6.2 Conditions de reconstruction parfaite par SR en présence d’outliers
6.2.1 Conditions suffisantes pour le K-pardon
Dans cette section,T est l’ensemble des supports de cardinal K. La propriété de non- concentration permet de trouver des conditions suffisantes de reconstruction sur le nombre d’images BR lorsque K outliers contaminent les données. Ces conditions font intervenir le conditionnement de A.
Définition 6.2.1(Conditionnement Lp). Le conditionnement Lpd’un opérateur A est définit par :
κA,p=
sup∥u∥p=1∥Au∥p
inf∥u∥p=1∥Au∥p
(6.18) En utilisant la PNC, on montre la propriété suivante.
Proposition 6.2.1. Soit A une matrice de super-résolution. Soit κAT c,.,1, le conditionne-
ment L1maximum des ATc|(les A dont les lignes sont restreintes a Tc). Supposons :
N > K(M2κAT c|,1+
1
l2) (6.19)
Démonstration. Soit T un support de cardinal K. On cherche une condition suffisante pour que
∥AT|u∥1 ∥ATc|u∥1
< 1 (6.20)
soit vrai pour tous les supports T de taille K. On commence par borner la norme d’opérateur L1de AT|(A restreint à T ). Soient ai les lignes de A :
∥AT|u∥1 ∥u∥1 = ∑ i∈T| < ai, u >| ∥u∥1 ≤ ∑ i∈T ∑ j|ai,juj| ∥u∥1 . (6.21)
On a|ai,j| ≤ 1 car tous les coefficients de A sont des échantillons d’un sinus cardinal. En
conséquence : ∥AT|u∥1 ∥u∥1 ≤ ∑ i∈T ∑ j|uj| ∥u∥1 ≤ K . (6.22)
On borne ensuite le rapport ∥AT|u∥1
∥AT c|u∥1. On utilise le conditionnement L
1 de A
Tc| , noté
κAT c|,1. On peut ainsi écrire :
∥AT|u∥1 ∥ATc|u∥1 ≤ K∥u∥1 ∥ATc|u∥1 ≤ K ( inf∥ATc|u∥1 ∥u∥1 )−1 ≤ K κAT c|,1 ∥ATc|∥op,1 . (6.23)
On utilise le fait que la norme d’opérateur L1,∥ATc|∥op,1 peut être bornée inférieurement
par des valeurs particulières. On remarque que l’opérateur SR transforme les images HR constantes en images BR constantes ayant la même intensité. En conséquence,∥ATc|∥op,1≥
(N l2− K)/(Ml)2et : ∥AT|u∥1 ∥ATc|u∥1 ≤ K(Ml) 2 κAT c|,1 N l2− K . (6.24) On en déduit la proposition.
Le conditionnement L1est une quantité difficile à calculer en général, car il faut borner inférieurement la valeur absolue d’une somme. Pour certains problèmes, il est possible de le faire. Par exemple, on peut borner inférieurement, la norme L1d’une somme d’exponen- tielles complexes [59].
Grâce à l’équivalence entre propriété de reconstruction parcimonieuse et pardon, on peut utiliser la Restricted Isometry Property (RIP, [24]) pour trouver une condition suffisante de K-pardon en utilisant des normes L2. On rappelle la définition de la RIP.
Définition 6.2.2(Restricted Isometry Property). B a la Restricted Isometry Property d’ordre J avec constante δ∈]0, 1[ si pour tout x ∈ RN (l×l)et pour tout support T tel que|T | = J
Montrer la RIP d’ordre J = K + K′ avec constante δ < √√K′−√K
K′+√K pour B donne la
capacité de reconstruction parcimonieuse à B pour les supports de taille K (voir [29,31]). Si de plus B annihile A, A est K-pardonnante. On peut facilement construire des annihilateurs de A, on peut donner une version de la RIP qui ne dépend que de A :
Proposition 6.2.2. Si pour tout T de cardinal J : ∥A(AHA)−1AH(x.T )∥
2 ∥x.T ∥2 ≤
√
δ (6.26)
alors il existe B ayant la RIP d’ordre J et constante δ telle que kerB = ImA.
Démonstration. Étant donné une matrice A, on définit B comme la projection orthogonale sur (ImA)⊥ : B = P(ImA)⊥ = I − A(AHA)−1AH. En restreignant B a son espace
image (qui est de dimension (N−M2)l2), on construirait une matrice de rang plein et donc annihilatrice de A.
