Conditions aux limites

nin μa μ’s S n(r) Se r de

Figure II.10  Schéma des éléments intervenant dans la dénition des cl d'un milieu diusant. La surface S est dénie comme l'interface entre le milieu diusant et absorbant d'indice nin. Le milieu

extérieur est supposé optiquement transparent d'indice de réfraction nout. Le vecteur unitaire ˆn(r)

est normal à la surface en r et orienté vers l'extérieur. La surface Sereprésente la surface extrapolée

(cf. ŸII.3.3).

3. Les sources de lumière sont isotropes. C'est une conséquence directe de l'approxi- mation faite à l'équation II.30.

4. Les distances de propagation sont susamment grandes,c'est-à-dire supérieures à plusieurs libres parcours de diusion réduits l

s (Yoo et al.,1990).

5. Les temps sont susamment longs (Hielscher et al.,1995),ce qui résulte de l'hypothèse faite à l'équation II.31.

II.3 Conditions aux limites

Les équations de propagation présentées dans la partie précédente doivent être com- plétées par des équations supplémentaires qui gèrent les conditions aux limites (CL). Pour le modèle le plus général,régit par l'ÉTR,on dénit une CL sur la luminance à partir de considérations physiques. Pour les modèles approchés (et l'AD notamment), on ne peut employer les mêmes CL,et des CL de substitution doivent être introduites. Une revue très précise des trois types de CL de substitution a été publiée par Haskell et al. (1994). Les notations employées dans la suite de cette partie sont regroupées sur la gure II.10.

42 II. Modèles physiques en imagerie optique

II.3.1 Condition aux limites  vraie 

On considère que la luminance L en un point de l'interface est nulle pour toutes les directions d'observation orientées vers le milieu. Autrement dit, cela revient à faire l'hypothèse que les photons diusés hors du milieu n'y retournent pas et qu'il n'existe pas de source de lumière externe. Soit la condition :

L(r, ˆs, t) = 0, ∀ˆs/ ˆs · ˆn < 0 (II.34)

Cette condition ne peut malheureusement pas s'appliquer dans n'importe quel cadre, en particulier dans celui de l'approximation P1 qui décrit la luminance comme la

somme d'un terme isotrope et d'un terme directionnel (se rappeler la gure II.9). On a alors recourt aux CL approchées décrites dans les trois paragraphes suivants.

II.3.2 Condition aux limites de courant partiel

Elle est notée PCBC (pour Partial Courant Boundary Condition ). Cette CL est ob- tenue en faisant l'hypothèse que la puissance surfacique entrante est nulle (Ishimaru, 1977), soit : _

ˆ

s· ˆn<0

L(r, ˆs, t)ˆs · ˆn dΩ = 0 (II.35)

Ce qui, en remplaçant la luminance par l'expression donnée équation II.21 conduit à l'expression suivante :

φP C(r, t) = 2D∇φP C(r, t) · ˆn(r), ∀r ∈ S (II.36)

Cette condition peut être adaptée pour rendre de compte des réexions aux interfaces. Pour cela, on considère la puissance surfacique entrante égale à la puissance surfacique rééchie, soit :  ˆ s· ˆn<0 L(r, ˆs, t)ˆs · ˆn dΩ =  ˆ s· ˆn>0 R(ˆ_{s · ˆn)L(r, ˆs, t)ˆs · ˆn dΩ} (II.37)

où R(ˆs· ˆn) est le coecient de réexion de Fresnel. On déduit après un calcul similaire à celui qui nous a conduit à l'équation II.36 :

φP C(r, t) = 2AD∇φP C(r, t) · ˆn, ∀r ∈ S (II.38)

La constante A s'exprime en fonction d'intégrales sur R(ˆs · ˆn) (Haskell et al., 1994, voir les équations 2.4.1 et 2.3.5). Par conséquent, A dépend seulement du saut d'indice à l'interface.

II.3. Conditions aux limites 43

II.3.3 Condition aux limites extrapolées

Elle est souvent notée EBC (pour Extrapolated Boundary Condition). Cette condition aux limites repose sur des bases rigoureuses qui trouvent leur origine dans la résolution du problème de Milne (Case et Zweifel,1967,voir subsecs 5.6 et 6.4). La condition EBC impose que la densité de photons s'annule à une distance de de l'interface S,

hors du milieu diusant. Cette surface est notée Se. Soit la condition :

φE(r, t) = 0, ∀r ∈ (Se). (II.39)

La distance extrapolée de (cm) est donnée par la formule suivante :

de = 2AD, (II.40)

où la constante A est celle qui intervient dans le cas PCBC précédent (Moulton,1990).

II.3.4 Condition aux limites nulles

Elle est souvent notée ZBC (pour Zero Boundary Condition). Cette CL stipule que la densité de photons est nulle au niveau de l'interface. Cette hypothèse est clairement fausse sur le plan de la physique. En revanche,elle est mathématiquement simple et certains auteurs ont avancé qu'elle constitue une approximation susante pour peu que l'on se place susamment loin des interfaces (Patterson et al.,1989). Soit la condition ZBC :

φZ(r, t) = 0, ∀r ∈ S (II.41)

II.3.5 Comparaison des conditions aux limites

Plusieurs études ont eu pour objectif de comparer les solutions de l'AD obtenue avec les trois CL (consulter la gure II.11 à titre d'illustration). Dans ces études,la solution de référence est généralement obtenue par la MMC ou plus rarement par une mesure expérimentale.

Hielscher et al. (1995) ont comparé les résultats d'une simulation Monte-Carlo avec les solutions analytiques de l'AD en milieu semi-inni. Leurs conclusions,basées sur le calcul de la réectance qui est la norme du gradient de la densité de photons, sont les suivantes : i) les réectances obtenues par PCBC et EBC sont quasiment les mêmes, ii) la réectance obtenue par ZBC dière des deux autres, iii) la réectance obtenue par ZBC s'éloigne davantage des simulations Monte-Carlo que ne le font les réectances obtenues par PCBC et EBC.

Kienle et Patterson (1997) ont comparé la luminance selon la direction normale à l'interface. Les luminances obtenues par PCBC et celles obtenues par EBC sont

44 II. Modèles physiques en imagerie optique PCBC ZBC EBC φ(r) φ(r) φ(r) -2AD -2AD r r r

Figure II.11  Illustration de solutions de l'ÉDL obtenue pour les trois CL. r représente la distance à l'interface selon une direction normale. Les allures des courbes sont données à titre indicatif.

très proches. En les comparant à des prévisions obtenues par la MMC, les auteurs observent que les luminances issues des CL EBC sont légèrement meilleures aux temps courts que celles issues des CL PCBC.