La conductivité relative

En substituant les expressions (1.82) et (1.86) dans l’équation (1.14), celle-ci

En considérant les variables Q, b, C et i, il est également possible de former le paramètre adimensionnel composé:

5 2

*

ib C

Q  Q (1.89)

Tenant compte de la définition du paramètreQ^*, la relation (1.88) s'écrit plus simplement:

n

Q n



 2 1

3

*2

 

(1.90)

La relation (1.90) s’écrit alors :

0

2 ^{*2 *2}

3  Q _n Q 

n 

 (1.91)

Nous obtenons ainsi une équation de troisième degré en_n, sans terme du second ordre, qui permettrait de déterminer le rapport d’aspect_n, à condition de connaître la valeur de la conductivité relativeQ^*.

Le discriminant de l’équation (1.91) est :

*4

32 *2

4 1 27

Q Q

    

 

 

Nous pouvons alors conclure que :

a. LorsqueQ^* 27 / 32, le discriminant  est négatif ou nul et la racine réelle de l’équation de troisième degré (1.91) est :

cos 3 3

2 2 ^* 

_n  Q

(1.92) Où l’angle est tel que :

32 27 cos 1_*

Q



(1.93)

b. LorsqueQ^* 27 / 32, le discriminant  est positif ou nul et la racine réelle de l’équation de troisième degré (1.91) est :



Exemple d’application 1.7.

On souhaite déterminer la profondeur normaley_nde l’écoulement dans un canal rectangulaire ainsi que le coefficient n de Manning pour les données suivantes:

.

i. Les données du problème sont telles que la conductivité relative:

06886624

Cette valeur de la conductivité relative Q^*est inférieure à 27 / 320, 918558654.

La discriminant  de l’équation est positif et le rapport d’aspect _n est alors donné par la relation (1.94), soit :



ii. La valeur recherchée de la profondeur normaley_nest donc :

iii. Le coefficient n de Manning:

 Le rayon hydraulique R_h  A/Pest par suite :

m 0.95180037 18675938

. 0 2 1

18675938 .

7 0 2

1 



 

 



n n

h b

R 



Avec la valeur donnée du coefficient de Chézy Cet celle calculée du rayon hydrauliqueR_h , le coefficient n de Manning est donc:

C s n R nR

C _h ^{h -1/3}

1/6 6

/ 1 6

/

1 0.01400055 0.014m

70.84 0.95180037

1     



b. Formule de Manning

En introduisant les expressions (1.81) et (1.85) dans l’équation de Manning, on obtient:

 

^2/5

5 / 3 3 /

5 2 _n

n b y

i b

y Qn   

 





(1.95)

La relation (1.95) est également implicite vis-à-vis de la profondeur normale y_n de l’écoulement.

Exemple d’application 1.8.

Reprenons l’exemple d’application 1.7 et calculons la profondeur normale y_nde l’écoulement pour les données suivantes:

s m n

i m b s m

Q20 ³ / ; 7 ; 0.001; 0.014 ^1/3.

La solution d’un tel problème peut être trouvée en respectant les étapes suivantes : 1^ère itération :

i. Choisissons y_n11.3mcomme première estimation.

ii. Par l’application de la relation (1.95) :



b y



m n’est pas encore satisfaisante. Une nouvelle itération est par conséquent nécessaire.

2^ème itération :

On suit la même démarche que pour la première itération.

Choisissons donc y_n2comme deuxième estimation.

iii. Par l’application de la relation (1.95) :

m itération est par conséquent nécessaire.

3^ème itération :

On suit la même démarche que pour la première itération:

m itération est par conséquent nécessaire.

4ème itération :

m itération est par conséquent nécessaire.

5^ème itération :

On suit la même démarche que pour la première itération.

m début de cette cinquième itération est donc satisfaisante. La convergence étant atteinte, le calcul itératif s’arrête.

