a variation premi`ere born´ee ?
1.4 Conditions quantitatives de rectifiabilit´ e dans l’espace des vari-folds
Comme on l’a dit, l’objet du Chapitre 3 est de r´epondre `a la question 1.2 soulev´ee dans le para-graphe pr´ec´edent :
Question. 1.2 Comment assurer qu’un varifold, obtenu comme limite de varifolds a priori non rec-tifiables, soit rectifiable ?
On cherche des conditions, portant sur une suite de d–varifolds (Vi)i, convergeant faiblement–∗
vers und–varifold, qui assurent queV estd–rectifiable. On cherche des conditions suffisamment faibles pour ˆetre valides dans le cas o`u (Vi)i est la suite des varifolds volumiques discrets (VKi)i obtenue par projection d’und–varifold rectifiableV sur une suite de maillages (Ki)i dont le pas tend vers 0.
1.4.1 Conditions quantitatives de rectifiabilit´e
Il existe diverses fa¸cons de caract´eriser la rectifiabilit´e d’un ensembleM ou d’une mesure de Radon µdansRn. En termes d’existence de plan tangent approch´eµ–presque partout, comme ´enonc´e dans le Th´eor`eme 1.9. Il existe aussi une caract´erisation en termes ded–densit´e, due `a A. Besicovitch ([Bes28]
[Bes38] [Bes39]) dans le cas d= 1 et P. Mattila [Mat75] dans le cas g´en´eral :
Th´eor`eme 1.14. Soit E ⊂ Rn un bor´elien de mesure de Hausdorff Hd(E) finie. Alors E est d–
rectifiable si et seulement si pour Hd–presque tout x∈E, Θd(E, x) = lim
r→0
Hd(E∩Br(x)) ωdrd = 1.
Ce r´esultat a ´et´e par la suite am´elior´e par D. Preiss [Pre87] (le fait quesci-dessous est forc´ement un entier est dˆu `a J. Marstrand) :
Th´eor`eme 1.15. Soit µ une mesure de Radon positive dans Rn. S’il existe s > 0 tel que pour µ–presque tout x∈Rn,
0<lim
r→0
µ(Br(x))
rs existe <+∞, alors sest entier et µ ests–rectifiable.
On pourrait ajouter le th´eor`eme de structure de Besicovitch-Federer, qui caract´erise les parties rectifiable et non rectifiable d’un ensemble en termes de projections sur les d–plans (cf. th´eor`eme 2.65 [AFP]). Cependant, ces caract´erisations sont essentiellement qualitatives, tandis que pour le probl`eme qu’on se pose, la suite de varifolds convergeant faiblement–∗ est constitu´ee de varifolds a priori non rectifiables, mais dont on voudrait en quelque sorte contrˆoler la non-rectifiabilit´e, afin d’obtenir la rectifiabilit´e du varifold limite. C’est pourquoi des conditions plus quantitatives de rectifiabilit´e sont plus adapt´ees `a notre question. Une th´eorie quantitative de la rectifiabilit´e a ´et´e d´evelopp´ee par G.
David et S. Semmes ([DS91a] [DS93a]) dans le cas particulier des mesures d–r´eguli`eres, c’est-`a-dire les mesure de Radon v´erifiant : il existe C >0 tel que
1
Crd6µ(Br(x))6Crd ∀r >0, µ–presque toutx . (1.6) Rappelons qu’en toute g´en´eralit´e, une mesure d–rectifiable v´erifie seulement pourµ–presque tout x,
0<lim inf
r→0
µ(Br(x))
rd 6lim sup
r→0
µ(Br(x))
rd <+∞.
Parmi les diff´erentes conditions quantitatives de rectifiabilit´e, on s’est plus particuli`erement int´eress´ee dans cette th`ese `a celle qu’on pourrait rapprocher de la caract´erisation qualitative en termes d’exis-tence d’un plan tangent (Th´eor`eme 1.9). Cette condition donne un sens quantitatif `a la propri´et´e de se concentrer localement autour d’un planµ–presque partout et peut ˆetre mesur´ee par une g´en´eralisation des nombres β de Jones (cf. [Jon90]).
D´efinition 1.16 (Nombres β de Jones g´en´eralis´es). Soit 16q <+∞, r >0 et E⊂Rn, βq(x, r, E) = inf
P d–plan
1 rd
Z
y∈E∩Br(x)
d(y, P) r
q
dHd(y)
!1q .
En nous appuyant sur les conditions quantitatives de rectifiabilit´e (Theorem 3.2) ´enonc´ees par H.
