Conditions aux limites

Condition cinématique et de sortie

Les diérentes conditions aux limites du domaine numérique sont illustrées en gure 2.3.

Cette gure présente une coupe d'une géométrie cylindrique contenant l'axe de symétrie ~ex.

La zone 'A' correspond à l'obstacle. On impose, en diérents points de sa surface (indice 'obs'), la condition de cinématique de non-glissement :

Vi(xobs, yobs, zobs) = ~Vs.~ei = 0

La zone 'B' est la zone dite en amont de l'obstacle où l'on impose une condition cinématique de type Dirichlet telle que :

Vi(x∞, y∞, z∞)= ~V∞.~ei

2.2. MODÉLISATION NUMÉRIQUE Du fait de l'emploi d'un maillage décalé, il n'est pas nécessaire de dénir une condition sur la pression puisque dénie au centre de chaque cellule où est eectuée la résolution des équations de conservation (2.8) et (2.9). Il est à noter qu'il faut respecter une certaine dis- tance entre l'application des conditions en zone 'A' et en zone 'B' pour ne pas créer un eet de connement articiel. En eet, cette étude se consacre aux objets isolés et une imposition trop proche de la condition cinématique au niveau de la zone 'B' peut aboutir à une inuence non négligeable sur le développement et à la propagation des eets visqueux autour de l'obstacle. Ce point sera abordé dans le chapitre 3 dédié aux tests de validation.

Fig. 2.3  Schéma descriptif des conditions aux limites.

On s'intéresse ici à un écoulement incident colinéaire à l'axe de révolution du corps. La zone 'C' (cellules ctives extérieures au domaine de calcul, voir gure 2.3) est la zone pouvant correspondre au sillage du corps c'est à dire à une zone susceptible de contenir la vorticité générée au niveau de l'obstacle par l'interaction uide-solide, ensuite advectée vers l'aval. Il faut alors appliquer une condition de type 'sortie', susamment faible pour 'évacuer' cette vorticité hors du domaine de calcul mais susamment forte pour ne pas déstabiliser la réso- lution des équations de conservation dans le domaine intérieur (possible remontée d'erreurs numériques jusqu'à la zone de l'écoulement proche de l'obstacle d'où une perturbation de la source). Comme pour la zone 'B', il faut choisir une distance respectable entre la sortie et l'objet solide (se reporter au chapitre 4).

APPROCHE 'CORPS FIXE'

Après maintes tentatives, le choix s'est porté sur une condition de sortie du type :

3_P ∂x2 n∂xt = 0; ∂2Vi ∂x2 n = 0

Traitement de l'axe singulier et de l'arête du disque

Il existe deux types de singularité réclamant un traitement spécique : l'axe de révolution du corps et l'arête du disque (χ → +∞). Ces singularités sont illustrées en gure 2.4.

La gure 2.4-a présente une coupe perpendiculaire à l'axe de révolution de la géométrie. Toutes les cellules de la géométrie sont munies de six faces sauf celles incluant l'axe de révo- lution qui sont constituées de cinq faces. Le bilan des ux de quantité de mouvement dans la direction radiale ne tient pas compte justement de la projection radiale de la vitesse au niveau de l'axe de symétrie. Cette dernière composante de vitesse reste donc indéterminée.

Celle-ci (notée Vn sur la gure 2.4-a) est calculée par extrapolation en utilisant deux points

adjacents (d'indice 0_n0 _et 0_{n + 1}0 _{sur la gure).}

De la même manière, il existe une singularité lors de la modélisation numérique du disque inniment mince. La gure 2.4-b présente un plan quelconque azimutal de la géométrie cy-

lindrique. Lors du bilan des ux dans la direction radiale (i.e. ~ey sur la gure 2.4-b), il faut

eectuer un traitement spécique sur le calcul de la contrainte τy au niveau de l'arête du disque

car sa surface latérale est ctive, donc non vue par l'écoulement uide. Cette contrainte est alors calculée à la singularité par un schéma décentré utilisant deux points adjacents (d'indice

0_{j + 1}0 _et0_{j + 2}0 _{sur la gure).}

(a) (b)

Fig. 2.4  (a)- Schéma de l'axe singulier ; (b)- Schéma de l'arête du disque.

Chapitre 3

Validations pour l'approche 'corps xe'

3.1 Convergence en maillage

La méthode générale consiste à placer le centre géométrique de l'objet axisymétrique à l'origine du repère R, à générer de petites cellules autour de l'obstacle, à appliquer une raison géométrique (supérieure à 1 et inférieure à 1.2 pour des questions de stabilité numérique) sur la taille de ces cellules plus on s'éloigne de l'objet et enn à estimer la taille susante du domaine de calcul total. La construction du maillage soulève donc diérentes questions :

 comment doit être décrite la surface et le pourtour de l'obstacle pour capter les forts gradients de vitesse ?

 comment doit être décrit le sillage de l'obstacle pour capter l'advection de vorticité produite à la surface de l'obstacle ?

 à quelle distance doivent être placées les conditions de fermeture du domaine pour limiter les problèmes de connement ?

 quel est l'impact des diérentes singularités et erreurs numériques associées sur les ca- ractéristiques globales de l'écoulement ?

Le problème est tridimensionnel et la construction du maillage repose sur une discréti- sation consistante dans les trois directions de l'espace. Toutes les constructions de maillage respectent la symétrie axiale des objets axisymétriques (principalement cylindrique) (voir - gure 3.1).

La direction longitudinale est la direction de l'axe de symétrie de la géométrie (~ex) ; la

direction radiale est notée ~er et la direction azimutale, ~eφ. Pour qualier la nesse du maillage

comme susante, on va xer la discrétisation dans deux directions et modier la nesse de la troisième (tentative de découplage). Les contraintes sur l'obstacle sont ensuite étudiées ainsi que la forme des diérents champs (pression, vitesse, vorticité) notamment dans le sillage proche de l'obstacle.

APPROCHE 'CORPS FIXE'

Fig. 3.1  Exemple de maillage cylindrique utilisé.

Le premier test s'aranchit de la direction azimutale en simulant un écoulement axisy-

métrique (on pourra écrire ~ey = ~er). Une fois la convergence obtenue dans les directions

longitudinale et radiale, on eectue un second test pour déterminer quel est le nombre suf- sant de plans azimutaux en simulant un écoulement tridimensionnel. Dans le même temps, une attention sera portée à la distance entre les conditions de fermeture du domaine et l'obs- tacle.