La profondeur normale y_n recherchée est donc : y_n 1.3073m

1. La conductivité relative

A partir des variables Q, b, n et i, il est également possible de former le paramètre adimensionnel composé :

i donnés respectivement par les relations (1.82) et (1.86). En introduisant ces relations dans la relation (1.24), il vient que :

En tenant compte de la définition du paramètre adimensionnelQ_M^* , la relation (1.97) s'écrit plus simplement :

 

^2/3

3 / 5

*

2

1 _n

n

QM





 

(1.98)

Au regard de la forme de la relation précédente, il apparaît clairement que la fonction )

( _M^*

n Q

 ne peut guère s'exprimer sous une forme explicite. En élevant à la puissance 3/5 les deux membres de l'équation précédente, nous pouvons écrire :

 

^2/5

5 /

* 3

2

1 _n

M

n Q 

   (1.99) Le problème posé consiste donc à déterminer la profondeur normaley_n, ce qui revient à évaluer le rapport d’aspect _net par suitey_n b_n.Lorsque l’on examine la forme de la relation (1.99), il apparaît que le rapport d’aspect _nne peut être déterminé de manière explicite.

Quelques méthodes de résolution de la relation implicite (1.99), sont présentées dans le paragraphe suivant:

i. Résolution par le théorème de Lagrange

Etabli en 1770, le théorème de Lagrange permet d'obtenir la solution d'une équation implicite en termes d'une série infinie. Appliqué pour la première fois par Swamee et Rathie (2004), il énonce que :

Sous certaines conditions, une fonction f(y), où y est la racine de l'équation )

(y a

y  (1.100) Dans laquelle a est une constante et  un paramètre, est donnée par :

i

i d

 



^{  1 }

Dans la relation (1.101), le paramètre représente en fait la fonction bien connue 

Dans la relation (1.101), il apparaît que:

; )

(y y _n

f   f a( ) f(0)0 ;ⁱ Q^*_M^3i/5; f x'( ) 1 ;ⁱ( )x  (1 2 )x ^{2 /5i} Ainsi, la relation (1.101) devient :

     

Nous pouvons également écrire que :

1 En introduisant les relations (1.103) et (1.104) dans la relation (1.102), il vient que :

     

Ou bien, après simplifications : Selon la fonction , nous pouvons écrire la relation (1.105) sous la forme :

... coefficient n de Manning.

L’inconvénient majeur de la relation (1.106) est qu’elle ne donne la valeur exacte du rapport d’aspect _nqu’à l’infini. Pour obtenir la valeur du rapport d’aspect_n par la relation (1.106), il est nécessaire de la tronquer, cela revient à arrêter le calcul à un certain ordre i jusqu’à ce que la valeur calculée de _npour l’ordre (i-1) soit très proche de la valeur de _ncalculée à l’ordre i. Ainsi, l’application de la relation (1.106) ne donne qu’une valeur approchée du rapport d’aspect_n.

ii. Résolution par une équation approchée 1. Approche de Srivastava

La formule proposée par Srivastava (2006) consiste la solution exacte à la relation implicite (1.98). Le rapport d’aspect _nest exprimé sous la forme explicite suivante :



^{* 0.9363}



^{0.3929 2/5}

Nous avons comparé les valeurs approchées de _ncalculées selon la relation (1.107) aux valeurs exactes de _ncalculées en application de la relation (1.98). Nous avons alors représenté sur la figure 1.11 les écarts relatifs _n/_n(%)en fonction de la conductivité relativeQ_M^*.

Figure 1.11: Ecarts relatifs_n /_n(%)entre les valeurs exactes et approchées du rapport d’aspect_n, calculées respectivement par les relations (1.98) et (1.107).

La figure 1.11 montre clairement que l’écart relatif maximal entre les valeurs exactes et approchées du rapport d’aspect _nne dépasse guère 0,07%, ce qui confirme bien la validité de la relation approchée (1.107) proposée. Rappelons tout de même que l’application de la relation approchée (1.107) nécessite la connaissance de la conductivité relative Q^*_Mdont la valeur dépend de celle du coefficient n de Manning.

Dans le document Contribution par la MMR au calcul de la profondeur normale (Page 71-80)