On réexprime l’équation (6.25) en fonction de A. On commence par l’élever au carré : (1− δ)2∥x.T ∥22 ≤ ∥B(x.T )∥22 ≤ (1 + δ)2∥x.T ∥22 . (6.27) D’après le théorème de Pythagore,
∥x.T ∥2
2 =∥A(AHA)−1AH(x.T )∥22+∥B(x.T )∥22 (6.28)
On obtient en remplaçant dans l’équation (6.27) : (1− δ)2 ≤ 1 −∥A(A
HA)−1AH(x.T )∥
2
∥x.T ∥2 ≤ (1 + δ)
2 (6.29)
On en déduit : si pour tout T de cardinal J :
∥A(AHA)−1AH(x.T )∥
2 ∥x.T ∥2 ≤
√
δ (6.30)
alors B a la RIP d’ordre J et constante δ. Proposition 6.2.3. Supposons
N > M2C1−1Kκ4A,2 (6.31) où C1 = 0.0670. Alors A est K-pardonnante.
Démonstration. Soit un support T de cardinal J . On montre d’abord que ∥AHT∥op,2 =
∥AT∥op,2 ≤
√
J . En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz : ∥AT|u∥22 ∥u∥2 2 = ∑ i∈T| < ai, u >|2 ∥u∥2 2 ≤ ∑ i∈T ||ai||22||u||22 ∥u∥2 2 . (6.32)
On a||ai||2 ≤ 1 car ce sont des sinus cardinaux. En conséquence : ∥AT|u∥2
∥u∥2 ≤ √
On borne maintenant le ratio : ∥A(AHA)−1AH(x.T )∥ 2 ∥x.T ∥2 ≤ σmax ∥(AHA)−1AH(x.T )∥ 2 ∥x.T ∥2
≤ σmaxσmin−2 ∥AHT∥2 ≤ κ 2 A,2 √ J σmax (6.34)
où σmin et σmax sont les valeurs singulières minimale et maximale de A. En remplaçant
avec une valeur admissible de δ, on trouve la condition : κ4A,2(K + K′) σ2 max ≤ √ K′−√K √ K +√K . (6.35)
On prend K′ = 3K (que l’on a trouvé optimal pour la constante C1). On obtient alors la
condition : κ4A,2 σ2 max ≤ √C1 K (6.36)
σmax ≥ ∥Au∥∥u∥22 car σmax est la norme d’opérateur de A. Si on prend pour u une image
constante, on obtient : σmax≥
√
N/M2. Finalement, la condition devient,
N > M2C1−1Kκ4A,2 (6.37)
Cette inégalité est utile car elle dépend du conditionnement global du problème de SR et la constante est facilement calculable (même si elle est grande). De plus, on sait comment se comporte le conditionnement global. Dans le chapitre 3, il est montré que le conditionnement κA,2 tend vers 1 pour un grand nombre d’images avec un mouvement
aléatoire. On peut de plus montrer que l’on ne peut pas avoir de borne meilleure que linéaire en fonction du nombre d’outliers en exhibant le cas particulier d’outliers contaminant le même pixel (on le montrera pour le cas particulier du débruitage multi-image en utilisant la PNC dans le chapitre7). On le montre ici avec un contre exemple pour un cas particulier de super-résolution.
Proposition 6.2.4. Pour les problèmes de super-résolution 1D, avec un facteur M = 2 et un nombre d’observations N = 2P > 2 , on ne peut pas avoir K-pardon en général si K > N/4.
Démonstration. On construit un contre-exemple. Supposons que les translations des si- gnaux BR sont 0, 1, . . . , 0, 1 respectivement. On a donc P observations avec une translation 0 et P avec une translation 1. Les signaux BR coïncident exactement avec la grille HR. Dans ce cas, la reconstruction pour un échantillon HR est la médiane des P observations disponibles pour cet échantillon. Pour que cette médiane donne le bon résultat, il faut qu’au moins P/2 observations par pixel ne comporte pas d’outliers. En effet, dans le pire des cas, tous les outliers prennent une même valeur différente du signal.
On peut étendre ces bornes inférieures au cas 2D :
Proposition 6.2.5. Pour les problèmes de super-résolution 2D, avec un facteur M = 2 et un nombre d’images N = M2P , on ne peut pas avoir K-pardon en général si K > 2MN2. Démonstration. On utilise exactement le même argument que pour la proposition 6.2.4
précédente.
Avec ces développements, on trouve donc asymptotiquement la borne linéaire qui est optimale. La borne asymptotique de l’équation (6.37) est de N/15M2outliers à comparer à la limite N/2M2. Cependant, on voit que ces bornes ne sont pas bonnes quantitativement, le nombre d’images nécessaires pour remplir la condition augmente avec le nombre d’outliers, mais on se rend compte que la borne qui utilise le contre-exemple que l’on vient d’exhiber ne change pas si l’on considère que les outliers contaminent toute une image. En utilisant cette remarque, on améliore les bornes.