations sinusoïdales de fréquences très proches sont appliquées sur un système. Comme on peut le voir sur la Figure 1.12, la première partie correspond à un fonctionnement en boucle ouverte (perturbation dans le système sans atténuation du contrôleur); dans la seconde partie, la boucle est fermée et le contrôleur commence à atténuer le bruit, et la troisième partie montre le bruit résiduel après modification des caractéristiques fréquentielles des perturbations.
Il est clair que le niveau d’atténuation est proche d’un rejet complet de la perturbation, même dans le cas d’un éventuel changement des caractéristiques de la perturbation.
Un autre test a été désigné sous le nom de changements en échelon des fréquences, où la pertur-bation est définie par deux ondes sinusoïdales tonales dont les changements des caractéristiques fréquentielles sont décrits comme suit:
1. Référence pour le bruit ambiant, ni perturbations ni contrôle 2. Fréquences nominales, 170Hz + 285Hz
3. Perturbations -10Hz ,160Hz + 275Hz 4. Fréquences nominales, 170Hz + 285Hz 5. Perturbations +10Hz, 180Hz + 295Hz 6. Fréquences nominales, 170Hz + 285Hz
FIGURE1.12. Atténuation des interférences acoustiques par un contrôleur adaptatif en feedback avec paramétrage YK.
La Figure 1.13 montre l’évolution dans le temps du bruit résiduel dans deux configurations. La première correspond au comportement du système en boucle ouverte (pas d’action du régulateur), tandis que la seconde affiche une excellente atténuation du bruit par le régulateur en boucle fermée, même en présence de changements brusques (échelons) dans les caractéristiques de la perturbation.