Pajot ([Paj97]), nous avons pu d´efinir une ´energie de type height excess dont le contrˆole garantit la rectifiabilit´e d’un varifoldd–r´egulier :
Th´eor`eme. 3.3.[Cf. p.53] SoitΩ⊂Rn un ouvert etV und–varifold surΩde masse finiekVk(Ω)<
+∞. Supposons que
(i) il existe 0< C1 < C2 tels que, pourkVk–presque tout x∈Ω et pour tout r >0,
C1rd6kVk(Br(x))6C2rd, (1.7) (ii)
Z
Ω×Gd,n
E0(x, P, V)dV(x, P)<+∞, o`u
E0(x, P, V) = Z 1
r=0
1 rd
Z
y∈Br(x)∩Ω
d(y−x, P) r
2
dkVk(y)dr r . Alors V est un d–varifold rectifiable.
1.4.2 Echelle et discr´´ etisation
Il faut ensuite adapter l’´energie E0 `a des varifolds de type discret, c’est-`a-dire qui ne sont pas rectifiables “et le sont d’autant moins qu’on les regarde de pr`es”. Tout objet discret vient avec une notion d’´echelle. Un nuage de points a une courbure infinie partout, mais si on sait a priori qu’il s’agit de la discr´etisation d’un objet r´egulier, on peut trianguler, r´egulariser `a une ´echelle fix´ee ... et obtenir une courbure correspondant `a cette ´echelle. On n’aura a priori pas de notion de courbure absolue, seulement des courbures associ´ees `a des ´echelles. N´eanmoins, si on connaˆıt le pas de discr´etisation, on sait en g´en´eral `a quelle ´echelle on doit calculer la courbure (en fonction du pas de discr´etisation). On va suivre cette logique avec l’´energieE0. Dans l’int´egrale sur les rayons, on va consid´erer des boules d’un rayon sup´erieur `a une certaine ´echelleα. On d´efinit donc
Eα(x, P, V) =
On observe alors les propri´et´es suivantes.
1. SiVi−−−−∗ *
i→+∞ V est une suite de varifolds quelconques :
(a) Il existe des ´echelles αi adapt´ees, c’est-`a-dire telles que pour x ∈ Rn, P ∈ Gd,n, on a convergence ponctuelle des ´energies
E0(x, P, V) = lim
i→∞Eαi(x, P, Vi).
(b) On a une condition quantitative permettant de choisir l’´echelle αi, uniforme dans tout ω⊂⊂Rn, et d´ependant d’une distance de type flat distance :
Ces trois points sont ´enonc´es et d´emontr´es dans les Propositions 3.23, 3.24 et 3.25.
2. Le cas o`u la suite Vi est une suite de discr´etisations volumiques est trait´e dans le Th´eor`eme 3.29 : si V est un d–varifold rectifiable `a support compact, v´erifiant la condition de r´egularit´e (1.5) du th´eor`eme d’approximation par des varifolds volumiques discrets (Th´eor`eme 2.1), pour C, β >0 et pourkVk–presque toutx, y,
kTxM−TyMk6C|x−y|β, (1.9)
et si les varifoldsVi sont les varifolds volumiques discrets obtenus par projection de V sur des maillagesKi de pasδi tendant vers 0 ; alors pour toute suite d’´echelles αi v´erifiant
δβi
1.4.3 Condition quantitative assurant la rectifiabilit´e d’un varifold limite
On peut maintenant donner une r´eponse `a la question initiale, c’est le th´eor`eme 3.4. De mˆeme qu’on doit tester la r´egularit´e d’un varifold quelconque `a une ´echelle donn´ee, la condition de d–r´egularit´e sur la masse kVk, qui exprime le fait que le varifold estd–dimensionnel, doit ˆetre consid´er´ee `a une
´
echelle suffisamment grande. En effet, un varifold volumique discretV estn–dimensionnel et n’a donc aucune chance de v´erifier
1
Crd6kVk(Br(x))6Crd pour des petits rayons (inf´erieurs `a la taille du maillage par exemple).
Th´eor`eme. 3.4. [Cf. p.53] Soit Ω ⊂ Rn un ouvert et (Vi)i une suite de d–varifolds dans Ω qui convergeant faiblement–∗ vers un d–varifoldV, et satisfaisantsupikVik(Ω)<+∞. Soit(αi)i et (βi)i deux suites strictement positives, d´ecroissantes et tendant vers0, fix´ees. Supposons que :
(i) il existe 0< C1 < C2 tels que pourkVik–presque tout x∈Ω et pour βi < r < d(x,Ωc),
C1ωdrd6kVik(Br(x))6C2ωdrd, (1.12) (ii)
sup
i
Z
Ω×Gd,n
Eαi(x, P, Vi)dVi(x, P)<+∞. (1.13) Alors V est un d–varifold rectifiable.
Ici, rien n’est suppos´e sur la suite d’´echelles (αi)i. En revanche, sachant qu’un varifold est recti-fiable, on a vu dans le paragraphe pr´ec´edent des conditions suffisantes ((1.9),(1.10),(1.11)) assurant que l’hypoth`ese (1.13) est satisfaite dans le cas de l’approximation par des verifolds volumiques dis-crets.
On va maintenant continuer `a s’int´eresser `a la mˆeme probl´ematique, non plus sous l’angle de la rectifiabilit´e mais celui de la variation premi`ere (courbure).